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专题一函数图象与性质的综合应用


专题一

函数图象与性质的综合应用

1.函数的三要素是对应关系、定义域、值域;其中函数的核心是对应关系. 2.函数的性质主要包括:单调性、周期性、对称性、最值等. 3.求函数值域的方法有配方法、换元法、不等式法、函数单调性法、图象法等. 4.作图一般有两种方法:描点法作图、图象变换法作图. 5.图象的三种变换:平移变换、伸缩变换和对称变换



1. (2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于 ( A.-3 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2× (-1)2-(-1)]=-3. 2. 函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最小值为 1 A. 3 答案 B 1 解析 令 f(x)=0,解得 x=1;令 f(x)=1,解得 x= 或 3.因为函数 f(x)在(0,1)上为减函 3 1 2 数,在(1,+∞)上为增函数.故 b-a 的最小值为 1- = . 3 3
?21 x, ? 3. (2011· 辽宁)设函数 f(x)=? ? ?1-log2x,


)

B.-1

C.1

D.3

(

)

2 B. 3

C.1

D.2

x≤1 x>1,

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 ( )

A.[-1,2] 答案 D

B.[0,2]

C.[1,+∞)

D.[0,+∞)

1 - 解析 当 x≤1 时, 21 x≤2, x≥0, 0≤x≤1.当 x>1 时, 1-log2x≤2, x≥ , 由 知 即 由 知 2 即 x>1,所以满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是[0,+∞).

4. (2011· 湖北)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0, 且 a≠1). g(2)=a, f(2)等于 若 则 A.2 答案 B 解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由 f(x)+g(x)=ax-a x+2,① 得-f(x)+g(x)=a x-ax+2,② ①+②,得 g(x)=2,①-②,得 f(x)=ax-a x. 又 g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2 x, 15 - ∴f(2)=22-2 2= . 4 5. 已知 y=f(x)的图象如图,则 y=f(1-x)的图象为下列四图中的 ( )
- - - -



( 17 C. 4 D.a2

)

15 B. 4

答案 A 解析 将 y=f(1-x)变形为 y=f[-(x-1)] ①作 y=f(-x)图象,将 y=f(x)关于 y 轴对称即可; ②将 f(-x)的图象沿 x 轴正方向平移 1 个单位, 得 y=f[-(x-1)]=f(1-x)的图象.

题型一 函数求值问题 例 1
?log3?x2+t?,x<0, ? (2012· 苏州模拟)设 f(x)= ? x ? ?2×?t+1? ,x≥0

且 f(1)=6,则 f(f(-2))的值为

________.

思维启迪:首先根据 f(1)=6 求出 t 的取值,从而确定函数解析式,然后由里到外逐层 求解 f(f(-2))的值,并利用指数与对数的运算规律求出函数值. 答案 12 解析 ∵1>0,∴f(1)=2×(t+1)=6, 即 t+1=3,解得 t=2.
2 ? ?log3?x +2?,x<0, 故 f(x)=? x ?2×3 , x≥0, ?

所以 f(-2)=log3[(-2)2+2]=log36>0. f(f(-2))=f(log36)=2×3log36=2×6=12. 探究提高 本题的难点有两个, 一是准确理解分段函数的定义, 自变量在不同取值范围 内对应着不同的函数解析式; 二是对数与指数的综合运算问题. 解决此类问题的关键是 要根据分段函数的定义, 求解函数值时要先判断自变量的取值区间, 然后再代入相应的 函数解析式求值,在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.
?-cos?πx?, x>0, ? 4 4 (2012· 广东六校联考)已知 f(x)=? 则 f?3?+f?-3?的 ? ? ? ? ? ?f?x+1?+1, x≤0,

值等于 A.-2 答案 D 解析 4 1 4 1 2 4 4 5 f?3?= ,f?-3?=f?-3?+1=f?3?+2= ,f?3?+f?-3?=3. ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? B.1 C.2 D.3

(

)

题型二 函数性质的应用 例2 f?-x?-f?x? 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2)=0,则不等式 ≥0 的 x 解集为 A.[-2,0]∪[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪(0,2] D.[-2,0)∪(0,2] ( )

思维启迪:转化成 f(m)<f(n)的形式,利用单调性求解. 答案 D -f?x?-f?x? f?x? 解析 因为 f(x)为奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 不等式可化为 ≥0, 即- ≥0. x x 当 x>0 时,则有 f(x)≤0=f(2),由 f(x)在(0,+∞)上单调递增可得 x≤2;当 x<0 时,则 有 f(x)≥0=-f(2)=f(-2),由函数 f(x)为奇函数可得 f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以 x≥-2.所以不等式的解集为[-2,0)∪(0,2]. 探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质, 利用函数的单调性去 掉函数符号是解决问题的关键,由函数为奇函数可知,不等式的解集关于原点对称,所

以只需求解 x>0 时的解集即可.

?log1x,x>0, ? 设函数 f(x)=? 2 ? ?log2?-x?,x<0,

若 f(m)<f(-m),则实数 m 的取值范围是 ( )

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 答案 C

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

?log1?-x?,-x>0 ?log1?-x?,x<0, ? 2 ? 解析 f(-x)=? =? 2 ?log2x,-x<0 ?log2x,x>0. ? ?
1 当 m>0 时,f(m)<f(-m)?log m<log2m?m>1; 2 1 当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)<log (-m) 2 ?-1<m<0. 所以,m 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 题型三 函数图象及应用

例3

?|lg x|,0<x≤10, ? 已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc ?-2x+6,x>10, ?
的取值范围是_____________. 思维启迪:可以先画出函数 f(x)的图象,通过图象的特征观察 a、b、c 的关系. 答案 (10,12)

解析 画出函数 f(x)的图象,再画出直线 y=d(0<d<1),如图所示,直观上知 0<a<1,1<b<10,10<c<12, 再由|lg a|=|lg b|, 得-lg a=lg b, 从而得 ab=1, 10<abc<12. 则

探究提高

通过图形可以发现 a,b,c 所在的区间,再把绝对值符号去掉,就能发现

ab=1,这样利用数形结合就可把问题化难为易了. 1 已知不等式 x2-logax<0,当 x∈?0,2?时恒成立,求实数 a 的取值范围. ? ? 解

由 x2-logax<0, 得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax. 1 由题意知,当 x∈?0,2?时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方, ? ?

?0<a<1, ?0<a<1, ? ? 如图,可知? ?1? ?1? 即??1?2 1 ?f?2?≤g?2?, ??2? ≤loga2, ? ?
1 1 解得 ≤a<1.∴实数 a 的取值范围是?16,1?. ? ? 16 题型四 函数的值域与不等式恒成立问题 例4 (2012· 天津滨海新区五所重点学校联考)定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R

都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k·x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 3 思维启迪:(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法,第(1)(2)两问可用赋值法解决. (2)将恒成立问题转化成函数最值问题. (1)解 令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0), 即 f(0)=0. (2)证明 令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (3)解 方法一 因为 f(x)在 R 上是增函数,

又由(2)知 f(x)是奇函数. f(k·x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), 3 所以 k·x<-3x+9x+2, 3 32x-(1+k)·x+2>0 对任意 x∈R 成立. 3 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 令 f(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为 x= , 2



1+k <0 即 k<-1 时,f(0)=2>0,符合题意; 2

?1+k≥0, ? 1+k 当 ≥0 即 k≥-1 时,对任意 t>0,f(t)>0 恒成立?? 2 2 ?Δ=?1+k?2-4×2<0, ?
1≤k<-1+2 2. 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 3 2 方法二 由 k·x<-3x+9x+2,得 k<3x+ x-1. 3 3 2 u=3x+ x-1≥2 2-1,3x= 2时,取“=”,即 u 的最小值为 2 2-1, 3 2 要使对 x∈R,不等式 k<3x+ x-1 恒成立, 3 只要使 k<2 2-1.

解得-

探究提高 对于恒成立问题,若能转化为 a>f(x) (或 a<f(x))恒成立,则 a 必须大于 f(x) 的最大值(或小于 f(x)的最小值).因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的 问题进行求解.若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解. 定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,对于任意的 π θ∈?0,2?,均有 f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0,试求实数 m 的取值范围. ? ? 解 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x∈[0, 当 +∞)时, f(x)是增函数, f(x)在(-∞, 则

0]上也是增函数,所以 f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0, ∵f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0, ∴f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ-4m), 于是 cos 2θ-3>2mcos θ-4m,① 即 cos2θ-mcos θ+2m-2>0. cos2θ-2 cos2θ-2 得 m> ,设 h(θ)= , cos θ-2 cos θ-2 2 则 h(θ)=4-??2-cos θ?+2-cos θ?≤4-2 2,即 h(θ)max=4-2 2,只须 m>4-2 2.

?

?

故实数 m 的取值范围是(4-2 2,+∞). 2.高考中的函数零点问题 典例:(2011· 山东)已知函数 f(x)=logax+x-b (a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. 考点分析 本题考查对数函数、 函数单调性、 函数零点等知识, 体现了函数知识的综合. 求解策略 解答本题可先确定函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性,然后根据 a,b 满足的 条件及对数的运算性质探究出 f(x)零点所在的区间,从而对照 x0∈(n,n+1),n∈N*确

定出 n 的值. 答案 2 解析 ∵2<a<3,∴f(x)=logax+x-b 为定义域上的单调递增函数.f(2)=loga2+2-b, f(3)=loga3+3-b. lg 2 lg 2 ∵2<a<3<b,∴0<lg 2<lg a<lg 3,∴ < <1. lg 3 lg a 又∵b>3,∴-b<-3,∴2-b<-1, ∴loga2+2-b<0,即 f(2)<0. lg 3 lg 3 ∵1< < ,3<b<4,∴-1<3-b<0, lg a lg 2 ∴loga3+3-b>0,∴f(3)>0,即 f(2)· f(3)<0. 由 x0∈(n,n+1),n∈N*知,n=2. 解后反思 (1)本题考查函数零点,与函数的单调性相结合;

(2)解决函数的有关问题,要综合利用函数的图象,函数的单调性、对称性、周期性、 值域等.

方法与技巧 1. 利用复合函数求函数值是一类重要问题,解题关键是利用已知的函数值,通过解析式的 变化特点进行代入求值,有时也可以利用周期性来解题. 2. 抽象函数奇偶性的判断关键在于构造 f(-x),使之与 f(x)产生等量关系,即比较 f(-x) 与± f(x)是否相等,此时赋值比较多的是-1、1、0 等. 3. 作图、识图和用图是函数图象中的基本问题.作图的基本途径:求出函数的定义域;尽 量求出值域;变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状;描点作图.识图就是从 图形中发现或捕捉所需信息,从而使问题得到解决.用图就是根据需要,作出函数的图 形,使问题求解得到依据,使函数、方程、不等式中的许多问题化归为函数图象问题. 失误与防范 1. 函数求值问题一定要关注自变量的取值范围,尤其是分段函数,以防代错解析式. 2. 对于由抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中,一定要注意单调区间,需将自变量 转化到同一个单调区间上去. 3. 识图要抓住性质特征,关键点;作图要规范,一般从基本图形通过平移、对称等变换来 作图.

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2011· 重庆)下列区间中, 函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是 A.(-∞,1] 3 C.[0, ) 2 答案 D 解析 方法一 当 2-x≥1,即 x≤1 时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数 f(x)在(- ∞,1]上单调递减.当 0<2-x≤1,即 1≤x<2 时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函 数 f(x)在[1,2)上单调递增,故选 D. 方法二 f(x)=|ln(2-x)|的图象如图所示. 由图象可得,函数 f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选 D. 4 B.[-1, ] 3 D.[1,2) ( )

1 1 2. (2011· 北京)如果 log x<log y<0,那么 2 2 A.y<x<1 C.1<x<y 答案 D B.x<y<1 D.1<y<x

(

)

解析

?log2x<log2y, 不等式转化为? 1 ?log2y<0
1 1

?1<y<x.

3. (2012· 浙江改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x 3 +1,则 f?2?等于 ? ? 3 A. 2 答案 A 解析 当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2 ( )

∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=-x+1. 3 3 1 1 3 ∴f?2?=f?2-2?=f?-2?=-?-2?+1= . ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4. (2012· 江西)如图所示,

π |OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为 ,以 A 为圆心,AB 为半径 6 作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从点 O 出发,甲先以速率 1(单位:m/s)沿线段 OB 行至点 B,再以速率 3(单位:m/s)沿圆弧 BDC 行至点 C 后停 止;乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止.设 t 时刻甲、乙所到达的两点 连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的图象大致是 ( )

答案 A 解析 对 t 进行分段,确定函数 y=S(t)的解析式. 由题意知,当 0<t≤1 时,甲从 O 向 B 移动,乙从 O 向 A 移动,则 t 时刻,|OB|=t,|OA| 1 π 1 =2t,此时 S(t)= · |OA|sin = t2,此段图象为抛物线;当 t>1 时,设圆弧半径为 r, |OB|· 2 6 2 1 π 1 甲从 B 沿圆弧移动到 C 后停止,乙在 A 点不动,则此时 S(t)= ×1×2· sin + · 3(t- r· 2 6 2 3r 1-3r 1)= t+ ,此段图象为直线,当甲移动至 C 点后,甲、乙均不再移动,面积不再 2 2 增加,选项 B 中开始一段函数图象不对,选项 C 中后两段图象不对,选项 D 中前两段 函数图象不对,故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 设 a>0,a≠1,函数 f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式 loga(x-1)>0 的解集为 ______. 答案 (2,+∞)

解析 ∵x2-2x+3>0,即(x-1)2+2>0 的解集为 R, ∴函数 f(x)=loga(x2-2x+3)的定义域为 R. 又∵函数 y=x2-2x+3 有最小值 2,无最大值. 据题意有 a>1.
? ?x-1>0, ∴loga(x-1)>0=loga1 等价于? ?x-1>1, ?

解得 x>2,即不等式 loga(x-1)>0 的解集为(2,+∞). 6. 设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=
?g?x?+x+4,x<g?x?, ? ? 则 f(x)的值域是__________. ? ?g?x?-x,x≥g?x?,

答案

9 [- ,0]∪(2,+∞) 4

解析 由 x<g(x)得 x<x2-2,∴x<-1 或 x>2; 由 x≥g(x)得 x≥x2-2,∴-1≤x≤2.
? 2 ?x +x+2,x<-1或x>2, ∴f(x)=? 2 ?x -x-2,-1≤x≤2. ?

??x+2? +4,x<-1或x>2, 即 f(x)=? 1 9 ??x-2? -4,-1≤x≤2.
1
2

7

2

当 x<-1 时,f(x)>2;当 x>2 时,f(x)>8. ∴当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞). 9 当-1≤x≤2 时,- ≤y≤0. 4 9 ∴当 x∈[-1,2]时,函数的值域为[- ,0]. 4 9 综上可知,f(x)的值域为[- ,0]∪(2,+∞). 4

?a ?x>6?, ? 7. 已知函数 f(x)=?? a? 在 R 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围 ??4-2?x+4 ?x≤6?, ?
x-5

为________. 答案 [7,8)

解析

? a ?4- >0 由题意知,实数 a 应满足? 2 a ??4-2?×6+4≤a ?? ?
a>1


6-5

?a>1 ? 即?a<8 ,解得 7≤a<8. ?a≥7 ?
三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1| (a>0 且 a≠1)的图象有两个交点,求 a 的取值范 围.解 ①当 a>1 时,画出函数 y=|ax-1|的草图:

若 y=2a 与 y=|ax-1|的图象有两个交点, 1 则有 0<2a<1,∴0<a< (舍去). 2 ②当 0<a<1 时,画出函数 y=|ax-1|的草图:

若 y=2a 与 y=|ax-1|的图象有两个交点, 1 则有 0<2a<1,∴0<a< . 2 1 综上所述,a 的取值范围是?0,2?. ? ? 1 a 9. (13 分)已知 a>0,且 a≠1,f(logax)= 2 ?x-x?. ? a -1? (1)求 f(x); (2)判断 f(x)的单调性; (3)求 f(x2-3x+2)<0 的解集. 解 (1)令 t=logax (t∈R),则 x=at, a ? t 1? a- t . a? a -1?
2

且 f(t)=

a - ∴f(x)= 2 (ax-a x) (x∈R). a -1 (2)当 a>1 时,ax-a x 为增函数, 又 a >0,∴f(x)为增函数; a -1
2
- -

当 0<a<1 时,ax-a x 为减函数, 又 a <0,∴f(x)为增函数. a2-1

∴函数 f(x)在 R 上为增函数. a (3)∵f(0)= 2 (a0-a0)=0,∴f(x2-3x+2)<0=f(0). a -1 由(2)知:x2-3x+2<0,∴1<x<2. ∴不等式的解集为{x|1<x<2}. B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) 答案 C 解析 由已知条件 0<a<1<b 和 f(a)=f(b)得,-lg a=lg b,则 lg a+lg b=0,ab=1,因 2 2 此 a+2b=a+ ,由对勾函数知 y=x+ 在(0,1)单调递减,得 a+2b>3,即 a+2b 的取 a x 值范围是(3,+∞). 2a-1 2.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,f(2)= ,则 a+1 ( 1 A.a< 且 a≠-1 2 C.a<-1 或 a>0 答案 C 解析 ∵函数 f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)<1, ∴f(-1)>-1.又∵函数 f(x)的周期为 3, 2a-1 3a ∴f(-1)=f(2)= >-1,∴ >0, a+1 a+1 解得 a>0 或 a<-1. 3. 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x∈[-2,0] 1 时,f(x)=?2?x-1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0 (a>1)恰有 3 个 ? ? 不同的实数根,则 a 的取值范围是 A.(1,2) 3 C.(1, 4) 答案 D 解析 B.(2,+∞) 3 D.( 4,2) ( ) B.-1<a<0 D.-1<a<2 ) B.[2 2,+∞? D.[3,+∞? ( )

由 f(x-2)=f(x+2),知 f(x)是以 4 为周期的周期函数,于是可得 f(x)在(-2,6]上的大致 图象如图中实线所示,令 g(x)=loga(x+2) (a>1),则 g(x)的大致图象如图所示,结合图 象可知,要使得方程 f(x)-loga(x+2)=0 (a>1)在区间(-2,6]内恰有 3 个不同的实数根,
? ?loga4<3 ?g?2?<3 3 则只需? ,即? ,解得 4<a<2. ?loga8>3 ? ?g?6?>3

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. 函数 f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 __________. 答案 [-8,-6]

?a≤-1, ? 解析 设 g(x)=3x -ax+5,由已知?6 ?g?-1?≥0, ?
2

解得-8≤a≤-6. 3 5. 已知 f(x)=asin x+b x+4 (a,b∈R),且 f[lg(log210)]=5,则 f[lg(lg 2)]=________. 答案 3 解析 3 3 lg(log210)=-lg(lg 2),f(-x)=asin(-x)+b -x+4=-(asin x+b x)+4.

又 f[lg(log210)]=5,∴f[lg(lg 2)]=4-5+4=3. 6. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是__________. 答案 解析 (-2,1)

∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x,作出 f(x)的大致图象如图中实线所示, 结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数, 由 f(2-a2)>f(a), 得 2-a2>a,即-2<a<1. 三、解答题(13 分)

7. 设函数 f(x)=3ax2-2(a+c)x+c (a>0,a,c∈R). (1)设 a>c>0.若 f(x)>c2-2c+a 对 x∈[1,+∞)恒成立,求 c 的取值范围; (2)函数 f(x)在区间(0,1)内是否有零点,有几个零点?为什么? 解 (1)因为二次函数 f(x)=3ax2 -2(a+c)x+c 的图象的对称轴为 x= a+c ,由条件 3a

a>c>0, a+c 2a 2 得 2a>a+c,故 < = <1,即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1,+∞)的左边,且抛 3a 3a 3 物线开口向上,故 f(x)在[1,+∞)内是增函数. 若 f(x)>c2-2c+a 对 x∈[1,+∞)恒成立,则 f(x)min=f(1)>c2-2c+a,即 a-c>c2-2c +a, 得 c2-c<0,所以 0<c<1. (2)①若 f(0)· f(1)=c· (a-c)<0, 则 c<0,或 a<c,二次函数 f(x)在(0,1)内只有一个零点. ②若 f(0)=c>0,f(1)=a-c>0,则 a>c>0. a+c 因为二次函数 f(x)=3ax2-2(a+c)x+c 的图象的对称轴是 x= . 3a 而 f? a+c? -a2+c2-ac <0, 3a ? 3a ?=

所以函数 f(x)在区间?0, 内有两个零点.

? ?

a+c? ?a+c ? ,1?内各有一个零点, 故函数 f(x)在区间(0,1) ?和? 3a ? ? 3a ?


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