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竞赛讲座-平面三角


竞赛讲座- 竞赛讲座-平面三角
三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中 有着广泛的应用.同时它也是高考,数学竞赛中的必考内容之一. 一,三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域,值域,奇偶性,周期性,单调性, 最值等.这 里以单调性为最难.它们在平面几何,立体几何,解析几何,复数等分支中均有广 泛的应用.

/>【例 1】

求函数 y=2sin(

-2x)的单调增区间.

解:y=2sin(

-2x)= 2sin(2x+

).

由 2kπ-

≤2x+

≤2kπ+

,k∈Z, Z

得 kπ-

≤x≤kπ-

,k∈Z. Z

即原函数的单调增区间为:[kπ-

,kπ-

](k∈Z). Z

【例 2】 的大小.

若 φ∈(0,

),比较 sin(cosφ),cos(sinφ),cosφ 这三者之间

解:∵在(0,

)中,sinx<x<tgx,而 0<cosx<1<

,∴sin(cosφ)< cosφ.

∵在(0,

)中,y=cosx 单调递减,∴cosφ< cos(sinφ).

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ).

【例 3】 的值.

已知 x,y∈[-

,

],a∈R,且

.求 cos(x+2y)

解:原方程组化为

.

∵x,-2y∈[-

, ],函数 f(t)=t +sint 在[-

3

, ]上单调递增,且 f(x)=f(-2y)

∴x=2y,∴cos(x+2y)=1.

【例 4】 求证: 在区间 (0, ) 内存在唯一的两个数 c, d(c<d), 使得 sin (cosc) = c, cos(sind)= d.

证明:考虑函数 f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0, 证明

]内是单调递减的,并且

连续,由于 f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f(

)=cos(sin

)-

= cos 1

-

<0,

∴存在唯一的 d∈(0,

),使 f(d)=0,即 cos(sind)= d.

对上式两边取正弦,并令 c=sind,有 sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c.

显然 c∈(0, 一.

).且由 y=sinx 在(0,

)上的单调性和 d 的唯一性,知 c 也唯

故存在唯一的 c<d,使命题成立.

【例 5】 β, (0, ) 且 ctgα=α, α, γ∈ , sin(ctgβ)=β, ctg(sinγ)=γ. 比较 α,β,γ 的大小.

解:∵α,β,γ∈(0,

),∴ctgβ>0,0< sinγ<γ<

.

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ,γ=ctg(sinγ)> ctgγ.

作出函数 y=ctgx 在(0,

)上的图象,可看出:β<α<γ.

【例 6】

n∈N,n≥2,求证:cos N

cos cos

>

.

证明: 证明:∵0<

<

<< <

<1,

∴0<sin

<

,cos

2

=1-sin

2

>1-

=

,k=2,3,…,n.

∴(cos

cos cos

) >(

2



)(



)(



)(



)

=



>

>(

),

2

∴cos

cos cos

>

.

二,三角恒等变换

众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学.要灵活地进行三角恒等变换,除熟练 地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征, 从角和函数名入手,深入分析,灵活解题.

【例 1】(1)已知 cosβ= 的值.

,sin(α+β)=

,且 0<α<

<β<π,求 sinα

(2)已知 sin(

-α)=

,求

的值.

提示: 提示:(1)sinα= .

(2)sin2α=1-2 sin (

2

-α)=

;

=

.

【说明】三角变换重在角的变换.

【例 2】求 cos

cos

cos

…cos

的值.

解法 1:利用公式 cosθcos2θcos4θcos2 θ=

n

,得

cos

cos

cos

cos

= -

,∴cos

cos

cos

cos

=

.

又 cos

cos

=

,cos

=

,

∴cos

cos

cos

…cos

=

×

×

=

.

解法 2:cos

cos

cos

…cos

=







=

=

.

解法 3:利用公式 cosαcos(
4 4

+α)cos(
4

-α)=

cos3α,取 α=

,

.

【例 3】求 cos 20°+cos 40°+cos 80°的值. 解:由倍角公式得

cos θ=(

4

)=

2

(1+2cos2θ+cos 2θ)=

2

+

cos2θ+ cos4θ,

∴cos 20°+cos 40°+cos 80°=

4

4

4

×3+

(cos40°+ cos80°+ cos160°)

+ (cos80°+ cos160°+ cos320°)=

+ (cos40°+ cos80°+ cos160°)

=

+ (2cos60° cos20°- cos20°)=

.

【例 4】若 sinα+cosβ= ,cosα+sinβ=

,求 sinαcosβ 的值.

解:令 θ=

-β,则

(1)÷(2)得 tg

=

, cos(α+θ)= ,

∴sinαcosβ=sinαsinθ= -

[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -

.

【例 5】已知 f(x)=

sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,0<θ<π,求 θ.

解法一: 解法一:由偶函数的定义,可得(

cosθ+sinθ)sinx=0 对任意 x∈R 成立.



cosθ+sinθ=0,2 sin(θ+

)=0,

∴θ+=kπ,而 0<θ<π,∴θ=

.

解法二: 解法二:由 f(-

)=f(

),得 θ=

,然后验证 f(x)是偶函数.

【例 7】方程 sinx+

cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两根 α,β,求实数 a 的取

值范围,以及 α+β 的值.

解:∵sinx+

cosx+a=0,∴sin (x+

)= -

.

令 t= x+

,则 t∈(

,

),sint= -

.

作出函数 y= sint,t∈(

,

)的图象:

由图象可以看出:当-1< -

<1 且-



即-2<a<-

或-

<a<2 时,sint= -

有相异两根 t1,t2,原方程有相异两根 α,β,并且

当-2<a<-

时,t1+t2=(α+

)+(β+

)=π,α+β=

;

当-

<a<2 时,t1+t2=(α+

)+(β+

)=3π,α+β=

.

【例 8】 已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0, s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz 的值. 求

解:由已知得,

(1) +(2) 得 cos(x-y)= -

2

2

,

同理,cos(y-z)= -

,cos(z-x)= -

.

∴x,y,z 中任意两角的终边夹角为

,不妨设

x=y+

+2mπ,m∈Z,y=z+ Z

+2nπ,n∈Z, Z

∴x= z+

+2(m+n)π,

x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π, ∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

= tg3z+tg(z+

)tg(z+

)tgz

= tg3z+tg(z+

)tg(z-

)tgz

= tg3z+ tgz tg( =0.

+z)tg(

-z)

【说明】如能熟练运用下列公式,可对解题带来很大方便:

sinαsin(

+α)sin(

-α)=

sin3α,

cosαcos(

+α)cos(

-α)=

cos3α,

tgαtg(

+α)tg(

-α)=tg3α.

如 sin10°sin50°sin70°=

sin(3×10°)=

.

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