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等比数列知识点总结及题型归纳


等比数列知识点总结及题型归纳
1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N

* ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项:

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的 n ,都有 an?1 ? qan或

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: a 依据定义:若 n ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1 7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。 (3)若 m ? n ? s ? t( m, n, s, t ? N* ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
a k (4)数列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } , { n } ( k 为非零 bn an

常数)均为等比数列。 (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍为等比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n , a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列

1

a1 ? 0,则{an }为递增数列 { (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递减数列
a1 ? 0,则{ an }为递减数列 { ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{an }为递增数列

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时,

S奇 1 ? S偶 q

二、 考点分析 考点一:等比数列定义的应用 1 4 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ? ,则 a4 ? _________. 3 3 2、在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? ,则该数列的通项 an ? ______________. 考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ? 4 A. 0 B. ?6
2

) D. ?10


C. ?8

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为(

C. 2 D.不确定 20 3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ? ,求 ?an ? 的通项公式. 3 考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 2 9 1 1、若公比为 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 3 8 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2、已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 3 , a10 ? 384 ,则该数列的通项 an ? _________________. 3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则
1 1 1 B. C. 4 2 8 考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用

B. 1

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4



A.

D. 1

1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为(
3 16 C. 2 9 2、如果 ?1 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9 D. b ? ?3 , ac ? ?9

) D. 2

A. 4

B.

3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2a3a4a5a6a7 a8a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3
2

) )

D. 243

4、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a ? a ? 0? , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 等于(

b10 ?b? ?b? B. ? ? C. 9 D. ? ? a ?a? ?a? 2 5、在等比数列 ?an ? 中, a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a2 a4 a6 的值为(

A.

b9 a8

9

10



A. 25

B. 5 5

C. ?5 5

D. ?5 5

6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等于

? S , (n ? 1) 考点五:公式 an ? ? 1 的应用 S ? S , ( n ? 2) n ?1 ? n n 1.等比数列前 n 项和 Sn=2 -1,则前 n 项的平方和为( ) 1 1 A.(2n-1)2 B. (2n-1)2 C.4n-1 D. (4n-1) 3 3 n 2. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +r,那么 r 的值为______________.
3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N*都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

3


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