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广东省揭阳市2010届高三第二次高考模拟考试(数学文)


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2010 年揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 表示底面积,h 表示高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x2 ? 1} , N ? {a | ax ? 1, x ? M },则下列关于集合 M、N 之间关系的 判断中,正确的是 A. N ? M B. M ? N ? ? C. M ? N D. M ? N ? ?

2.下列命题中是真命题的是 A.对 ?x ? R, x ? x
2

B.对 ?x ? R, x ? x
2 2

C.对 ?x ? R, ?y ? R, y ? x

D. ?x ? R, 对 ?y ? R, xy ? x

3.如图是一正方体被过棱的中点 M、N 和顶点 A、D 截去两个角后所得的几何体,则该几何 C1 体的主视图(或称正视图)为
N M B1

D
A B C D

C B

A

4.已知 {an } 是等差数列, a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 13 项和 S13 等于 A.156 B.132 C.110 D.100

2x ?1 5.已知 f ( x) ? 的导函数为 f '( x) ,则 f '(i ) ? ( i 为虚数单位) x2 A. ?1 ? 2i B. ?2 ? 2i C. ?2 ? 2i

D. 2 ? 2i

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6.若 sin x ? cos x ? A. ?

1 , x ? (0, ? ) ,则 sin x ? cos x 的值为 3
B.-

17 3

17 3

C.

1 3

D.

17 3
y

7.已知简谐运动 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (| ? |? 则该简谐运动的最小正周期和初相 ? 分别为 A. T ? 6? , ? ? C. T ? 6, ? ?

?
2

) 的部分图象如右图示,

?
6

B. T ? 6? , ? ? D. T ? 6, ? ?

?
3

2 x o -2 1 4

?
6

?

3

8.若椭圆 值范围是

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与曲线 x2 ? y2 ? a2 ? b2 无公共点,则椭圆的离心率 e 的取 2 a b

A. (

3 , 1) 2

B. (0,

3 ) 2

C. (

2 , 1) 2

D. (0,

2 ) 2

9.已知正数 x 、 y 满足 ?

?2 x ? y ? 0 1 x 1 y ,则 z ? ( ) ? ( ) 的最大值为. 4 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
B.

A.1

13 2 4
项目

C.

1 16
作物 水果 8 3 0.06 10

D.

1 32
稻米 2 1 0.01 40 甘蔗 1 0.4 0.01 30

10.某农场,可以全部种植水果、 蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且 产品全部供应距农场 d (km) ( d ? 200km )的中心城市, 其产销资料如右表: 当距离 d 达到

蔬菜 3 2 0.02 15

市场价格(元/kg) 生产成本(元/kg) 运输成本(元/kg ? km) 单位面积相对产量(kg)

n(km) 以上时, 四种农作物中以全
部种植稻米的经济效益最高. (经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本) 则 n 的值为 , A.50 B.60 C.100 D.120

二.填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题)

b , ) 11 . 设 向 量 a ? ( 3 , 4 )? ? ( ? 2 , 则1向 量 a + b 与 a - b 的 夹 角 的 余 弦 值 ,
为 .

x 12.在同一平面直角坐标系中,已知函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? e 的图象关于直线 y ? x 对

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称,则函数 y ? f ( x) 对解析式为

;其应的曲线在点( e, f (e) )处的切线方程

为 . 13.在空间,到定点的距离为定长的点的集合称为球面.定点叫做球心,定长叫做球面的半 径.平面内,以点 ( a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,类似的在 空间以点 (a, b, c) 为球心,以 r 为半径的球面方程 为 . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选做题) 如图,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD ,若 BC ? 3, DE ? 2,
D A

F E

DF ? 1 ,则 BD 的长为
15.(坐标系与参数方程选做题)

、AB 的长为___________.

B

C

在极坐标系中,若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ? 2 ? 4? cos? ? 3 有公共点,则直线 l 的斜率的 取值范围为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
16. (本题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ( 其 中 a ? b ? c ) 设 向 量 ,

? ? m ? cos B , B , n ? (0, ( sin )
(1)求∠B 的大小;

? ? 3) ,且向量 m ? n 为单位向量.
频率/组距
0.025 0.020 0.015

(2)若 b ? 3, a ? 1 ,求△ABC 的面积. 17. (本题满分 12 分)

图甲

“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定: 0.010 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100ml(不含 80)0.005 之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg/100ml (含 80)以上时,属醉酒驾车. ” 2009 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市 一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个小时 共查出酒后驾车者 60 名,图甲是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画 出的频率分布直方图. (1)求这 60 名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数; (图甲中每组包括左端点,不包括右端点) (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点 值作为代表,图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者 血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图乙输出的 S 值,

酒精含量
0 20 30 40 50 60 70 80 90

(单位:mg/100ml)

开始 S=0 i =1 输入m i,fi S=S+m i×f i i >=7? 是 输出S 结束 否 i =i+1

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并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 mi 与 f i 分别表示图 甲中各组的组中值及频率)

图乙

(3) 本次行动中, 吴、 李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在 70 mg /100ml (含 70) 以上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒 精浓度在 70 mg /100ml (含 70)以上的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检验,求吴、李两位 先生至少有 1 人被抽中的概率.

18. (本题满分 14 分) 如图,已知△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,DC ? 平面 ABC , AB ? 2 , tan ?EAB ? (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)记 AC ? x , V ( x) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求 V ( x) 的表达式; (3)当 V ( x) 取得最大值时,求证:AD=CE. 19. (本题满分 14 分) 已知点 C(1,0) ,点 A、B 是⊙O: x ? y ? 9 上任意两个不同的点,
2 2

3 . 2

y A P B x
O

??? ??? ? ? 且满足 AC ? BC ? 0 ,设 P 为弦 AB 的中点,

C

(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x ? ?1 的 距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an (an?1 ?1) , bn ? an ? 1 , n ? N . (1)求数列 {bn } 的通项公式;
?

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(2)设 cn ? b2n?1b2n?1 ,求使得

?c
i ?1

n

i

?

m ? 对一切 n ? N 都成立的最小正整数 m ; 10

(3)设数列 {bn } 的前 n 和为 Sn , Tn ? S2 n ? Sn ,试比较 Tn ?1 与 Tn 的大小.

21.设函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)ex ( x ? R) . (1)若 a ? 2, b ? ?2 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,试求出 a 关于 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并确 定 f ( x ) 的单调区间; (3)在(2)的条件下,设 a ? 0 ,函数 g ( x) ? (a2 ? 14)e x?4 .若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得

f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,求 a 的取值范围.

揭阳市 2010 年高中毕业班第二次高考模拟考
数学试题(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一.选择题:CDBAD DCDCA

解析:1.由 M ? {1, ?1} , N ? {1, ?1} ,故选 C;

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4.由 a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 知 4a7 ? 48 ,∴ a7 ? 12 ,故 S13 =13 a7 ? 156 ,选 A; 5.? f '( x) ?

2 x 2 ? 2 x(2 x ? 1) ?2 x 2 ? 2 x ? x4 x4

∴ f '(i) ? 2 ? 2i ,故选 D.

6.由 sin x ? cos x ?

1 1 8 ? 得 1 ? 2sin x cos x ? ,? sin 2 x ? ? <0,? x ? ( , ? ) 3 9 9 2
17 17 且 sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? .故选 D. 9 3

? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? sin 2 x ?

7.由图象可得 T ? 2(4 ? 1) ? 6 ? ? ?

?
3

,由图象过点(1,2)且 A ? 2 可得 sin(

?
3

? ?) ? 1

?? ?

?
6

.故选 C.

8.易知以半焦距 c 为半径的圆在椭圆内部,故 b ? c ? b ? c ,即 a ? 2c ?
2 2

2

2

c 2 , ? a 2
y 2x-y=0

选 D; 9.如图易得 2x ? y 的最大值为 4,从而 z ? 4
?x

1 ?1? ?( )y ? ? ? 2 ?2?

2 x? y


o

x-3y+5=0
(1,2)

1 最小值为 选 C. 16
10.设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为 y1 、 y2 、

x

2x+y=0

y3 、 y4 ,则 y1 ? 50 ? 0.6d , y2 ? 15 ? 0.3d , y3 ? 40 ? 0.4d , y4 ? 18 ? 0.3d ,由
? y3 ? y1 ?y ? y ? 3 2 ? 50 ? d ? 200 ,故 n ? 50 ,选 A. ? y3 ? y4 ? ?d ? 200 ?
二. 填空题: 11.

1 2 5 2 2 2 2 ; 12. f ( x) ? ln x 、 y ? x ; 13.( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r ; e 5

14.

3 9 3 3 、 ; 15. ? . ?k? 2 2 3 3

解析:11. a + b ? (1,3), a - b ? (5,5) , cos ? a + b,a - b ?? 12.依题意知 f ( x) ? ln x , f '( x ) ?

20 2 5 ? 5 10 ? 5 2

1 1 ,故所求的切线方程为: y ? x . x e

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13 . 设 P( x, y, z ) 球 面 上 任 一 点 , 由 空 间 两 点 的 距 离 公 式 可 得 是
A

( x ? a ) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r ,即 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r .
2 2 2

2

2

2

2

F

FD DE 3 ? ? BD ? 14.易知△FDE∽△DBC ? DB BC 2 AE DE 2 AE AF 9 ? ? ? ?2? ? AF ? 2 ,所以 AB ? 由 AC BC 3 EC FD 2
15.将 ? 2 ? 4? cos? ? 3 化为直角坐标方程得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1, 如右图易得 ? 三.解答题: 16.解: (1)?m ? n ? (cos B, sin B ? 3), | m ? n |? 1 ∴ cos B ? (sin B ? 3) ? 1, sin B ?
2 2

D

E

B

C

3 3 . ?k? 3 3

?? ?

?? ?

--------------------2 分

3 2

--------------------4 分

又 B 为三角形的内角,由 a ? b ? c ,故 B ?

?
3

--------------------6 分

(2)根据正弦定理,知

a b 1 3 ? ? ,即 , sinA sin B sinA sin ? 3
--------------------9 分

∴ sin A ?

1 ? ,又 a ? b ? c ,∴ A ? 2 6

故 C=

? 1 3 ,△ABC 的面积= ab ? ----------------------12 分 2 2 2

17.解: (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上者,由图甲知, 共有 0.05 ? 60 ? 3 (人) (2)由图乙知输出的 S ? 0 ? m1 f1 ? m2 f 2 ? ? ? m7 f 7 = 25 ? 0.25 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 85 ? 0.05 =47 (mg/100ml) S 的统计意义为 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. (3)酒精浓度在 70 mg /100ml (含 70)以上人数为: (0.10 ? 0.05) ? 60 ? 9 设除吴、李两位先生外其他 7 人分别为 a、b、c、d、e、f、g,则从 9 人中抽出 2 人的一 切可能的结果组成的基本事件如下: (吴,李)(吴,a)(吴,b)(吴,c)(吴,d)(吴,e)(吴,f)(吴,g)(李,a) , , , , , , , , , (李,b)(李,c)(李,d)(李,e)(李,f)(李,g)(a,b)(a,c)(a,d)(a, , , , , , , , , , e)(a,f)(a,g)(b,c) , , , ,(b,d),(b,e),(b,f),(b,g),(c,d),(c,e),(c,f),(c,g),(d,e),(d,f),
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(d,g),(e,f),(e,g),(f,g)共 36 种. 用 M 表示吴、李两位先生至少有 1 人被抽中这一事件,则 M 所含的基本事件数为 15, 故 P( M ) ?

15 5 ? . 36 12

18.解: (1)证明:∵四边形 DCBE 为平行四边形 ∴ CD // BE , BC // DE ---------1 分 ∵ DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ∴ DC ? BC . ----------2 分 ∵AB 是圆 O 的直径 ∴ BC ? AC 且 DC ? AC ? C ∴ BC ? 平面 ADC. ∵DE//BC ∴ DE ? 平面 ADC ---------------------------------------3 分 又∵ DE ? 平面 ADE ∴平面 ACD ? 平面 ADE ----------------4 分 (2)∵ DC ? 平面 ABC , CD//BE ∴ BE ? 平面 ABC ∵ AB ? 平面 ABC ∴BE ? AB, --------------------------------------------------------5 分

在 Rt△ABE 中,由 tan ?EAB ? 在 Rt△ABC 中 ∵ AC ? ∴ S ?ABC ?

BE 3 , AB ? 2 得 BE ? 3 ------------6 分 ? AB 2

AB2 ? BC2 ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 )

1 1 AC ? BC ? x 4 ? x 2 ------------------------------------7 分 2 2
1 3 S ?ABC ? BE ? x 4 ? x 2 ( 0 ? x ? 2 )-------8 分 3 6
x 2 (4 ? x 2 ) 取得最大值,
D

∴ V ( x) ? VC ? ABE ? VE ? ABC ?

2 (3)由(2)知要 V ( x) 取得最大值,当且仅当 x 4 ? x ?

∵0 ? x ? 2

x2 ? 4 ? x2 2 2 2 ) ? 4 ------------10 分 ∴ x (4 ? x ) ? ( 2
2 2

E C

∴当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ?

2 时, “=”成立,
A

即当 V ( x) 取得最大值时 AC ? 2 ,这时△ACB 为等腰直角三角形 连结 DB , ∵AC=BC,DC=DC ∴ Rt ?DCA ≌ Rt ?DCB ------------------12 分 ∴AD=BD 又四边形 BCDE 为矩形 ∴ BD ? CE ∴AD=CE------------------------------------------------------------14 分 19.解: (1)法一:连结 CP,由 AC ? BC ? 0 ,知 AC⊥BC

O

B

??? ??? ? ?

y A P B x
O

1 2 2 2 ∴|CP|=|AP|=|BP|= | AB | ,由垂径定理知 | OP | ? | AP | ?| OA | 2
即 | OP | ? | CP | ? 9
2 2

--------------------------4 分

C

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设点 P(x,y) ,有 ( x2 ? y 2 ) ? [( x ?1)2 ? y 2 ] ? 9 化简,得到 x2 ? x ? y 2 ? 4 ----------------------8 分

法二:设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,P ( x, y) , 根据题意,知 x12 ? y12 ? 9, x22 ? y22 ? 9 , 2x ? x1 ? x2 , 2 y ? y1 ? y2 , ∴ 4x2 ? x12 ? 2x1x2 ? x22 , 4 y 2 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y22 故 4x2 ? 4 y2 ? ( x12 ? y12 ) ? (2x1x2 ? 2 y1 y2 ) ? ( x22 ? y22 ) ? 18 ? 2( x1x2 ? y1 y2 ) ??①----4 分 又 AC ? BC ? 0 ,有 (1 ? x1 , ? y1 ) ? (1 ? x2 , ? y2 ) ? 0 ∴ (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 0 ,故 x1 x2 ? y1 y2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 2x ?1 代入①式,得到 4x2 ? 4 y 2 ? 18 ? 2(2 x ?1) 化简,得到 x2 ? x ? y 2 ? 4 --------------------------8 分

??? ??? ? ?

(2)根据抛物线的定义,到直线 x ? ?1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物 线

y2 ? 2 px 上,其中

p ? 1 ,∴ p ? 2 ,故抛物线方程为 y 2 ? 4x 2

----------------10 分

? y2 ? 4x ? 2 由方程组 ? 2 得 x ? 3x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ?4 2 ?x ? x ? y ? 4 ?
由于 x ? 0 ,故取 x ? 1 ,此时 y ? ?2 ,

----------------12 分

故满足条件的点存在的,其坐标为 (1, ?2) 和 (1, 2) ------------------------------14 分 20.解: (1)由 bn ? an ? 1 得 an ? bn ? 1 代入 an ?1 ? an (an?1 ?1) 得 bn ? (bn ? 1)bn?1 , 整理得 bn ? bn?1 ? bnbn?1 ,---------------------------------------------------------------2 分 ∵ bn ? 0 否则 an ? 1 ,与 a1 ? 2 矛盾,从而得

1 1 ? ? 1, -----------------------------4 分 bn ?1 bn

∵ b1 ? a1 ?1 ? 1

∴数列 {

1 } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 bn



1 1 ? n ,即 bn ? .------------------------------------------------------------------------5 分 n bn
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(2)∵ cn ? b2n?1b2n?1 =
n

1 1 1 1 ? ) --------------------------6 分 = ( (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ 分

?c =c ?c
i ?1 i

1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] = (1 ? ) --8 ? ? ? cn = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1

∴要使

1 1 m m 1 (1 ? ) ? 对一切 n ? N ? 都成立, 必须并且只须满足 ≤ ,即 m≥5, 2 2n ? 1 10 2 10

∴满足要求的最小正整数 m 为 5.-----------------------------------------------------------10 分 (3)∵ S n ? 1 ?

1 1 1 ? ?? ? 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? (1 ? ? ? ? ? ) ∴ Tn ? S2 n ? Sn = 1 ? ? ? ? ? ? 2 3 n n ?1 2n 2 3 n 1 1 1 ? ?? ? = -------------------------------------------------------------12 分 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ?( ? ??? ) 又∵ Tn ?1 ? Tn ? n?2 n?3 2n ? 2 n ? 1 n ? 2 2n


1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0 = 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 2)

∴ Tn?1 ? Tn .--------------------------------------------------------------------------------14 分 21.解: (1)∵ f ?( x) ? (2 x ? a)e ? ( x ? ax ? b)e ? [ x ? (2 ? a) x ? (a ? b)]e
x 2 x 2 x

当 a ? 2, b ? ?2 时, f ( x) ? ( x ? 2 x ? 2)e
2

x

2 x 则 f '( x) ? ( x ? 4x)e ---------------------------------------------------------------------------2 分 2 x 令 f '( x) ? 0 得 ( x ? 4 x)e ? 0 ,

∵e ? 0
x

∴ x ? 4 x ? 0 ,解得 x1 ? ?4, x2 ? 0 ---------------------------------------3 分
2

4) ∵当 x ? (??, ?4) 时, f '( x) ? 0 , x ? (?,0 当

0 ? 时 f '( x) ? 0 , x ? (, ? ) 当
6 , e4

时 f '( x) ? 0

∴当 x ? ?4 时,函数 f ( x ) 有极大值, f ( x)极大=

当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 有极小值, f ( x)极小 ? ?2 .---------------------------5 分 (2)由(1)知 f ?( x) ? [ x ? (2 ? a) x ? (a ? b)]e
2 x

∵ x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点

∴ f ?(1) ? 0

即 e[1 ? (2 ? a) ? (a ? b)] ? 0 ,解得 b ? ?3 ? 2a ---------------------------6 分 则 f ?( x) ? e [ x ? (2 ? a) x ? (?3 ? a)] = e ( x ?1)[ x ? (3 ? a)]
x 2 x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 或 x2 ? ?3 ? a
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∵ x ? 1 是极值点,∴ ?3 ? a ? 1 ,即 a ? ?4

--------------------------7 分

当 ?3 ? a ? 1 即 a ? ?4 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (?3 ? a, ??) 或 x ? (??, 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? (1, ?3 ? a) ---------------------------------------------------------------8 分 当 ?3 ? a ? 1 即 a ? ?4 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (1, ??) 或 x ? (??, ?3 ? a) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? (?3 ? a, 1) ---------------------------------------------------------------9 分 综上可知:当 a ? ?4 时,单调递增区间为 (??, 1) 和 (?3 ? a, ??) ,递减区间为 (1, ?3 ? a) 当 a ? ?4 时,单调递增区间为 (??, ?3 ? a) 和 (1, ??) ,递减区间为 (?3 ? a, 1) ----10 分 (3)由(2)知,当 a>0 时, f ( x ) 在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递 增, ∴函数 f ( x ) 在区间 [0, 4] 上的最小值为 f (1) ? ?(a ? 2)e 又∵ f (0) ? be x ? ?(2a ? 3) ? 0 , f (4) ? (2a ? 13)e4 ? 0 , ∴函数 f ( x ) 在区间[0,4]上的值域是 [ f (1), f (4)] ,即 [?(a ? 2)e,(2a ? 13)e4 ] ----------11 分 又 g ( x) ? (a2 ? 14)e x?4 在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是 [(a2 ? 14)e4 ,(a2 ? 14)e8 ] ----------------------------------------12 分 ∵ (a 2 ? 14)e4 - (2a ? 13)e4 = (a 2 ? 2a ? 1)e4 = (a ?1)2 e4 ? 0 , ∴存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立只须仅须

(a 2 ? 14)e4 (2a ? 13)e4 <1 ? (a ? 1) 2 e 4 ? 1 ? (a ? 1) 2 ?
1 1 1 ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 .---------14 分 4 e e e



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