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广东省珠海市2017届高三(上)9月摸底数学试卷(文科)(解析版)


2016-2017 学年广东省珠海市高三(上)9 月摸底数学试卷(文 科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2+2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=( A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣2,1] 2.已知 i 是虚数单位,复数 A.﹣1 B.1 C.i D.﹣i 的虚部为( D.[1,2) ) )

3.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取 出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( A. B. C. D. ,b= ,A=45°, )

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a= 则 B=( )

A.60° B.30° C.60°或 120° D.30°或 150° 5.抛物线 y=﹣4x2 的焦点坐标是( ) ) D. (﹣ ,0) )

A. (0,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,﹣ 6.已知 0<a< A. B.﹣ ,﹣ C.

<β<0,cos(α﹣β)=﹣ D.﹣

,sinα= ,则 sinβ=(

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.16 B.26 C.32 D.20+ 8.三个数 a=( )﹣1,b=2 ,c=log 3 的大小顺序为( )

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A.b<c<a B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 9.函数 y= 的图象大致是( )

A.

B.

C



D.

10 .执行如图所示的程序框图,如果运行结果为 5040 ,那么判断框中应填入 ( )

A.k<6? B.k<7? C.k>6? D.k>7? 11.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是 BD 中点,点 P 在线段 B1D1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sinα 的取值范围是( A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] )

12.设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时, xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) )

B. (﹣1,0)∪(1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪

(﹣1,0) D. (0,1)∪(1,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 =(2,3) , =(﹣1,2) ,若 m +n 与 ﹣3 共线,则 = .

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14.如果实数 x,y 满足:

,则目标函数 z=4x+y 的最大值为



15.把函数 y=sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位可得到 y=sin2x 的图象.

16. F 2, 已知双曲线 C 的离心率为 , 左、 右焦点为 F1, 点 A 在 C 上, 若|F1A|=2|F2A|, 则 cos∠AF2F1= .

三、解答题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 17.已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 d,且不等式 ax2﹣3x+2<0 的解集为 (1,d) . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若 bn=3an+an﹣1,求数列{bn}前 n 项和 Tn. 18.2016 年 8 月 7 日,在里约奥运会射击女子 10 米气手枪决赛中,中国选手张 梦雪以 199.4 环的总成绩夺得金牌,为中国代表团摘得本届奥运会首金,俄罗斯 选手巴特萨拉斯基纳获得银牌.如表是两位选手的其中 10 枪成绩. 1 张梦雪 巴特萨拉斯基纳 10.2 10.1 2 10.3 10 3 9.8 4 10.1 5 10 6 7 8 9.9 9 10

9.3 10.9

10.3 9.2 9.5 9.7

10.4 10.2 9.2

9.2 10.5 10.2

(1)请计算两位射击选手的平均成绩,并比较谁的成绩较好; (2)请计算两位射击选手成绩的方差,并比较谁的射击情况比较稳定. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥ DC,∠BCD=90°. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

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20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 .

,椭圆短轴的一个端点

与两个焦点构成的三角形的面积为 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 M(﹣ ,0) ,求 证: ? 为定值. .

21.已知函数 g(x)=

(Ⅰ)求函数 y=g(x)的图象在 x= 处的切线方程; (Ⅱ)求 y=g(x)的最大值; (Ⅲ)令 f(x)=ax2+bx﹣x?(g(x) ) (a,b∈R) .若 a≥0,求 f(x)的单调区 间.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P, 已知∠EAD=∠PCA,证明: (1)AD=AB; (2)DA2=DC?BP.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,已知曲线 C:ρsin2θ﹣4cosθ=0,直线 l 过点 M(0,4)且斜率为﹣2. (1)求曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线 l 的标准参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+6|﹣|m﹣x|(m∈R) (Ⅰ)当 m=3 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

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2016-2017 学年广东省珠海市高三(上)9 月摸底数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2+2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=( A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣2,1] 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x﹣1) (x+3)≥0, 解得:x≤﹣3 或 x≥1,即 A=(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) , ∵B=[﹣2,2) , ∴A∩B=[1,2) , 故选:D. D.[1,2) )

2.已知 i 是虚数单位,复数 A.﹣1 B.1 C.i D.﹣i

的虚部为(



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得答案. 【解答】解:∵ ∴复数 故选:A. = ,

的虚部为﹣1.

3.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取 出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为(
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A.

B.

C.

D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 基本事件总数 n= 数 m= =6,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个

=4,由此能求出取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率.

【解答】解:4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 基本事件总数 n= =6, =4,

取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m= ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 = . 故选:C.

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a= 则 B=( )

,b=

,A=45°,

A.60° B.30° C.60°或 120° D.30°或 150° 【考点】正弦定理. 【分析】根据正弦定理可先求得 sinB= 内角,即可求得 B 的值. 【解答】解:∵根据正弦定理可知:sinB= ∵a= <b= ,B 为三角形内角 = = =sin60°. =sin60°,由 a= <b= ,B 为三角形

∴45°<B<180° ∴B=60°或 120° 故选:C.

5.抛物线 y=﹣4x2 的焦点坐标是(

) ) D. (﹣ ,0)

A. (0,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,﹣

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【考点】抛物线的简单性质. 【分析】将抛物线方程化为标准方程,确定 p 的值,即可得到结论. 【解答】解:抛物线 y=﹣4x2 可化为 ∵2p= ,∴ ∴抛物线 y=﹣4x2 的焦点坐标是 故选 C.

6.已知 0<a< A. B.﹣

,﹣ C.

<β<0,cos(α﹣β)=﹣ D.﹣

,sinα= ,则 sinβ=(



【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】利用角的范围和平方关系求出 cosα,由 α、β 的范围和不等式的性质求 出 α﹣β 的范围,由条件和平方关系求出 sin(α﹣β) ,由角之间的关系和两角差 的正弦函数求出答案. 【解答】解:由题意得, ∴ ∵ , , ,且 ,

∴α﹣β∈(0,π) , 又 cos(α﹣β)=﹣ ,则 ,

∴sinβ=sin[α﹣(α﹣β)]=sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β) = 故选 D. ,

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



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A.16 B.26 C.32 D.20+ 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体是三棱锥,根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直,结合直 观图求相关几何量的数据,把数据代入棱锥的表面积公式计算即可. 【解答】解:根据三视图知:该几何体是三棱锥,且三棱锥的一个侧棱与底面垂 直,高为 4,

如图所示:

其中 SC⊥平面 ABC,SC=3,AB=4,BC=3,AC=5,SC=4,∴AB⊥BC, 由三垂线定理得:AB⊥BC, S△ABC= ×3×4=6, S△SBC= ×3×4=6, S△SAC= ×4×5=10, S△SAB= ×AB×SB= ×4×5=10, ∴该几何体的表面积 S=6+6+10+10=32. 故选:C.

8.三个数 a=( )﹣1,b=2

,c=log

3 的大小顺序为(



A.b<c<a B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 【考点】对数值大小的比较.
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【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解. 【解答】解:∵ 1=20<b=2 c=log 3< <2,c=log =0, 3, ,

∴c<b<a. 故选:C.

9.函数 y=

的图象大致是(



A.

B.

C



D.

【考点】函数的图象. 【分析】依据函数的性质及函数值的变化范围对选项逐个筛选即可得到正确答 案. 【解答】解:函数是非奇非偶的,故可排除 C、D, 对于选项 A、B,当 x 趋向于正无穷大时,函数值趋向于 0, 故可排除 B, 故选 A

10 .执行如图所示的程序框图,如果运行结果为 5040 ,那么判断框中应填入 ( )

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A.k<6? B.k<7? C.k>6? D.k>7? 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=8,此 时执行输出 S=5040,结束循环,从而判断框中应填入的关于 k 的条件. 【解答】解:由题意可知输出结果为 S=720, 通过第一次循环得到 S=1×2=2,k=3, 通过第二次循环得到 S=1×2×3=6,k=4, 通过第三次循环得到 S=1×2×3×4=24,k=5, 通过第四次循环得到 S=1×2×3×4×5=120,k=6, 通过第四次循环得到 S=1×2×3×4×5×6=720,k=7, 通过第六次循环得到 S=1×2×3×4×5×6×7=5040,k=8, 此时执行输出 S=5040,结束循环,所以判断框中的条件为 k>7?. 故选 D.

11.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是 BD 中点,点 P 在线段 B1D1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sinα 的取值范围是( A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] )

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】设 求出 和 =λ,以 B1 为原点建立坐标系,则 的坐标,得出 sinα=|cos< , 为平面 A1BD 的法向量,

>|关于 λ 的函数,根据二次函

数的性质得出 sinα 的取值范围. 【解答】解:设正方体边长为 1, =λ(0≤λ≤1) .

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以 B1 为原点,分别以 B1A1,B1C1,B1B 为坐标轴建立空间直角坐标系, 则 O( , ,1) ,P(λ,λ,0) ,∴ =( , ,﹣1) ,

∵AB1⊥A1B,B1C1⊥平面 AB1,可得 AC1⊥A1B, 同理可得 AC1⊥A1D, 可得 AC1⊥平面 A1BD, ∴ =(﹣1,1,﹣1)是平面 A1BD 的一个法向量. >= . ,当 λ=0 或 1 时,sinα 取得最小值 .

∴sinα=cos<

∴当 λ= 时 sinα 取得最大值 故选:A.

12.设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时, xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) )

B. (﹣1,0)∪(1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪

(﹣1,0) D. (0,1)∪(1,+∞) 【考点】函数的单调性与导数的关系. = 【分析】 由已知当 x>0 时总有 xf′ (x) ﹣f (x) <0 成立, 可判断函数 g (x) 为减函数,由已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可证明 g(x)为(﹣∞,0) ∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数 g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性, 模拟 g(x)的图象,而不等式 f(x)>0 等价于 x?g(x)>0,数形结合解不等 式组即可.
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【解答】解:设 g(x)=

,则 g(x)的导数为:g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)= 又∵g(﹣x)= = = 为减函数, =g(x) ,

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)= =0,

∴函数 g(x)的图象性质类似如图: 数形结合可得,不等式 f(x)>0?x?g(x)>0 ? 或 ,

?0<x<1 或 x<﹣1. 故选:A.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 =(2,3) , =(﹣1,2) ,若 m +n 与 ﹣3 共线,则 = 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】 解: ∵ , ∴ 与 不共线, ∴当 与 共线时, , .

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即得 故答案为:

. .

14.如果实数 x,y 满足: 【考点】简单线性规划.

,则目标函数 z=4x+y 的最大值为



【分析】作出不等式组表示的平面区域,再将直线 l:z=3x﹣4y 进行平移,得当 l 经过点 A 时,z 达到最大值,联解方程组得 A 点坐标,代入目标函数,即可求 得 z=3x﹣4y 的最大值. 【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如右图阴影部分三角形 将直线 l:z=4x+y 进行平移,可知它越向上、向右移,z 的值越大 当 l 经过点 A 时,z 达到最大值 由 ,解得 x= ,y=

∴A 的坐标为( , ) ,z 最大值为 4× + = 故答案为:

15.把函数 y=sin(2x﹣ 象.

)的图象向左平移

个单位可得到 y=sin2x 的图

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】把函数 y=sin(2x﹣ )变为 y=sin2(x﹣
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) ,则答案可求.

【解答】解:∵y=sin(2x﹣ ∴把 y=sin2x 的图象向右平移 反之,把函数 y=sin(2x﹣ 故答案为: .

)=sin2(x﹣

) , )的图象,

个单位得到函数 y=sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位可得到 y=sin2x 的图象.

16. F 2, 已知双曲线 C 的离心率为 , 左、 右焦点为 F1, 点 A 在 C 上, 若|F1A|=2|F2A|, 则 cos∠AF2F1= .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意,结合双曲线的定义,可得|F2A|=2a,|F1A|=4a,由离心率公式 可得|F1F2|=2c=5a,在△AF1F2 中,运用余弦定理,即可得到所求值. 【解答】解:由于|F1A|=2|F2A|, 由双曲线的定义,得: |F1A|﹣|F2A|=|F2A|=2a, 则|F1A|=4a, 又双曲线的离心率为 ,则|F1F2|=2c=5a, 在△AF1F2 中, 故答案为: . ;

三、解答题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 17.已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 d,且不等式 ax2﹣3x+2<0 的解集为 (1,d) . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若 bn=3an+an﹣1,求数列{bn}前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)根据利用根与系数的关系求出 a,d,代入等差数列的通项公式即
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可; (2)使用分组法把 Tn 转化为等差数列,等比数列的前 n 项和计算. 【解答】解: (1)∵不等式 ax2﹣3x+2<0 的解集为(1,d) .



,解得 a=1,d=2.

∴an=2n﹣1; (2)由(I)知 bn=32n﹣1+2n﹣2, ∴Tn=(3+33+35+…+32n﹣1)+(2+4+6+8+…+2n)﹣2n = + ﹣2n= +n2﹣n.

18.2016 年 8 月 7 日,在里约奥运会射击女子 10 米气手枪决赛中,中国选手张 梦雪以 199.4 环的总成绩夺得金牌,为中国代表团摘得本届奥运会首金,俄罗斯 选手巴特萨拉斯基纳获得银牌.如表是两位选手的其中 10 枪成绩. 1 张梦雪 巴特萨拉斯基纳 10.2 10.1 2 10.3 10 3 9.8 4 10.1 5 10 6 7 8 9.9 9 10

9.3 10.9

10.3 9.2 9.5 9.7

10.4 10.2 9.2

9.2 10.5 10.2

(1)请计算两位射击选手的平均成绩,并比较谁的成绩较好; (2)请计算两位射击选手成绩的方差,并比较谁的射击情况比较稳定. 【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 【分析】 (1)利用平均数公式,可得结论; (2)利用方差公式,可得结论. 【解答】解: (1) 可知张梦雪的成绩较好.… ( 2 ) ,

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… 因为 ,可知巴特萨拉斯基纳成绩较稳定.…

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥ DC,∠BCD=90°. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】 (1) ,要证明 PC⊥BC,可以转化为证明 BC 垂直于 PC 所在的平面,由 PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易证明 BC⊥平 面 PCD,从而得证; (2) ,有两种方法可以求点 A 到平面 PBC 的距离: 方法一,注意到第一问证明的结论,取 AB 的中点 E,容易证明 DE∥平面 PBC, 点 D、E 到平面 PBC 的距离相等,而 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距 离的 2 倍,由第一问证明的结论知平面 PBC⊥平面 PCD,交线是 PC,所以只求 D 到 PC 的距离即可,在等腰直角三角形 PDC 中易求; 方法二,等体积法:连接 AC,则三棱锥 P﹣ACB 与三棱锥 A﹣PBC 体积相等,而 三棱锥 P﹣ACB 体积易求,三棱锥 A﹣PBC 的地面 PBC 的面积易求,其高即为点 A 到平面 PBC 的距离,设为 h,则利用体积相等即求. 【解答】解: (1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC. 由∠BCD=90°,得 CD⊥BC, 又 PD∩DC=D,PD、DC? 平面 PCD, 所以 BC⊥平面 PCD.
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因为 PC? 平面 PCD,故 PC⊥BC.

(2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等. 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍. 由(1)知:BC⊥平面 PCD,所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC,PF=FC,所以 DF⊥PC,所以 DF⊥平面 PBC 于 F. 易知 DF= ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 .

(方法二)等体积法:连接 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. 因为 AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°. 从而 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1. 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P﹣ABC 的体积 因为 PD⊥平面 ABCD,DC? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 又 PD=DC=1,所以 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 由 VA﹣PBC=VP﹣ABC, 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 ,得 . . . , .

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 .

,椭圆短轴的一个端点

与两个焦点构成的三角形的面积为 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 M(﹣ ,0) ,求 证: ? 为定值.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)根据椭圆的性质列方程解出 a,b;
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(2)联立方程组消元,得出 A,B 坐标的关系,代入向量的数量积公式计算即 可.

【解答】解: (1)由题意得

,解得 a2=5,b2= ,

∴椭圆方程为



(2)将 y=k(x+1)代入

,得(1+3k2)x2+6k2x+3k2﹣5=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣

,x1x2=



∴y1y2=k2(x1+1) (x2+1)=k2x1x2+k2(x1+x2)+k2, ∵ ∴ =(1+k =(x1+ ,y1) , =(x2+ ,y2) , +k2

=(x1+ ) (x2+ )+y1y2=(1+k2)x1x2+( +k2) (x1+x2)+ )? ﹣( +k2)? + +k2

= = .

+

+k2

21.已知函数 g(x)=



(Ⅰ)求函数 y=g(x)的图象在 x= 处的切线方程; (Ⅱ)求 y=g(x)的最大值; (Ⅲ)令 f(x)=ax2+bx﹣x?(g(x) ) (a,b∈R) .若 a≥0,求 f(x)的单调区 间. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导 数研究曲线上某点切线方程.
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【分析】 (Ⅰ)求出原函数的导函数,得到 f′( ) ,求出 f( ) ,由直线方程的 点斜式得答案; (Ⅱ)由导数求 y=g(x)的单调区间,进一步求得函数的极值,得到最大值; (Ⅲ)求出函数的导函数,分 a=0 和 a>0 及 b 的范围求出函数的单调区间. 【解答】解: (Ⅰ) ∴切线方程为 (Ⅱ)定义域 x∈(0,+∞) , 由 =0,得 x=e,当 x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; , ,即 2e2x﹣y﹣3e=0; , ,

当 x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减. ∴x=e 是极大值点,极大值为 .

∵在 x∈(0,+∞)上,极值点唯一, ∴ 是最大值; .

( III)由 f(x)=ax2+bx﹣lnx,x∈(0,+∞) ,得 f'(x)= ①当 a=0 时,f'(x)= .

若 b≤0,当 x>0 时,f'(x)<0 恒成立, ∴函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞) . 若 b>0,当 0<x< 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减. 当 x> 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增. ∴函数 f(x)的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( ) . ②当 a>0 时,令 f'(x)=0,得 2ax2+bx﹣1=0. 由△=b2+8a>0,得 x1= 显然,x1<0,x2>0. 当 0<x<x2 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减;
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,x2=



当 x>x2 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增. ∴函数 f(x)的单调递减区间是(0,x2) ,单调递增区间是(x2,+∞) . 综上所述, 当 a=0,b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,+∞) ; 当 a=0,b>0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0, ) ,单调递增区间是( , +∞) ; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间是(0,x2) ,单调递增区间是(x2,+∞) .

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P, 已知∠EAD=∠PCA,证明: (1)AD=AB; (2)DA2=DC?BP.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1 ) 连结 BD, 由弦切角定理得∠EAD=∠ABD=∠PCA, 由此能证明 AD=AB. (2)由已知得∠ADC=∠ABP,∠PAB=∠ACD,从而△ACD∽△APB,由此能证明 DA2=DC?BP. 【解答】证明: (1)连结 BD, ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P,∠EAD= ∠PCA, ∴∠EAD=∠ABD=∠PCA, ∴AD=AB. (2)∵四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 A 作⊙O 的切线 EP 交 CB 的延长于 P,∠ EAD=∠PCA, ∴∠ADC=∠ABP,∠PAB=∠ACD,
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∴△ACD∽△APB, ∴ ,又 AD=AB,

∴DA2=DC?BP.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,已知曲线 C:ρsin2θ﹣4cosθ=0,直线 l 过点 M(0,4)且斜率为﹣2. (1)求曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线 l 的标准参数方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)将极坐标方程两边同乘 ρ,根据极坐标与直角坐标的对应关系得出 曲线 C 的直角坐标方程,根据直线参数方程的几何意义得出直线的标准参数方 程; (2)把直线参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,根据根与系数的关系个参数 的几何意义计算|AB|. ρsin2θ﹣4cosθ=0, 【解答】 解: (1) ∵曲线 C 的极坐标方程为: 即 ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2﹣4x=0,即 y2=4x. 设直线 l 的倾斜角为 α,则 tanα=﹣2,∴sinα= ,cosα=﹣ .

∴直线 l 的标准参数方程为

(t 为参数) . t+20=0,

(2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 t2+5 ∴t1+t2=﹣5 ,t1t2=20. =3 .

∴|AB|=|t1﹣t2|=

[选修 4-5:不等式选讲]
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24.已知函数 f(x)=|x+6|﹣|m﹣x|(m∈R) (Ⅰ)当 m=3 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,得到各个区间上的 x 的范围,取并集即可; (2) 根据绝对值的几何意义求出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)当 m=3 时,f(x)≥5 即|x+6|﹣|x﹣3|≥5, ①当 x<﹣6 时,得﹣9≥5,所以 x∈?; ②当﹣6≤x≤3 时,得 x+6+x﹣3≥5,即 x≥1,所以 1≤x≤3; ③当 x>3 时,得 9≥5,成立,所以 x>3; 故不等式 f(x)≥5 的解集为{x|x≥1}. (Ⅱ)因为|x+6|﹣|m﹣x|≤|x+6+m﹣x|=|m+6|, 由题意得|m+6|≤7, 则﹣7≤m+6≤7, 解得﹣13≤m≤1.

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2017 年 2 月 14 日

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