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三次函数的图像和性质



研究三次函数的重要性
三次函数 已经成为中学阶段一个重要的函 数,在最近几年高考和一些重大考试中频繁 出现有关它的单独命题。2009年高考中, 浙江卷文15、湖南理13、全国1 文11、全国1 文 20、全国Ⅱ文 22、四川文20、重庆文 20 、湖南文 21、陕西文21、天津文 21中都 出现了这个函数的单独命题,还有以压轴题 的形式出现,更应该引起我们的重视。单调 性、求最值、方程的根等最能反映这个函数 的特性。

思考:

形如y ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0)
3 2

1.类比二次函数, 请同学们给出三次函数的定义?

的函数叫做三次函数
2.我们如何研究三次函数的图象和性质?

导数? f ( x ) ? 3ax ? 2bx ? c(a ? 0)
/
2

复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数a≠0) a>o
y y
x o

a<0
o x

??0
y

o

图 象

y
x

??0 ??0

o
y

x
y o x

o

x

引例1:

初识三次函数的图象
3

(1)试确定函数f ( x) ? x ? 3x 的单调区间,并在同一坐标系中画出 此函数与它的导函数图象
( 2)若函数为f ( x ) ? x 或 1 f ( x ) ? x ? x ? 2 x ? 1,图象又会如何? 3
3
3 2

展示

(一) 三次函数的图像

f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d的图象和性质 ' 2 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 2 2 a ? 0时 ? ? 4b -12ac ? 4(b - 3ac)
3 2

Δ>0
图象

Δ≤0

x ?x
1

2

x1

x2

极值

单调 区间

极大值f(x1) 极小值f(x2) (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)

无极值

x0

(-∞,+∞)

想一想:
a ? 0时 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d
3 2

的图象和性质又会如何 呢?
展示

总结:

a ? 0时
Δ>0 Δ≤0

图象

x ?x
1

2

x1

x2

x0

极值 单调 区间

极小值f(x1) 极大值f(x2) (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)

无极值 (-∞,+∞)

例1.已知三次函数f(x) =ax3+bx2+cx+d的导 y 函数?/(x)的图象如右图
所示,则y =f (x)的图象 最有可能的是(
y y

)
y

O

1

2

x

y

2

O x
1 2 x

O

1

2

x

O

1

2

x

O 1

A

B

C

D

实战演练

1 3 1 2 函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 3 2
在区间(1,4)内为减函数,试求实数 a 的取值范围.
y

x 0 1
单调性 导数符号

4
二次函数根 的分布 所需条件

引例 2: 方程 x3 - 6x2+9x - 10=0 的实 根个数是( )
y 0
(1,-6)

x

(3,-10)

(二) 三次方程根的问题

讨论方程ax ? bx ? cx ? d ? 0(a ? 0)
3 2

的根的个数
x x x x x

a ? 0时
x x x

x1

x2

1个交点

x0

2个交点 3个交点

有且只有1个交点

若方程ax ? bx ? cx ? d ? 0, a ? 0呢?
3 2

如 -x3+6x2-9x+10=0

方法一: 转化为a>0 方法二: 利用图象

x0

例2: 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x, a ? R
3 2

(1)若 f ?(1) ? 0 ,关于 x 的方程 f ( x ) ? 恒有3个不等实根,求实数K的取值范围。
展示

k

(三)不等式与恒成立问题 例2:已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x, a ? R ( 2) f (1) ? 0, x ? [?2,3], 都有f ( x ) ? k恒成立 求k的取值范围
3 2
/

课堂练习:

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象 / 如图所示 则f ( x ) ? 0的解集?
1 2
x

变:若函数f(x)图象如右图 能确定a,b,c,d的符号吗?

y

0

1

2

x

课堂练习

实战演练

1 2 3.已知函数f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c,若对 2 2 x ? [?1, 2],不等式f ( x) ? c 恒成立,则c的
3

取值范围为? A. ? -1, 2? C.? -1, 2?

?
B ? -?, -1? ? ? 2, ? ?? D. ? -?, -1? ? ? 2, ? ??

本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题? (1)单调性、极值、最值问题; (2)讨论三次方程根的问题; (3) 研究恒成立问题 3、思想方法: 数形结合,转化思想

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象

f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c
' 2

? ? 4b -12ac ? 4(b - 3ac)
2 2

a>0 Δ >0 Δ ≤0 Δ >0

a<0 Δ ≤0

x
x1 x2

x

x0

x x1 x2

x
x0


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