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2015年江苏省南通一中高考数学考前最后一卷


2015 年江苏省南通一中高考数学考前最后一卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置 上. ) 1.(★★★★)已知集合 A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|x-y=4},那么集合 A∩B 为 {(3,-1)} .

2.(★★★★)命题“若实数 a 满足 a≤2,则 a <4

”的否命题是 之一) .

2



命题(填“真”、“假”

3.(★★★★)若复数 z=

(i 为虚数单位) ,则复数 z 的模|z|=



4.(★★★★)双曲线

-y =1 的顶点到其渐近线的距离等于

2



5.(★★★★)函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0) )处的切线的倾斜角为

x



6.(★★★)设函数 f(x)= {x|-3<x<1 或 x>3} .

,则不等式 f(x)>f(1)的解集是

7.(★★★★)若函数 f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ) (|φ|< .

)为偶函数,则 φ=

8.(★★★)若{a n}是递增数列,其中 a n=n +λn,则实数 λ 的取值范围是

2

λ>-3



9.(★★★★)已知数列{a n}满足 a 1=1,a

n+1

=a n+2 ,则 a

n

10

=

1023



10.(★★★★)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不重合的平面,给定下列四个命题: ①若 m⊥n,n? α,则 m⊥α;

②若 m⊥α,m? β,则 α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ④若 m? α,n? β,α∥β,则 m∥n. 其中真命题的序号为 ②③ .

11.(★★★)若不等式 x +2xy≤a(x +y )对于一切正数 x,y 恒成立,则实数 a 的最小值 为 .

2

2

2

12.(★★)已知△ FOQ 的面积为 S,且 角 θ 的取值范围是 (45o,60o) .

.若

,则

的夹

13.(★★)已知数列{a n}的首项 a 1=a,其前 n 和为 S n,且满足 S n+S 任意的 n∈N ,a n<a
* n+1

n-1

=3n (n≥2) .若对

2

恒成立,则 a 的取值范围是



14.(★★)椭圆

(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为椭圆的右焦

点,AF⊥BF,∠ABF=a,a∈



,则椭圆的离心率的取值范围为





二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 15.(★★★★)已知函数 f(x)=2sin (x+ 取到最大值. (1)求 f(x)的最大值及 α 的值; (2)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A= 判断三角形的形状. ,且 sinBsinC=sin A,试
2 2

)-

cos2x,x∈



.设 x=α 时 f(x)

16.(★★★)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD,

E 是 PC 的中点.

求证: (Ⅰ)PA∥平面 BDE; (Ⅱ)平面 PAC⊥平面 BDE.

17.(★★★)某校内有一块以 O 为圆心,R(R 为常数,单位为米)为半径

的半圆形(如图)荒地,该校总务处计划对其开发利用,其中弓形 BCDB 区域(阴影部分)用于 种植学校观赏植物,△ OBD 区域用于种植花卉出售,其余区域用于种植草皮出售.已知种植学 校观赏植物的成本是每平方米 20 元,种植花卉的利润是每平方米 80 元,种植草皮的利润是每 平方米 30 元. (1)设∠BOD=θ(单位:弧度) ,用 θ 表示弓形 BCDB 的面积 S 该最大值. (参考公式:扇形面积公式 S= R θ=
2 弓

=f(θ) ;

(2)如果该校总务处邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD 的大小才能使总利润最大?并求出

Rl,l 表示扇形的弧长)

18.(★★★)已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程;

=1,离心率为



(Ⅱ)过 a>4 的椭圆的右焦点 F 任作一条斜率为 k(k≠0)的直线交椭圆于 A,B 两点,问在 F 右侧是否存在一点 D(m,0) ,连 AD、BD 分别交直线 x= 恰好过 F,若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 19.(★★)已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax +1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a<-1,若对任意 x 1、x 2 恒有|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|,求 a 的取值范围. 20.(★★)若数列{a n}满足条件:存在正整数 k,使得 a 都成立,则称数列{a n}为 k 级等差数列. (1)已知数列{a n}为 2 级等差数列,且前四项分别为 2,0,4,3,求 a 8+a 9 的值; (2)若 a n=2n+sinωn(ω 为常数) ,且{a n}是 3 级等差数列,求 ω 所有可能值的集合,并求 ω 取最小正值时数列{a n}的前 3n 项和 S
3n n+k 2

于 M,N 两点,且以 MN 为直径的圆

+a

n-k

=2a n 对一切 n∈N ,n>k

*



(3)若{a n}既是 2 级等差数列{a n},也是 3 级等差数列,证明:{a n}是等差数列. 第 II 卷(附加题)选修 4-2:矩阵与变换 21.(★★)在直角标系 xOy 中,点(2,-2)在矩阵 M=(
2 2

)对应变换作用下得到点(-2,

4) ,曲线 C:x +y =1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C′,求曲线 C′的方程.

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 22.(★★)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直 线 l 的极坐标方程为 ρsin( 数,0≤α≤π) (Ⅰ)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标. 23.(★★★)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号分别为 1,2,3,4; 白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能 性相同) . (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 24.(★★)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有丨 FA 丨=丨 FD 丨.当点 A 的横坐标 为 3 时,△ ADF 为正三角形. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 1∥l,且 l 1 和 C 有且只有一个公共点 E, (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
2

-θ)=

,曲线 C 的参数方程为

(α 为参


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