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盐城市2015-2016学年度第二学期高一年级期终考试数试题及答案


2015/2016 学年度第二学期高一年级期终考试 数 学 试 题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:圆锥侧面积公式: S ? ? rl ,其中 r 为底

面半径, l 为母线长; 柱体体积公式: V ? Sh ,锥体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高.

1 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.直线 y ? x ? 3 的倾斜角为 2.函数 y ? 2sin ? ? x ? ▲ . ▲ .

? ?

??

? 的最小正周期是 2?

3.已知圆锥的底面半径为 1,高为 2 2 ,则该圆锥的侧面积为 4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ?n2 ? 4n ,则其公差 d ?

▲ ▲

. . ▲ . C1 B1

5.若向量 a= ? 2, m ? , b= 1, 3 ,且 a+b 与 a ? b 垂直,则实数 m 的值为 6.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V1 ,四棱锥 A1 ? BCC1B1 A1

?

?

?

?

? ?

? ?

V 的体积为 V2 ,则 1 = V2





7.已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴, 终边过点 P(?1,3) ,则 cos 2? 的值为 ▲ .

A B
第 6 题图

C

8.设 ?an ? 是等比数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a2 ? a3 ? a4 ? 14 , 则 a4 ? a5 ? a6 ? ▲ .

9.设 l , m, n 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 l 与 m 异面, m ∥ n ,则 l 与 n 异面; ②若 l ∥ ? , ? ∥ ? ,则 l ∥ ? ; ③若 ? ? ? , l ? ? , m ? ? ,则 l ? m ; ④若 m ∥ ? , m ∥ n ,则 n ∥ ? . 其中正确命题的序号有 ▲ . (请将你认为正确命题的序号都填上) 高一数学答案 第 1 页(共 4 页)

10.求值:

3 1 ? ? sin 20? cos 20?





11.在 ?ABC 中,设角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 3sin A ? cos A ? 2 , a ? 3 ,C ? 则b ? ▲ .
2 2

5? , 12

12.已知点 A? 2,4? , B ? 6, ?4? ,点 P 在直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 上,若满足 PA ? PB ? ? 的点 P 有 且仅有 1 个,则实数 ? 的值为 ▲ .
2 2

13 .在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 5 , A, B 是圆 C 上的两个动点,

??? ? ??? ? AB ? 2 ,则 OA ? OB 的取值范围为
则满足 Si ??1000,3000 ? 的 i 的值为





3m ? 2 ≤ i ? 3m ? 1 , m ? N? ) Si ? ai ? ai ?3 ? ai ?6 ? ai ?9 ? ai ?12 , 14. 在数列 {an } 中, 设 ai ? 2m( i ? N * , ,
▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? )的部分图象如图所 示. (1)求 A, ? , ? 的值; (2)当 x ? [0, y

?
2

] 时,求 f ( x) 的取值范围.
O

? 3
O

7? 12
O x

? 3
O
第 15 题图

高一数学答案 第 2 页(共 4 页)

16. (本小题满分14分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A1 ? 底面 ABC , CA ? CB , D, E, F 分别为

G 在 AA1 上,且 A1D ? EG . AB, A1D, AC 1 的中点,点 (1)求证: CD //平面 EFG ; B1 (2)求证: A1D ? 平面 EFG .

A1 C1 E F G

B C

D
第16题图

A

17. (本小题满分14分) (1)若 x ? y ? 1 ,求 | BD | ;

如图,在四边形 ABCD 中,?ABC 是边长为 6 的正三角形,设 BD=xBA ? yBC( x, y ? R ).

??? ?

??? ?

??? ?
C

??? ?

(2)若 BD ? BC ? 36 , BD ? BA ? 54 ,求 x, y .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

D A
第 17 题图

B

18. (本小题满分16分) 如图所示,?PAQ 是村里一个小湖的一角,其中 ?PAQ ? 60? . 为了给村民营造丰富的休闲环 境,村委会决定在直线湖岸 AP 与 AQ 上分别建观光长廊 AB 与 AC ,其中 AB 是宽长廊,造价是 800 元/米; AC 是窄长 廊,造价是 400 元/米;两段长廊的总造价预算为 12 万元(恰 好都用完) ;同时,在线段 BC 上靠近点 B 的三等分点 D 处建 一个表演舞台,并建水上通道 AD (表演舞台的大小忽略不 计) ,水上通道的造价是 600 元/米. (1)若规划宽长廊 AB 与窄长廊 AC 的长度相等,则水上通 道 AD 的总造价需多少万元? (2)如何设计才能使得水上通道 AD 的总造价最低?最低总 造价是多少万元? Q C

·D
E A B
第 18 题图

P

高一数学答案 第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分16分) 已 知 圆 M 的 圆 心 为 M ? ?1,2? , 直 线 y ? x ? 4 被 圆 M 截 得 的 弦 长 为

2 ,点 P 在直线

l : y ? x ? 1 上. (1)求圆 M 的标准方程;

(2)设点 Q 在圆 M 上,且满足 MP ? 4QM ,求点 P 的坐标; (3)设半径为 5 的圆 N 与圆 M 相离,过点 P 分别作圆 M 与圆 N 的切线,切点分别为 A, B , 若对任意的点 P ,都有 PA ? PB 成立,求圆心 N 的坐标.

????

???? ?

20. (本小题满分16分)

设 ?an ? 是公比为正整数的等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a1a2a3 ? 64 , b1 ? b2 ? b3 ? ?42 , (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
? ? ?an , n=2k ? 1, k ? N , (2)设 pn ? ? 数列 ? pn ? 的前 n 项和为 Sn . ? ? ?bn , n=2k , k ? N , ①试求最小的正整数 n0 ,使得当 n ? n0 时,都有 S2 n ? 0 成立;

6a1 ? b1 ? 2a3 ? b3 ? 0 .

②是否存在正整数 m, n ? m ? n? ,使得 Sm ? Sn 成立?若存在,请求出所有满足条件的

m, n ;若不存在,请说明理由.

高一数学答案
一、填空题: 1.

? 4

2. 2 9.③

3. 3? 10. 4

4. ?2 11. 6

5. 0 12. 58

6.

3 2

7. ?

4 5

8. 56

13. ?8, 48?

14. 16,17,18

二、解答题: 高一数学答案 第 4 页(共 4 页)

15.解: (1)由图像有 A ? 3 ,

……………2分 ……………4分

2? ? 7? ? ? ? 2, ? ? ? ? ,?? ? T ? 12 3 ? ? f ( x) ? 3sin(2x ? ? ) , ? ? 7? ? ? 7? ? 由f? ? ? ? 3 ,得 2 ? ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 2 ? 12 ? ? 12 ? 5? ? ?? ? ? ? 2k? , k ? Z ,? 0 ? ? ? ? ,?? ? . 3 3 ? ? ? ? ? 4? ? (2) f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ,? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? ? , , 3 2 3 ?3 3 ? ?
最小正周期 T ? 4 ?

……………8分 ……………10分 ……………12分 ……………14分 …………… 2分 …………… 6分

?? ? 3 ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ,1? , 3? ? 2 ? ? ? 3 ? 所以 f ( x ) 的取值范围为 ? ? , 3 ? . ? 2 ?
16.证明: (1)? E , F 分别为 A1 D, A1C 的中点,? EF // CD , 又? CD ? ? 平面 EFG , EF ? 平面 EFG ,? CD //平面 EFG . (2)? AC ? BC , D 为 AB 的中点,? CD ? AB ,

ABC ? AB , 又? CD ? 平面 ABC ,平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ,平面 ABB1 A 1 ? 平面 ? CD ? 平面 ABB1 A1 , ? CD ? A1D ,而 EF // CD ,? EF ? A1D , 又? A1D ? 平面 ABB1 A 1,
又? A1D ? EG , EF ? EG ? E , EF ? 平面 EFG , EG ? 平面 EFG , ……………10分 ……………12分 ……………14分

? A1D ? 平面 EFG .
17.解: (1)法一:若 x ? y ? 1 ,则 BD= BA ? BC , 所以 BD = BA ? BC

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?2

?

??? ? ??? ?

?

2

……………2 分 ……………6 分 ……………7 分

??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? 1 ? BA ? BC ? 2BA ? BC ? 36 ? 36 ? 2 ? 6 ? 6 ? ? 108 , 2 ??? ? ? BD =6 3 .
法二:坐标法,略. 法三:由三角形法则或平行四边形法则作图,略. (2)法一:由 BD=xBA ? yBC ,得

??? ?

??? ?

??? ?

高一数学答案 第 5 页(共 4 页)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BD ? BC ? xBA ? yBC ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? BD ? BA ? xBA ? yBC ? ?

? ?

? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BC ? xBA ? BC ? yBC ? BC , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BA ? xBA ? BA ? yBC ? BA,

……………10 分

?36 ? 18 x ? 36 y, ……………13 分 54 ? 36 x ? 18 y , ? 4 1 解得 x ? , y ? . ……………14 分 3 3 法二:以 B 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, ??? ? ??? ? 则 A ? ?6,0? , B ? 0,0? , C ?3,3 3 , BA ? ? ?6, 0 ? , BC ? ?3,3 3 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由 BD=xBA ? yBC ,得 BD=x ? ?6, 0 ? ? y ?3,3 3 ? ?6 x ? 3 y,3 3 y , ……………10 分
即?

?

?

?

?

? ?

? ?

则 BD ? BC ? ?3 ? ?6 x ? 3 y ? ? 3 3 3 3 y ? 18 x ? 36 y ? 36 ,

??? ? ??? ?

?

?

??? ? ??? ? BD ? BA ? ?6 ? ?6 x ? 3 y ? ? 36 x ? 18 y ? 54 ,
解得 x ?

……………13 分 ……………14 分

4 1 ,y? . 3 3

18.解: (1)设 AB ? AC ?x (单位:百米) ,则宽长廊 AB 造价为 8 x 万元,窄长廊 AC 造价为 4 x 万元,故两段长廊的总造价为 12 x 万元,所以 12 x ? 12 ,得 x ? 1 , 又 ?PAQ ? 60? ,? ?ABC 是边长为 1 的正三角形, 又点 D 为线段 BC 上靠近点 B 的三等分点,所以 BD ? 在△ ABD 中,由余弦定理得

1 , 3
2

……………3 分

1 7 ?1? AD2 ? BA2 ? BD2 ? 2BA ? BD cos ?ABD ? 12 ? ? ? ? 2 ? ? cos 60? ? , 3 9 ? 3? 7 , ……………6 分 ? AD ? 3 又水上通道的造价是 6 万元/百米,所以水上通道的总造价为 2 7 万元. ……………8 分 (2)法一:设 AB ? x, AC ? y (单位:百米) ,则两段长廊的总造价为 8 x ? 4 y ? 12 , 即 2 x ? y ? 3 ,在△ ABC 中,由余弦定理得
……10 分 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos ?BAC ? x2 ? y 2 ? 2xy cos60? ? x2 ? y 2 ? xy , 在△ ABC 与△ ABD 中,由余弦定理及 cos ?ABC ? cos ?ABD ,得 BA2 ? BC 2 ? AC 2 BA2 ? BD 2 ? AD 2 ? , ……………12 分 2 AB ? BC 2 AB ? BD 又 BC ? 3BD , 4 2 1 2 2 4 2 1 2 4 2 2 2 2 得 AD ? x ? y ? xy ? x ? ? 3 ? 2 x ? ? x ? 3 ? 2 x ? ? x ? x ? 1 9 9 9 9 9 9 9 3 高一数学答案 第 6 页(共 4 页)

3 3 4? 3? 3 , ? ? x ? ? ? ,当且仅当 x ? 时, AD 有最小值 4 2 9? 4? 4 3 故总造价有最小值 3 3 万元,此时 y ? , ……………15 分 2 3 3 即当宽长廊 AB 为 百米(75 米) 、窄长廊 AC 为 百米(150 米)时,水上通道 AD 有最低 4 2 总造价为 3 3 万元. ……………16 分 ???? 2 ??? ? 1 ???? 4 2 1 2 2 2 法二:由 AD ? AB ? AC ,平方得 AD ? x ? y ? xy ,以下略. 3 3 9 9 9 A AP 法三:以 为原点, 为 x 轴建立平面直角坐标系, 4 1 2 2 2 2 求出 D 的坐标得 AD ? x ? y ? xy ,以下略. 9 9 9 ?1 ? 2 ? 4 2 19.解: (1) M ? ?1,2? 到直线 y ? x ? 4 的距离为 d ? , ……………2 分 ? 2 2 2 1 ?1

2

? 2? ? 2? 又直线 y ? x ? 4 被圆 M 截得的弦长为 2 ,所以圆 M 的半径为 r ? ? , ? ? 2 ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?
∴圆 M 的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 .
2 2

2

2

???? ???? ? ???? ???? ? (2)由 MP ? 4QM ,得 MP ? 4 QM ? 4 ,
所以点 P 在圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 16 上,
2 2

……………5 分

……………7 分

?? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 16, ? 又点 P 在直线 y ? x ? 1 上,由 ? ……………9 分 y ? x ? 1, ? ? ? x ? ?1 ? x ? 3 解得 ? 或? , 即点 P 的坐标为 ? ?1, ?2? 或 ? 3, 2 ? . ……………10 分 ? y ? ?2 ? y ? 2 2 2 (3)设 P ?t, t ?1? , N ? a, b ? ,则圆 N 的标准方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 25 ,
PA2 ? PM 2 ? 12 ? ? t ? 1? ? ? t ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2t 2 ? 4t ? 9 ,
2 2

PB 2 ? PN 2 ? 52 ? ? t ? a ? ? ? t ? 1 ? b ? ? 25 ? 2t 2 ? ? 2a ? 2b ? 2 ? t ? a 2 ? ? b ? 1? ? 25 ,
2 2 2

……………12 分

? PA ? PB ,? 2t ? 4t ? 9 ? 2t ? ? 2a ? 2b ? 2 ? t ? a ? ? b ? 1? ? 25 ,
2 2 2 2

2 即 ? 2a ? 2b ? 2 ? t ? a ? ? b ? 1? ? 34 ? 0 2

(*) ,

因为对任意的点 P ,都有 PA ? PB 成立, 所以(*)式对任意实数 t 恒成立,得 ? 解得 ?

? ?2a ? 2b ? 2 ? 0 , 2 2 ? ?a ? ? b ? 1? ? 34 ? 0

……………14 分

?a ? 5 ?a ? ?3 或? , ?b ? ?4 ?b ? 4
高一数学答案 第 7 页(共 4 页)

又因为 ? N 与 ? M 相离,? MN ? 1 ? 5 ? 6 , 即

? a ? 1? ? ? b ? 2?
2

2

∴圆心 N 的坐标为 ? 5, ?4? . ? 6,

……………16 分 ……………2 分

20.解: (1)由 a1a2 a3 ? 64 , b1 ? b2 ? b3 ? ?42 ,得 a2 ? 4 , b2 ? ?14 ,
? 设 ?an ? 的公比为 q q ? N , ?bn ? 的公差为 d ,

?

?

由 6a1 ? b1 ? 2a3 ? b3 ? 0 ,得

6a2 ? ? b2 ? d ? ? 2a2 q ? b2 ? d ? 0 , q

? 24 3 24 ? ? 14 ? d ? 0 即? q ,消去 d ,得 ? 8q ? 28 ? 0 ,解得 q ? 或 q ? 2 , 2 q ?8q ? 14 ? d ? 0 ?
又? q ? N ? ,? q ? 2 , d ? ?2 ,得 an ? 2n , bn ? ?2n ?10 . ……………4 分 (2)① S2 ? a1 ? b2 ? 2 ?14 ? ?12 ? 0 , S4 ? S2 ? a3 ? b4 ? ?12 ? 8 ? 18 ? ?22 ? 0 ,

S6 ? S4 ? a5 ? b6 ? ?22 ? 32 ? 22 ? ?12 ? 0 , S8 ? S6 ? a7 ? b8 ? ?12 ? 128 ? 26 ? 90 ? 0 ,
……………6 分 设 tn ? S2n ? S2( n?1) ,则 tn ? p2n?1 ? p2n ? a2n?1 ? b2n ? 2 因为 tn ?1 ? tn ? ? 2
2n?1

? 4n ?10 ,

所以数列 ?tn ? 单调递增,则 n ≥5 时, tn ? t5 ? 29 ? 30 ? 0 , 而 S8 ? 0 ,所以当 n ≥4 时, S2n ? S8 ? 0 , 综上,最小的正整数 n0 ? 4 .

?

2? n ?1? ?1

2 n ?1 2 n ?1 1 ? 4 ? n ? 1? ? 10? ? ? ? 2 ? 4n ? 10 ? ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 0 ,

即 n ≥5 时, S2n ? S2( n?1) ,数列 ?S2 n ? 在 n ≥4 时单调递增,

……………9 分 ……………10 分

②法一: S1 ? a1 ? 2 , S2 ? ?12 , S3 ? S2 ? a3 ? ?12 ? 8 ? ?4 , S4 ? ?22 ,

S5 ? S4 ? a5 ? ?22 ? 32 ? 10 , S6 ? ?12 , S7 ? S6 ? a7 ? ?12 ? 128 ? 116 , S8 ? 90 . 1°当 m, n 同时为偶数时,由①可知 m ? 2, n ? 6 ; ……………11 分 2°当 m, n 同时为奇数时,设 rn ? S2n?1 ? S2n?1 ,则

rn ? p2n ? p2n?1 ? b2n ? a2n?1 ? ?4n ?10 ? 22n?1,

2 n ?3 2 n ?1 ? 3 ? 22 n ?1 ? 4 ? 3 ? 23 ? 4 ? 0 , 因为 rn ?1 ? rn ? ? ? ?4 ? n ? 1? ? 10 ? 2 ? ? ? ?4n ? 10 ? 2

?

?

所以数列 ?rn ? 单调递增,则当 n ≥2 时, rn ? r2 ? 2 ?18 ? 0 ,
5

即 n ≥2 时, S2n?1 ? S2 n?1 ,数列 ?S2n?1? 在 n ≥2 时单调递增, 而 S1 ? 2 , S3 ? ?4 , S5 ? 10 , 故当 m, n 同时为奇数时, Sm ? Sn 不成立; 3°当 m 为偶数, n 为奇数时,显然 m ? 6 时, Sm ? Sn 不成立, 若 m ? 8 ,则 Sm ? Sm?1 ? pm?1 ? Sm?1 ? am?1 ? Sm?1 ? 2m?1 ? Sm?1 , ∵ m ? n ,∴ m ? 1 ? n ,由 2°可知 Sm?1 ? Sn ,∴ Sm ? Sm?1 ? Sn , ∴当 m 为偶数, n 为奇数时, Sm ? Sn 不成立; 4°当 m 为奇数, n 为偶数时,显然 m ? 5 时, Sm ? Sn 不成立, 高一数学答案 第 8 页(共 4 页) ……………14 分 ……………13 分

若 m ? 7 ,则 n ? m ? 1 , 若 n ? m ? 1 ,则 S m ? S m ?1 ? pm ?1 ? S m ?1 ? bm ?1 ? S m ?1 ? ? ? ?2 ? m ? 1? ? 10 ? ? ? Sm ?1 ? Sn , 即 Sm ? Sn ,∴ n ? m ? 1 时, Sm ? Sn 不成立, 若 n ? m ? 1 ,即 n ? m ? 3 ,由①中数列 ?S2 n ? 的单调性,可知 Sn ? Sm?3 ,

?Sn ? Sm ? Sm?3 ? Sm ? pm?1 ? pm?2 ? pm?3 ? bm?1 ? am?2 ? bm?3 ? 2m?2 ? 4m ? 28 ,
设 um ? 2m?2 ? 4m ? 28 , 所以数列 ?um ? 单调递增,
m ?3 m? 2 m? 2 因为 um ?1 ? um ? ? ? 2 ? 4 ? m ? 1? ? 28? ? ? 2 ? 4m ? 28 ? 2 ? 4 ? 0 恒成立,

?

?

则当 m ? 7 时, um ? u7 ? 29 ? 56 ? 0 ,? Sn ? Sm ? 0 ,∴ n ? m ? 1 时 Sm ? Sn 也不成立; 综上 1°2°3°4°,存在正整数 m ? 2, n ? 6 ,使得 Sm ? Sn 成立. ……………16 分 法二:可以证明当 k ? 3 时,不等式 S2k ? S2k ?1 ? S2k ?2 ? S2k ?1 恒成立,余下略.

高一数学答案 第 9 页(共 4 页)


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