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2015届前黄、姜堰、如皋、沭阳四校联考数学试题


前黄、姜堰、如皋、沭阳四校联考数学试题
数学Ⅰ试题

(2015.1.5)

称 f ( x ) 是 D 上的“凹函数” . 若 f ( x) ? x | ax ? 4 | (a ? 0) 在 [2,3] 上为“凹函数” ,则 a 的取值范围是 ▲ .

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 7

0 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , 则A
x 2

?

?

?

?

14. 已知椭圆 C :

B?



. 开始

x2 ? y 2 ? 1 ,点 M1 , M 2 , 2

, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 k ,P 10 ,则 10 条直线 AP 1 , AP 2, , AP 10 的斜率乘积

2. 复数 z ?

i ( i 为虚数单位),则复数 z 的模为 1? i

▲ .

(k ? 0) 的一组平行线,交椭圆 C 于 P 1, P 2,
为 ▲ .

3. 设 a ? R, 则“ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2 与直线 y ? 的 ▲

a x ? 1 垂直” 4

x?2

条件.(在“充分必要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、

y ?1
x?5
N 输出 y 结束

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 ....... 算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 b ? 3a . (1)当 C ?

“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 4. 执行如图所示的算法流程图,则最后输出的 y 等于 ▲ .

Y

5. 已知正四棱锥的底面边长是 2 ,侧棱长为 5 ,则该正四棱锥的表面积 是 ▲ .

y ? 2 y ?1
x ? x ?1
Y
(第 4 题)

?
6

,且 ?ABC 的面积为

6. 从集合 ?1,2,3,4? 中任取 2 个不同的数,这 2 个数的和为 3 的倍数概率 为 ▲ .
0

3 时 , 求 a 的值; 4

(2)当 cos C ? ▲ .

3 时,求 cos( B ? A) 的值. 3

AB AC ? 7. 在 ΔABC 中,点 D 是线段 BC 的中点,若 ?A ? 60 ,
8. 若 ? ? (

?
2

, ? ), cos 2? ? sin(

?
4

1 , 则 | AD| 的最小值是 2
.

? ? ) ,则 sin 2? 的值为



2 2 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 C : ( x ? 2) ? y ? 5 上的任意一点,动点 Q (2a, a ? 2)

(a ? R) ,则线段 PQ 长度的最小值为



.

16.(本小题满分 14 分)

3 1 1 3 10. 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 2, b1 ? 1 , an +1 ? an ? bn ? 1 , bn +1 ? an ? bn ? 1 4 4 4 4

(n ? N * ) ,则

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,四边形 ABCD 是平行四边形,且 AC ⊥ CD ,

PA ? AD, M、Q 分别是 PD、BC 的中点.
(1)求证: MQ // 平面 PAB ; (2)若 AN ? PC ,垂足为 N ,求证: PD ? 平面 AMN .

(a5 ? b5 ) (a6 ? b6 ) 的值为

▲ .

P

?log 2 x ? a, x ? 0 11. 已知函数 f ? x ? ? ? x ,若函数 y ? f ? x ? ? x 有且只有一个零点,则实数 a 的取值范围 ? 2 ? a, x ? 0
是 ▲ .

N

M

12. 若 a ? 0, b ? 0 ,且

1 1 + ? 1 ,则 a + 5b 的最小值为 2a + b b + 1

A





D

13. 设函数 f ( x ) 在区间 D 上有定义,若对其中任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 恒有 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则 2 2
1

B

Q

C

(第 16 题)

18.(本小题满分 15 分) 17.(本小题满分 15 分)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,曲线 C2 : ? 2 ? 1(0 ? ? ? 1) .曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点. 已知曲线 C1 : 4 4? 4? 4? ? (1) 求 的值;
(2) 若曲线 C2 上一点 P 的坐标为 (1,

一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C ,村庄 B 与 A, C 的直线距离都是 2km , BC 与河岸垂直, 垂足为 D. 现要修建电缆, 从供电站 C 向村庄 A, B 供电. 修建地下电缆、水下电缆的费用分别是 2 万元 / km 、

2 ) ,过点 P 作直线交曲线 C1 于 A, C 两点. 直线 OP 交曲线 C1 于 2
y B

4 万元 / km .
(1) 如图①,已知村庄 A 与 B 原来铺设有电缆 AB ,现先从 C 处修建最短水下电缆到达对岸后,再修建地下 电缆接入原电缆供电,试求该方案总施工费用的最小值;来源:学科网 ZXXK] (2) 如图②,点 E 在线段 AD 上,且铺设电缆的线路为 CE, EA, EB .若 ?DCE ? ? , (0 ? ? ? 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

B, D 两点. 若 P 为 AC 中点,
A
① 求直线 AC 的方程; ② 求四边形 ABCD 的面积.

?
3

) ,试用 ?

B
P O C D x

B E

A

D

A

D

图① (第 17 题)

C

图②

C

2

19.(本小题满分 16 分) 已知无穷数列 {an } 中, a1 , a2 , 公比为

, am 是首项为 10 ,公差为 ?2 的等差数列; am?1 , am?2,

1 a2m 是首项为 , 2

数学 II 试题(附加题)
数学 II 试题共有四题,每题 10 分,共计 40 分 21. (本小题满分 10 分) 已知直线的参数方程 ?

1 * 的等比数列(其中 m ? 3, m ? N * ) ,并对任意的 n ? N ,均有 an?2m ? an 成立. 2

(1)当 m ? 12 时,求 a2014 ; (2)若 a36 ?

? x ? 2?t ( t 为参数),圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 cos ? ? 0 . ? y ? 1 ? 2t

1 ,试求 m 的值; 256

(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求圆 C 上一点 P 到直线的最短距离.

(3)判断是否存在 m ( m ? 3, m ? N * ) ,使得 S128m?3 ? 2014 成立?若存在,试求出 m 的值;若不存在, 请说明理由.

22. (本小题满分 10 分) 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? a ? 1) ln x ? x ? 1 . (1)若 a ? 1, 求 f ( x ) 的单调区间; (2)求证:当 x ? 1 时, (3)若 (1 ? )

如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a, b ? a ? b ? ,原点 O 为 AD 的中点,抛物线

y 2 ? 2x 经过 C , F 两点,求 a , b 的值.
y G F

1 1 1 ? ? ; ln x x ? 1 2

A O B D C E x

1 n

n?a

? e 对任意的 n ? N * 都成立(其中 e 是自然对数的底) ,求常数 a 的最小值.

(第 22 题)

3

23. (本小题满分 10 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A 2 , BB1 ? 3 , D 为 AC 1B 1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB ? BC ? 1 1 的中 点, F 在线段 AA1 上. (1)若 CF ? 平面 B1DF ,求 AF ; (2)设 AF ? 1 ,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

前、姜、如、沭四校联考数学试题
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. [?2, 0] 2.

(2015.1.5)

2 2 3 2
7 2

3.充分不必要

4. 31

5. 12

6.

B1 A1 F D

C1

1 3

7.

8. ?

1 2

9.

5 5
14. ?

10.

11 32

-1) 11.(? ?,

12.

13. (??,0) [2, ??)

1 32

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. 解:(1)因为 b ? 3a , ?ABC 的面积为 所以 S ?

3 , 4

B A
(第 23 题)

C

1 3 2 3 ,…………………………………………………………5 分 ab sin C ? a ? 4 2 4
…………………………………………………………7 分

解得 a ? 1 . (2) b ? 3a , cos C ?

24. (本小题满分 10 分)

3 , 3
……………………………10 分

2x 已知常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(1 ? ax) ? . x?2 (1)讨论 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性; (2)若 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

由余弦定理得, c ? 2a ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 , B ? 90? , 由正弦定理得, sin A ?

3 , 3

………………………………………………………12 分

所以 cos( B ? A) ? cos(90? ? A) ? sin A ?

3 . 3

………………………………………14 分

16. 证明: (1)(方法一)取 PA 的中点 E ,连结 ME , BE ,

1 因为 M 是 PD 的中点,所以 ME AD , ME ? AD , 2 1 又因为 Q 是 BC 中点,所以 BQ ? BC , 2
因为四边形 ABCD 是平行四边形; 所以 BC ∥AD ,所以 BQ ∥ ME , 所以四边形 MQBE 是平行四边形, …………………4 分 所以 MQ BE . 因为 BE ? 平面 PAB , MQ ? 平面 PAB , 所以 MQ
4

P
M

E N A

D

B

平面 PAB .

(第 16 题) ………………………………………………………… 6分

Q

C

(方法二)取 AD 的中点 F ,连结 MF , QF .

证得平面 MQF // 平面 PAB ,从而证得 MQ 平面 PAB . (2)因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD ,又因为 AC ? CD , PA AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 CD ? 平面 PAC ,又 AN ? 平面 PAC , 所以 AN ? CD . ………………………………………………………………9 分 又 AN ? PC , PC CD ? C , PC ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AN ? 平面 PCD ,又 PD ? 平面 PCD ,所以 AN ? PD , ……………………………………12 分 又 PA ? AD , M 是 PD 中点,所以 AM ? PD , 又 AM AN ? A , AM ? 平面 AMN , AN ? 平面 AMN ,所以 PD ? 平面 AMN . ……………14 分

? x12 y12 ? ?1 ? y ? y2 y1 ? y2 1 ?4 2 由? ,两式相减可得 1 ? ? ? ,………………………………6 分 2 2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ?4 2
? k AC 2 1 2 ? ? ,? k AC ? ? 2 2 2
…………………………………8 分

? AC 直线方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 .


17.解: (1)由 4? ? 4 ? 4?

可得 ? ?

1 . 2

……………………………………………………3 分

OP 的斜率为

2 2 ,? 直线 OB 的方程为: y ? x. 2 2

x2 y 2 ? ? 1. (2)①(方法一)由(1)可得曲线 C1 : 4 2
由条件可知 AC 的斜率必存在,可设 AC 直线方程为: y ? k ( x ? 1) ?

2 , A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) . 2

? 2 y? x ? ? ?x ? 2 ? ?x ? ? 2 ? 2 联立方程 ? ,可得 ? 或? . 2 2 ? ? ?y ?1 ? y ? ?1 ?x ? y ?1 ? ?4 2

? B( 2,1), D(? 2, ?1) .
? B、D 分别到直线 AC 的距离为

……………………………………………11 分

? 2 y ? k ( x ? 1) ? ? ? 2 , 联立方程 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? ?4 2
可得 (2k 2 ? 1) x2 ? (2 2 ? 4k )kx ? 2k 2 ? 2 2k ? 3 ? 0 (*)…………………………………6 分

d1 ?

2 2 ?2 2 2 ?2 , d2 ? 3 3

2 由(*)可得 x ? 2 x ? 0 ,? x ? 0 或 x ? 2

(4k ? 2 2)k ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 P (1, 2 ) 是 AC 的中点,? x1 ? x2 ? 2 . 2

? A(2, 0), C(0,2) ,?| AC | ? 6

………………………………………13 分 ……………15 分

1 1 4 2 ? 四边形 ABCD 的面积 S ? | AC | (d1 ? d2 )= ? 6 ? =4 2 2 3
18. 解: (1)由已知可得 △ ABC 为等边三角形. 因为 CD ? AD ,所以水下电缆的最短线路为 CD . 过 D 作 DM ? AB 于 M ,可知地下电缆的最短线路为 DM . …………………………………………………………8 分 又 CD ? 1, DM ?

?

(4k ? 2 2)k 2 =2 ,解得 k ? ? . 2 2k ? 1 2

M A

B

D

? AC 直线方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 .

3 , 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

…………………3 分

2 ) ,可得 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 . ①(方法二) 设 A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,由 AC 的中点为 P (1, 2

故 该 方 案 的 总 费 用 为 1? 4 ? 元)

3 ?2 ? 4? 3 ( 万 2

C

……………………………………6 分

5

( 2)因为 ?DCE ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

?, 3?



1 1 ? ( )8 ,∴等比数列中至少有 8 项,即 m ? 8 ,则一个周期中至少有 16 项. 256 2

1 , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan ? . 所以 CE ? EB ? cos ? 1 1 3 ? sin ? ?4? ? 2 ? 3 ? tan ? ? 2 ? 2 ? ? 2 3 , ………………………9 分 则y? cos ? cos ? cos ? 3 ? sin ? B ,则 令 g ?? ? ? cos ?

∴ a36 最多是第二个周期中的项. 若 a36 是第一个周期中的项,则 a36 ? am ?8 ? ∴ m ? 36 ? 8 ? 28 ; 若 a36 是第二个周期中的项,则 a36 ? a3m ?8 ? 综上, m ? 28 . (3) 2 m 是此数列的周期,

…………………………………………7 分

?

?

1 . 256

1 . ∴ 3m ? 28, m 不为整数; 256

? cos2 ? ? ? 3 ? sin ? ?? ? sin ? ? 3sin ? ? 1 , g ? ?? ? ? ? cos2 ? cos2 ?
因为 0 ? ? ? 记 sin ? 0 ?

A

E

D

…………………………………………………10 分

?
3

∴ S128m?3 表示 64 个周期及等差数列的前 3 项之和.

,所以 0 ? sin ? ?

3 ,[来源:Zxxk.Com] 2

C

∴ S 2 m 最大时, S128m?3 最大.

………………………………………………12 分

1 ? , ? 0 ? (0, ), 3 3 1 当 0 ? sin ? ? ,即 0 ? ? ? ?0 时, g ? ?? ? ? 0, 3

∵ S2m

1 1 [1 ? ( )m ] m(m ? 1) 2 2 ? ?m2 ? 11m ? 1 ? 1 ? ?(m ? 11)2 ? 125 ? 1 , ? (?2) ? ? 10m ? 1 2 2m 2 4 2m 1? 2

1 3 ? 当 ? sin ? ? ,即 ?0 ? ? ? 时, g? ?? ? ? 0 , 3 3 2

当 m ? 6 时, S2 m ? 31 ? 当 m ? 5 时, S2m ? 30 ……………………13 分

1 63 ? 30 ; 64 64

所以 g ?? ?min

1 3 ? 2 2 ,从而 y ? 4 2 ? 2 3 , ? g (?0 ) ? 2 2 3 3?

63 ; 64 11 2 125 63 =29< 30 . ) ? 2 4 64

当 m ? 7 时, S2m ? ?(7 ?

∴当 m ? 6 时, S 2 m 取得最大值, 则 S128m?3 取得最大值为 64 ? 30
63 ? 24 ? 2007 . 64
*

2 此时 ED ? tan ?0 ? , 4
因此施工总费用的最小值为( 4 2 ? 2 3 )万元,其中 ED ?

……………………………15 分

由此可知,不存在 m ( m ? 3, m ? N ) ,使得 S128m?3 ? 2014 成立. …………16 分

2 . ……………………15 分 4
20. 解: (1)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ln x ? x ? 1 ,定义域为 (0, ??)

19. 解(1) m ? 12 时,数列的周期为 24 . ∵ 2014=24 ? 83+22 ,而 a22 是等比数列中的项, ∴ a2014 ? a22 ? a12 ?10 ? ( ) ?
10

令 f ?( x) ? 0, 可得 0 ? x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 可得 x ? 1. 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0,1) ,单调增区间为 (1, ??) . (2)当 x ? 1 时,则 ln x ? 0 ,因此要证 只需证 ( x ? 1) ? ln x ?
6

1 2

1 . 1024

…………………………………………4 分

……………………3 分

(2)设 am?k 是第一个周期中等比数列中的第 k 项,则 am ? k ? ( ) .
k

1 2

1 1 1 ? ? ( x ? 1) , ln x x ? 1 2

1 ( x ? 1) ln x( x ? 1). 2

1 ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1) ? 0 恒成立. ………………………………………5 分 2 1 令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? ( x ? 1), 其定义域为 (1, ??) 2 x ln x ? ( x ? 1) F ?( x) ? ( x ? 1) . ………………………………………7 分 2x
即证 由(1)知当 x ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? x ? 1(a ? 1) 有最小值. 所以 f ( x) ? f (1) ? 0(a ? 1), 即 F ?( x) ? 0, 所以 F ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, 则 F ( x) ? F (1) ? 0 恒成立.

若0 ? a ?

1 ?2 1 1 ? 2a , x ? [1, ??), G?( x) ? 0 ? ln x ? (x ? 1 ) ? 1 ? x ? e a ? x0 2 a

所以对常数 a ?

1 ,总存在 x0 , 使得 x ?[1, x0 ] 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 为减函数, 2

当 x ?[1, x0 ] 时,有 G( x) ? G(1) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号) , 从而知当 x ?[1, x0 ] 时, f ?( x) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号) 所以 f ( x ) 在 [1, x0 ] 上为减函数. 所以存在 n ? N , 1 ? 1+
*

1 1 ? x0 时, f (1+ ) ? f (1)=0 n n

1 1 1 ? ? 恒成立. ………………………………………9 分 ln x x ? 1 2 1 1 * (3)因为 n ? N 时, 1 ? 1 ? ? 2 ,所以 ln(1 ? ) ? 0. n n 1 n?a * ?e 所以当 n ? N 时,由 (1 ? ) n 1 1 ? ln(1 ? ) n ? a ? ln e ? (n ? a) ln(1 ? ) ? 1 n n 1 1 ………………………………11 分 ? n?a ? ?a? ?n 1 1 ln(1 ? ) ln(1 ? ) n n 1 1 1 1 1 由(2)及 0 ? ? 1 可得 ? ? ? ? n(n ? N * ) 恒成立. n 2 ln(1 ? 1 ) (1 ? 1 ) ? 1 ln(1 ? 1 ) n n n 1 1 n?a ? e 恒成立. 所以当 a ? 时,不等式 (1 ? ) ………………………………13 分 2 n 1 1 n?a ? e 不恒成立: 下面证明对任意常数 a ? 时,不等式 (1 ? ) 2 n
故当 x ? 1 时,

? (1 ? a

1 1 1 ) ln( ? 1) ? ? 0 n n n

1 ? (1 ? ) n ? a ? e n 1 所以 a ? 不符合题意要求. 2 1 1 n?a ? e 恒成立的 a 的最小值为 . 综上所述,使不等式 (1 ? ) 2 n

………………………………16 分

数学 II 试题参考答案
21 . 解: ( 1 )直线可化为 2 x ? y ? 5 ? 0 ,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆心 (? 1, 0) ,半径为
2 2

r ?1.
(2)圆心到直线的距离为 d ?

…………………………………………………5 分

7 5

? 圆上一点 P 到直线的最短距离为 d ? r ?
22. 解:由条件可知 C ( , ? a ), F ( ? b, b)

7 5 ?1 5

………………………………………10 分 …………………………………………4 分

a 2

a 2

f ( x) ? (ax ? a ? 1) ln x ? x ? 1 ,只考察 x ?[1, ??),
f ?( x) ? a ln x +(ax ? a ? 1) 1 ax ln x ? (a ? 1) x ? (a ? 1) ?1 ? . x x

令 G( x) ? ax ln x ? (a ? 1) x ? (a ? 1) 则 G?( x) ? a ln x ? 2a ? 1. 若 a ? 0, x ?[1, ??),ln x ? 0, 所以 x ? [1, ??) , G?( x) ? 0 ;
7

a ? (?a) 2 ? 2 ? ? ? 2 C , F 在抛物线 y 2 ? 2x 上,? ? , ?b 2 ? 2( a ? b) ? ? 2 ? ?a ? 1 可得 ? …………………………………………………………10 分 ? ?b ? 1 ? 2
B 点为原点, BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示 23. 解: (1)因为直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,以
空间直角坐标系.

因为 AB ? BC ? 2 ,所以 B(0 , 0, 0), A( 2,0, 0) C(0,2,0), B1 (0, 0, 3), A1 ( 2,0, 3), C1 (0,2,3) , z B1 C1 所以 .

又 f(x)的极值点只可能是 x1=2

1-a 和 x2=-2 a

1- a ,且由 f(x)的定义可知, a

CA1 ? ( 2, ? 2,3)

设 AF ? x, 则 F ( 2,0, x)

A1 F B A

D

CF ? ( 2, ? 2, x), B1F ? ( 2,0, x ? 3) .
因为 CF ⊥平面 B1DF ,所以 CF ? B1F . 由 CF B1F ? 2 ? x( x ? 3) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 2 ,

C y

x

故当 CF ⊥平面 B1DF 时,可得 AF ? 1 或 2 .………………………………………………… 5 分 (2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) . 设平面 B1CF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由 ? 令 z ? 1 得 n ? ( 2,

? ?n ? CF ? 0 ? ?n ? B1 F ? 0

,得 ?

? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, ? ? 2 x ? 2 z ? 0,

3 2,1) , 2

所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值

cos ? n, n1 ??

1 9 1? 2 ? ? 1 2

?

30 15

………………………………………………10 分

2(x+2)-2x ax2+4(a-1) a 24. 解:(1)f′(x)= - = .(*) 1+ax (x+2)2 (1+ax)(x+2)2 当 a≥1 时,f′(x)>0,此时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当 0<a<1 时,由 f′(x)=0 得 1-a? 1-a ? x1=2 x2=-2 舍去?. a ? a ? ? 当 x∈(0,x1)时,f′(x)<0; 当 x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在区间(0,x1)上单调递减, 在区间(x1,+∞)上单调递增. 综上所述, 当 a≥1 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 1-a? 1-a ? ? ? 当 0<a<1 时,f(x)在区间?0,2 ?上单调递减,在区间?2 ,+∞?上单调递增. 4 分 a ? a ? ? ? (2)由(*)式知,当 a≥1 时,f′(x)≥0, 此时 f(x)不存在极值点,因而要使得 f(x)有两个极值点,必有 0<a<1.
8

1 x>- 且 x≠-2, a 1-a 1-a 1 所以-2 >- ,-2 ≠-2, a a a 1 解得 a≠ .此时,由(*)式易知,x1,x2 分别是 f(x)的极小值点和极大值点. 2 2x1 2x2 而 f(x1)+f(x2)=ln(1+ax1)- +ln(1+ax2)- =ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]- x1+2 x2+2 4x1x2+4(x1+x2) 4(a-1) 2 =ln(2a-1)2- =ln(2a-1)2+ -2. x1x2+2(x1+x2)+4 2a-1 2a-1 1 令 2a-1=x.由 0<a<1 且 a≠ 知, 2 1 当 0<a< 时,-1<x<0; 2 1 当 <a<1 时,0<x<1. 2 2 记 g(x)=ln x2+ -2. ………………………………6 分 x 2 2 2 2x-2 (i)当-1<x<0 时,g(x)=2ln(-x)+ -2,所以 g′(x)= - 2= 2 <0, x x x x 因此,g(x)在区间(-1,0)上单调递减, 从而 g(x)<g(-1)=-4<0. 1 故当 0<a< 时,f(x1)+f(x2)<0. 2 2 (ii)当 0<x<1 时,g(x)=2ln x+ -2, x 2 2 2x-2 所以 g′(x)= - 2= 2 <0, x x x 因此,g(x)在区间(0,1)上单调递减, 1 从而 g(x)>g(1)=0.故当 <a<1 时,f(x1)+f(x2)>0. 2 1 ? 综上所述,满足条件的 a 的取值范围为? ………………………………10 分 ?2,1?.


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