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2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(27)平面向量的数量积B)


课时作业(二十七)B [第 27 讲 平面向量的数量积] [时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.已知向量 a,b 满足 a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=( ) A.0 B.2 2 C.4 D.8 2.已知 a=(1,0),b=(x,1),若 a· b= 3,则 x 的值为( ) A. 2 B.2 2 C. 3-1 D. 3 3. [2011· 厦门质

检] 已知|a|=2, b 是单位向量, 且 a 与 b 夹角为 60° , 则 a· (a-b)等于( ) A.1 B.2- 3 C.3 D.4- 3 4.[2011· 安徽卷] 已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为__________________________________________________________. 能力提升 → → 5.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC等于( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 6.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin2x),其中 x∈(0,π).若|a· b|=|a||b|,则 tanx 的值等 于( ) 2 A.1 B.-1 C. 3 D. 2 7.若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ) π π A. B. 6 3 2π 5π C. D. 3 6 8.若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则( ) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 9.[2011· 江西卷] 已知|a|=|b|=2,(a+2b)· (a-b)=-2,则 a 与 b 的夹角为________. → → → → → → 10.[2011· 湖南卷] 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD· BE =________. → → AB AC → → → 1→ → 11.[2011· 泉州二模] 在△ABC 中,已知 + ⊥BC,且AB· AC= |AB|· |AC|,则△ 2 → → |AB| |AC| ABC 的形状是________. 12.(13 分)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 → → DC 上的动点,求|PA+3PB|的最小值.

难点突破 13.(12 分)如图 K27-2,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3, → → P 是 BC 上的一个动点,当PD· PA取最小值时,求 tan∠DPA 的值.

图 K27-2

课时作业(二十七)B 【基础热身】 1.B [解析] ∵|2a-b|2=4a2-4a· b+b2=8, ∴|2a-b|=2 2. 2.D [解析] 依题意得 a· b=x= 3. 2 3.C [解析] a· (a-b)=a -a· b=4-2×1×cos60° =3. π 4. [解析] 设 a 与 b 的夹角为 θ,依题意有(a+2b)· (a-b)=a2+a· b-2b2=-7+2cosθ 3 1 π =-6,所以 cosθ= .因为 0≤θ≤π,故 θ= . 2 3 【能力提升】 → → → → → → → → 5 .D [ 解析 ] 因为∠C =90° ,所以AC· CB= 0 ,所以AB· AC= ( AC+CB)· AC= |AC|2+ → → AC· CB=AC2=16. 6.A [解析] 由|a· b|=|a||b|知 a∥b.所以 sin2x=2sin2x,即 2sinxcosx=2sin2x,而 x∈(0, π π),所以 sinx=cosx,即 x= ,故 tanx=1.故选 A. 4 7.C [解析] 依题意,由|a+b|=|a-b|=2|a|得 a⊥b,b2=3a2,cos〈a+b,a-b〉= a2-b2 1 2π =- ,所以向量 a+b 与 a-b 的夹角是 . 2 3 |a+b||a-b| 8.C [解析] 因为|a+b|=|b|,所以 a· (a+2b)=0,即 a⊥(a+2b),因此|a|、|a+2b|、|2b| 构成直角三角形的三边,|2b|为斜边,所以|2b|>|a+2b|. π 9. [ 解析 ] 设 a 与 b 的夹角为 θ ,由 (a + 2b)· (a -b) =- 2 得 |a|2 + a· b - 2|b|2 = 4 + 3 2×2×cosθ-2×4=-2, 1 π 解得 cosθ= ,∴θ= . 2 3 1 10.- [解析] 由题知,D 为 BC 中点,E 为 CE 三等分点,以 BC 所在的直线为 x 轴, 4 1 3 - ,0?, 以 AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,可得 A?0, ?,D(0,0),B? 2 ? ? 2 ? ? 1 3 3 5 3 → → E? , ?,故AD=?0,- ?,BE=? , ?, 2? ?3 6 ? ? ?6 6 ? 3 3 1 → → 所以AD· BE=- × =- . 2 6 4 → → ? AB AC ? → → → + 11. 等边三角形 [解析] 非零向量AB与AC满足? · BC=0, 即∠BAC 的平分线 → →? ?|AB| |AC|? → → AB· AC 1 π 垂直于 BC,∴AB=AC,又 cosA= = ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形. 3 → → 2 |AB||AC|

12. [解答] 建立如图所示的坐标系, 设 DC=h, 则 A(2,0), B(1, h). 设 P(0, y)(0≤y≤h), → → → → 则PA=(2,-y),PB=(1,h-y),∴|PA+3PB|= 25+?3h-4y?2≥ 25=5. 【难点突破】 → → 13. [解答] 如图, 以 A 为原点, AB为 x 轴, AD为 y 轴建立平面直角坐标系 xAy, 则 A(0,0), B(3,0),C(3,2),D(0,1),设∠CPD=α,∠BPA=β,P(3,y)(0≤y≤2).

→ → ∴PD=(-3,1-y),PA=(-3,-y), 1?2 35 → → 2 ∴PD· PA=y -y+9=? ?y-2? + 4 , 1? 1 → → ∴当 y= 时,PD· PA取最小值,此时 P? ?3,2?. 2 → → 易知|DP|=|AP|,α=β. 3 在△ABP 中,tanβ= =6, 1 2 2tanβ 12 所以 tan∠DPA=-tan(α+β)= 2 = . tan β-1 35


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