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第27课 向量在物理中的应用举例


2.5.2 向量在物理中的应用举例 27 **学习目标** 1. 使学生运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算, 并在这个过程 中培养学生探究问题和解决问题的能力 2.通过例题,研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题 **要点精讲** 1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的各种力、速度、加速度、位移等都是既有 大小又有方向的量。力的做功是向量数量积的物理背景,向量的加减运算、正交分解与相应 的物理问题有着紧密的联系。 2.向量法解决物理问题的步骤是: (1)将相关物理量用几何图形表示出来; (2)根据物理意义,构造出数学模型即具体的向量运算式,转化为数学问题; (3)通过向量运算求数学问题的解; (4)将数学问题还原为物理问题。
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

**范例分析** 例 1.如图,一艘船从 A 点出发以 2 3 km / h 的速度向垂直于对岸的方向 行驶,同时河水的流速为 2 km / h ,求船实际航行速度的大小与方向 (用与流速间的夹角表示) 。

D

C

A

B

例 2.两个人用同样的力量共提一个重力为 G 的旅行包,两人所用力

F1, F2 的夹角为 ? 。
(1)试讨论 ? 的大小与两个用力 F1 的关系; (2) ? 为何值时, F1 最小,最小值是多少? (3) F1 能等于 G 吗?为什么?

1

例 3.已知 F1 ? i ? 2 j , F2 ? 3i ? 4 j , F3 ? ?2i ? 3 j ,其中 i , j 分别是 x 轴、 y 轴正方向 上的单位向量,若 F1 , F2 , F3 共同作用于一物体,使物体从点 A ?1, ?2? 移到点 B ? 3,1? , 求合力所做的功。

例 4.如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们, 并在两端分别挂有 4 kg 和 2 kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体, 为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)

F 1 4k g mk g

F 2 2k g

**规律总结** 用向量的视角探究两个物理问题: 1 两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小 F1 与两绳子间的夹角 ? 的关系
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?? ?

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(1)作图进行受力分析(注意分析对象) ; (2)由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识,得出:

?? 1 ?? G ?? ? ? 2G cos ? ?? ? ? F1 ? ? 2 F1 2 cos 2
(3)探究:

?? ? 当 ? 逐渐增大时, F1 的大小怎样变化?为什么?
当 ? 为何值时, F1 最小,最小值是多少?

?

F1

?? ?

G

?? ? ?? 当 ? 为何值时, F1 ? G ?
如果 F1 ? 588 N , G ? 882 N , ? 在什么范围时,绳子不会断? 请读者自行设定 F1 与 G 的大小,研究 F1 与 ? 的关系?

?? ?

??

?? ?

??

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2

2 速度与分解问题 一条河的两岸平行,河的宽度 d=500m,一艘船从 A 处出发航行到河的正对岸 B 处 船航行的速度
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C

B

D

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v1 ? 10km / h ,水流速度 v2 ? 4km / h 那么,v1 与 v2 的
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v1
? A

夹角 ? (精确到 1 )多大时,船才能垂直到达对岸 B 处? 船
0
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行驶多少时间(精确到 0 1min)? 探究: (1)速度是向量,如果水是静止的,则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了 由于水
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v

2

的流动,船被冲向下游,因而水速? 2 的方向怎样的呢? (2)此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的,这是合速度? 的方向还是? 1 的 方向?为什么? (3)③画出? 2 和? 的方向,思考一下向量? ?? 2 的方向如何确定? (4)④利用三角形法则作出? -? 2 (即? 1 ) ,再把? 1 的起点平移到 A ,也可直接用平 行四边形法则作出? 1 。 **基础训练** 一、选择题 1、某人骑自行车的速度为 v1 ,风速为 v 2 ,则逆风行驶的速度的大小为( A. v1 ? v2 B. v1 ? v2 C. | v1 | ? | v2 | D. ).

| v1 | | v2 |


2、用力 F 推动一物体水平运动 s m ,设 F 与水平面角为 ? ,则对物体所做的功为( A. | F | ?s B. F cos ? ? s C. F sin ? ? s D. | F | cos ? ? s

3.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3) (即点 P 的运动方向与 v 相同, 且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点 P 的坐标为(-10,10) ,则 5 秒后点 P 的坐 标为( ) A. (-2,4) B. (-30,25) C. (10,-5) D. (5,-10) 4、某人以时速为 akm 向东行走,此时正刮着时速为 akm 的南风,则此人感到风向及风速 分别的为( ) A.东北, 2akm / h C.西南, 2akm / h B.东南, akm / h D.东南, 2akm / h

5. 已知一物体在共点力 F1 ? (lg 2, lg 2), F2 ? (lg5, lg 2) 的作用下产生位移 s ? (2 lg 5,1)

3

则共点力对物体做的功 W 为( ) A. lg2 B. lg5 C. 1 二、填空题

D. 2

6、作用于原点的两个力 F 1 (1,1), F 2 (2,3) ,为使它们平衡,需要加力 F 3 =____________ 7.在静水中划船的速度是每分钟 40 米,水流的速度是每分钟 20 米,如果船从岸边出发, 径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进方向应指向何处,实际船速为多少? 答: 。

8.一架飞机向北飞行 200 千米后,改变航向向东飞行 200 千米,则飞行的路程 B 为 ;两次位移的和的方向为 ,大小为 . 三、解答题

C

A

9. .如图所示,正六边形 PABCDE 的边长为 b,有五个力 PA、PB、PC、PD 、 P E 作用 于同一点 P,求五个力的合力。

?

?

?

?

?

10.如图,一个物体在力 F 的作用下产生的位移是 s , F 与 s 的夹角是 ? 。

s 、?表示力F所做的功W; (1)用 F 、
(2)用 F、 s 表示 W; (3)当 ? 逐渐增大时, F ? s 的大小怎样变化,为什么?

?? ?

?

? ?

4

**能力提高** 11 .平面上有两个向量 e1 ? ?1,0 ? , e2 ? ? 0,1? 。今有动点 P 向 P 0 ? ?1,2? 开始沿着与向量

??

?? ?

?? ?? ? ? ? ?? ? e1 ? e2 相同的方向作匀速直线运动,速度为 e1 ? e2 ;另有动点 Q 向 Q0 ? ?3, ?2? 开始沿
着与向量 3e1 ? 2e2 相同的方向作匀速直线运动, 速度为 3e1 ? 2e2 。 设 P, Q 在时刻 t ? 0 秒时分别在 P 0 , Q0 处,则当 PQ ? PQ 0 0 时, t ?

? ?

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秒。

12.如图所示,无弹性的细绳 OA, OB 的一端分别 固定在 A, B 处,同质量的细绳 OC 下端系着一个称 盘,且使得 OB ? OC ,试分析 OA, OB, OC 三根 绳子受力的大小,判断哪根绳受力最大。

5

2.5.2 向量在物理中的应用举例(第 27 课时)**参考答案** 例 1 解:设 AD 表示船向垂直与对岸行驶的速度, AB 表示水流的 速度,以 AD 、 AB 为邻边作 航行的速度,

????

??? ?

? ABCD ,则 AC 就是船实际
??? ?
22 ? (2 3) 2 ? 4 ,

??? ?

在 Rt △ ABC 中, | AB | ? 2 , | BC | ? 2 3 , ∴ | AC |? | AB | ? | BC | ?
2 2

??? ?

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??? ?

??? ?

∴ tan CAB ?

2 3 ? 3 2 ? ∴ ?CAB ? 60 .
?

答:船实际航行速度的大小为 4 km / h ,方向与流速间的夹角为 60 . 例 2. 解: (1) 由平行四边形法则及直角三角形知识, 得 F1 ? 2 cos

?
2

?G , 即 F1 ?

G 2 c o s

?
2



当 ? 在 ? 0, ? ? 内逐渐增大时, cos 角越大越费力。 (2)当 ? ? 0 时, F1 达到最小值 (3) 要使 F1 等于 G , 只需 cos

?
2

的值由大变小, F1 由小变大,即 F1 , F2 之间的夹

G ,此时两个人的手臂应靠在一起。 2
? 1 2? ? , 即? ? , 即两臂的夹角为 120 时, F1 等于 G 。 2 3

?
2

例 3.解: F1 ? F2 ? F3 ? 2i ? 9 j , AB ? 2i ? 3 j , 合力所做的功 w ? ? F 1 ? F2 ? F 3 ? ? AB ? ? 2i ? 9 j ? ? ? 2i ? 3 j ? ? 31 。 例 4.解:先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解. 设所求物体质量为 m kg 时,系统保持平衡,再设 F1 与竖直方向的夹角为 θ1,F2 与竖 直方向的夹角为 θ2,则有

?4 g sin? 1 ? 2 g sin? ?, ? ?4 g cos? 1 ? 2 g cos? ? ? mg,
(其中 g 为重力加速度). 由①式和②式消去 θ2,得 m2-8mcosθ1+12=0, 即 m=4cosθ1± 2 4c o s
2

① ②

?1 ? 3 .



∵cosθ2>0,由②式知,③式中 m=4cosθ1-2 4 cos 2 ? 1 ? 3 不合题意,舍去. 又∵4cos2θ1-3≥0,解得 经检验,当 cosθ1=
3 ≤cosθ1≤1. 2

3 时,cosθ2=0,不合题意,舍去. 2
6

∴2 3 <m<6. 综上,所求物体的质量在 2 3 kg 到 6 kg 之间变动时,系统可保持平衡. 评注: (1)m 的范围是通过函数 y=4x+2 4 x 2 ? 3 的单调性求得的.(2)实际问题的处 理要注意变量的实际意义,本题容易忽略 cosθ2>0 的实际限制. **基础训练** 1~5 ADCAD; 6. ? ?3, ?4? ;提示: F 1?F 2 ?F 3 ? 0。 7.船的航行方向与水流方向成 1200,船实际航速为 20 3 m∕min

?? ? ?? ? ?? ?

?

8.400 千米;北偏东 45? ; 200 2 千米.

9. 解: 所求五个力的合力为 PA ? PB ? PC ? PD ? PE , 以 PA、 PE 为边作平行四边形 PAOE, 则 PO ? PA ? PE ,由正六边形的性质可知 | PO |?| PA |? b ,且 O 点在 PC 上,以 PB、PD 为边作平行四边形 PBFD,则 PF ? PB? PD,由正六边形的性质可知 | PF |? 3b ,且 F 点在 PC 的延长线上。 由正六边形的性质还可求得 | PC |? 2b 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为 b ? 2b ? 3b ? 6b ,方向与 PC 的方向 相同。 10.解: (1)W = | F |?| s |cos?,?是 F 与 s 的夹角; (2) w ? F ? s ; (3) 因为 cos ? 在 ? 0, ?? 上单调递减, 而 F , s 为定值, 所以 F ? s 的大小随 ? 的增大而减小。 **能力提高**

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7

11.

???? ?? ?? ? ??? ? 5 ;提示: P0 P ? e1 ? e2 t ,得 OP ? ? t ? 1, t ? 2 ? , 2 ???? ? ?? ?? ? ???? Q0Q ? 3e1 ? 2e2 t ,得 OQ ? ? 3t ? 3, 2t ? 2? ,

?

?

?

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所以 PQ ? ? 2t ? 2, t ? 4 ? , P , 0Q0 ? ? ?2, ?4 ?

??? ?

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t? 由 PQ ? PQ 0 0 ,得 ?4 ? t ?1? ? 4 ? t ? 4? ? 0 ,故
12.解:由物理知识知, a , b 的合力与 c 是互为相反 的两个力,大小相等,方向相反。 设 OA, OB, OC 三根绳子所受的力分别为 a, b, c , 则 a ? b ? c ? 0 , a , b 的合力为 c? ? a ? b 。 在平行四边形 OB?C ?A? 中,因为 OB? ? OC ? ,

??? ?

?????

5 。 2

所以 OA? ? OB? , OA? ? OC ? ,即 a ? b , a ? c , 从而 OA 受力最大。

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????

????

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8


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