当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的单调性(1)


河南省项城市第一高级中学

王丽
1

观察以下函数的图象,观察函数值随自变量而变化的 规律。
f(x2 )
f(x1 )

x1 x2
函数 f(x)=x Rx 上函数值随x 函数 f ( x在 )? 的图像 的增大而增大 增函数 由左到右是上升的

函数f

(x) = x 在y轴的左侧是下降的, 在y轴的右侧是上升的。
而增大。 增函数 的增大而减小, 减函数

函数f(x) = 2 x 2在(-?, 0]上函数值随x 在(0,+?)上函数值随x的增大
2

一、函数是单调性的定义 (一)增函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的 值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有f (x1 ) ? f (x 2 ) ,那么就说函数 y f (x) 在区间D上是增函数 .
f ( x2 )
f ( x1 )

上升 x
3

0

x1

x2

(二)减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D 上的任意 两个自变量的
值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有f (x1 ) ? f (x 2 ) ,那么就说函数 y f (x) 在区间D上是减函数 .
f ( x1 )

f ( x2 )

下降
x2

0

x1

x
4

(三)单调性
如果函数 y ? f (x) 在区间D上是增函数或减函数,那么

就说函数 y ? f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区
间D叫做 y ? f (x) 的单调区间.

5

二、 对函数单调性的理解
1. 中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须 是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2));
y

2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,要讨论 函数的单调性时必须先求函数的定义域;
0 x

3.学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使

用的.
6

4.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质。 (①这个区间可以是整个定义域②这个区间也可 以是定义域的真子集) 5.单调性讨论必须在一个区间上。 6.区间端点的写法(对于单独的一点,它的函数 值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存 在单调性问题,因此写单调区间是包括端点也可 以不包括也可以,但对于某些点无意义时单调区 2 间就不包括这些点)(如 y= x ? 1 y=1/x )
7

7.并不是所有函数都具有单调性,有的函数不 具有单调性(如y=2,y=x(x∈0,1,2))

x2 必须满足任意性, 8.函数单调性定义中的, x1 , 不可以随意取两个特殊值。

函数单调性的几何意义:
单调增函数:在定义区间上图像从左到右上升 单调减区间:在定义区间上图像从左到右下降

8

想一想
判断下列说法是否正确 1、如果对于区间(a,b)上存在 x1 ? x 2 ,使得 f (x1 ) ? f (x 2 ) 则函数f(x)在区间(a,b)上是增函数。 错误

2、如果对于区间(a,b)上的任意x有f(x)>f(a),则函数f(x)在 区间(a,b)上是增函数. 错误
3、函数f(x)在区间(a,b)上有无数个自变量x,使得当 a ? x1 ? x 2 ? ... ? ... ? b 时,有f (a) ? f (x1 ) ? f (x 2 ) ? ... ? ... ? f (b) 则函数f(x)在区间(a,b)上是增函数。错误

4、若f(x)是R上的增函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则 x1 ? x2

。正确
9

三、单调区间的求法:
(1)直观法:对于我们熟悉的函数,如一次 函数,二次函数,反比例函数等,可直观判断 它们的单调性,写出其单调区间 (2)图像法:能作出图像的函数我们可通过 观察法确定函数的单调区间。 (3)定义法:有些函数不能作出图像,也不 能观察出单调区间,只有用定义法来求其单调 区间,对于抽象函数单调性判断的方法
10

依据函数图象给出单调区间

求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上 是增函数还是减函数. 1 (1)y=3x-2;(2)y=- ;(3)y=-x2+2x+3. x

思路探究】

结合图象“升降” 画出函数的草图 ―→ 给出单调区间

11

【自主解答】 (1)函数 y=3x-2 的单调区间为 R,其在 R 上是增函数. 1 (2)函数 y=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在 x (-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数. (3)函数 y=-x2+2x+3 的对称轴为 x=1, 并且开口向下, 其单调增区间为(-∞,1],单调减区间为(1,+∞),其在(- ∞,1]上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.

12

直观法看常见函数的单调性及单调区间

1. 一、二次函数及反比例函数的单调性: (1)一次函数 y=kx+b 的单调性由参数 k 决定:当 k>0 时,该函数在 R 上是增函数;当 k<0 时,该函数在 R 上为 减函数. k (2)反比例函数 y= (k≠0)的单调性如下表所示: x k 的符号 k>0 k<0 单调区间 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增
13

(3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴方程 b x=- 为分界线. 2a b b 在(-∞,- )上单调递增,在(- ,+∞) 2a 2a a<0 上单调递减 b b 在(-∞,- )上单调递减,在(- ,+∞) 2a 2a a>0 上单调递增 2. 当函数的单调区间不唯一时,中间用“, ”隔开,如 (-1,2),(3,+∞)等.
14

1.如图 1-3-1 是定义在区间[-4,7]上的函数 y=f(x) 的图象, 则函数 f(x)的单调增区间是________, 单调减区间是 ________.

图 1-3-1
15

【解析】 由图可知,函数 y=f(x)的图象在[-4,-1.5] 及[3,5),[6,7]上具有下降趋势.在[-1.5,3]及[5,6)上具 有上升趋势,故函数 f(x)的单调增区间是[-1.5,3]及[5,6); 单调减区间是[-4,-1.5),[3,5)及[6,7].
【答案】 [-1.5,3),[5,6) [-4,-1.5),[3,5), [6,7]

16

变式训练2

求函数y= ? x ? 2 x ? 3 的单调区间
2

.

17

分析:“脱去”绝对值符号画出函数图像由图像观 察得出。 2 2 x ? ( x ? 1 ) ?4 解:当x≥0时,y=- +2x+3= 2 当x<0时,y=- -2x+3= ? ( x ? 1) ? 4 在?? ?,0?和 0,1 上,函数是增函数

? ? 1,???上,函数是减函数 在?? 1,0? 和 ?
习题

18

不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间

9 (2013· 安庆高一检测 ) 判断函数 f(x) = x + 在 x x∈[3,+∞)上的单调性并用定义证明.

【思路探究】

取值 → 作差 → 变形 → 判号 → 定论

19

9 【自主解答】 函数 f(x)=x+ 在[3,+∞)上是增函数. x 任取 x1,x2∈[3,+∞),且 x1<x2,则 9 9 (x1-x2)(x1x2-9) f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = x1 x2 x1x2 又 x1<x2,∴x1-x2<0, 又 x1,x2∈[3,+∞),∴x1x2-9>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2). 9 即 f(x)=x+ 在[3,+∞]上为增函数. x
20

定义法判断函数单调性的四个步骤

21

9 试证明函数 f(x)=x+ 在(0,3)上的单调性. x 【证明】 任取 x1,x2∈(0,3),且 x1<x2,则

9 9 (x1-x2)(x1x2-9) f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- = . x1 x2 x1x2 又∵0<x1<x2<3,∴x1-x2<0,x1x2-9<0, ∴f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2). 9 ∴f(x)=x+ 在(0,3)上为减函数. x
22

总结规律
9 判断函数 f(x)=x+ 在 x∈(0, +∞)上的单调性并用定义 x 证明.

23


相关文章:
函数的单调性(1)
函数的单调性(1)_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性(一) 一.教学 目标: 1. 使学生理解函数单调性的概念,会判断一些简单函数在给 定区间上的单调性 2. ...
高中数学必修1函数单调性和最值专题
【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性. 例 1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每...
函数的单调性1
1.3 函数的单调性 5页 免费 3.1.3 函数的单调性 15页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
函数的单调性练习题(含答案)
函数的单调性练习一、选择题: 1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 ( B.y=3x +1 D.y=2x2+x+1 2 ) 2 C.y= x 2.函数 f(x)=...
必修一函数的单调性1(含答案)
· 【高中数学专题训练之___】 函数(一)单调性一、 基础知识 1、 增函数:设函数 f ( x ) 的定义域为 I,如果对于 I 内某个区间 D 的任意两个自变量 ...
高一函数单调性
盛阳教育 SHENG YANG EDUCATION 高中部●数学学科组 函数单调性 1.单调性与单调区间 (1)如果一个函数在某个区间上是增函数或者减函数,就说找个函数在这个区间...
数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))学生版
课 题 函数的性质—单调性(一) 1、 掌握函数单调性的概念,并能判断一些简单函数的单调性; 2、 掌握函数单调性与函数图像的关系。 教学内容 教学目的 【知识...
高一数学 1.3.1《函数的单调性》教案(新人教A版必修1)
二、教学重点与难点 重点:函数的单调性及其几何意义. 难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 三、学法与教学用具 1、从观察具体函数图象引入,直观...
必修1函数的单调性(1)
函数的单调性(一) [自学目标] 1.掌握函数的单调性的概念 2.掌握函数单调性的证明方法与步骤 [知识要点] 1.会判断简单函数的单调性(1)直接法 (2)图象法 2...
更多相关标签:
1.3.1函数的单调性 | 函数的单调性 | 函数单调性 | 复合函数的单调性 | 函数的单调性ppt | 怎样描述函数的单调性 | 函数的单调性与最值 | 函数单调性教学设计 |