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专题03 等差等比数列性质的巧用-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)


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24.等差等比数列性质的巧用
【高考地位】 从内容上看,等差、等比数列的性质一直是高考的热点;在能力方面,要求学生具备一定的创新能力 和抽象概括能力;从命题形式上看,以选择、填空题为主,难度不大. 【方法点评】 方法一 由等差或等比数列的性质求值 解题模板:第一步 观察已知条件和所求未知量的结构特征; 第二步 选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系; 第三步 整理化简,求得代数式的值. 例 1 在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____. 【变式演练 1】设等比数列{an }的前 n 项积 Pn ? a1 ? a2 ? a3 ?? ? an ,若 P12=32 P7,则 a10 等于( (A)16 (B)8 (C ) 4 (D)2
[ [来源:学_科_网]

)

方法二 有关等差或等比数列前 n 项和性质的问题 解题模板:第一步 观察已知条件中前 n 项和的信息; 第二步 选择相 对应的等差或等比数列前 n 项和的性质列出相应的等量关系; 第三步 整理化简,得出结论.
[来源:学科网 ZXXK]

例 2. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? ( A.31 B.32 C.63

). D.64

【变式演练 2】已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9, S5 ? 25 ,则 S7 ? ( A. 41 B. 48 C. 49

) D. 56

方法三 数列的最值问题 解题模板:第一 步 观察已知条件,选择合适的求解方法; 第二步 根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的

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不等式(组) ; 第三步 整理化简,得出结论,注 意 n 是正整数.

?1? 例 3 已知正项数列 ?a n ?的前 n 项的乘积 Tn ? ? ? ?4?
的最大的值是( A、 S 6 ) B、 S 5 C、 S 4

n 2 ?6 n

?n ? N ?, b
*

n

? log 2 an ,则数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 中

D、 S 3

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【变式演练 3】已知数列 ?an ?满足 an ? n ? k n ? N ,0 ? k ? 1 ,给出下列命题:
n ?

?

?

①当 k ? ②当

1 时,数列 ?an ?为递减数列 2

1 ? k ? 1 时,数列 ?an ?不一定有最大项 2 1 ③当 0 ? k ? 时,数列 ?an ?为递减数列 2 k ④当 为正整数时,数列 ?an ?必有两项相等的最大项 1? k
请写出正确的命题的序号____ 【高考再现】 1.【2012 年高考辽宁理】在等差数列{an}中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176 )

2. 【2012 年高考江西理】 设数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? __________.

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ?a n ? 的四 个命题:

p1 : 数列 {an } 是递增数列;
a p3 : 数列 { n } 是递增数列; n
其中的真命题为( A. p1 , p2 ) C. p2 , p3

p2 : 数列 {nan } 是递增数列; p4 : 数列 {an ? 3nd } 是递增数列

B. p3 , p4

D. p1 , p4

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3.【2012 年高考四川理】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为

?
8

的等差数列,

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a3 ? (
2



A. 0

B.

1 2 ? 16

C.

1 2 ? 8

D.

13 2 ? 16

4. 【2014 高考北京版理 第 12 题】 若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? 的前 n 项和最大.

{an } 时,

5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则 公比 q= ;前 n 项和 Sn= .

6.【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在正项等比数列 {an } 中, a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 . 则满足 2

a1 ? a2 ? ??? ? an ? a1a2 ??? an 的最大正整数 n 的值为

.

7.【2012 年高考(安徽理) 】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正 数,且 a3a11 ? 16 ,则 log 2 a16 ? ( A. 4 B. 5 C. ? D. ?



8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (1)推导 {an } 的前 n 项和公式; (2)设 q ? 1 , 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

9.【2014 高考北京版理第 5 题】设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则“ q ? 1 ”是“ {an } 为递 增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )



10.【2014 重庆高考理第 2 题】对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(

A.a1 , a3 , a9 成等比数列

B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列

C.a2 , a4 , a8 成等比数列

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11. 【2014 高考上海理科第 8 题】 设无穷等比数列{ a n }的公比为 q, 若 a1 ? lim ( a3 ? a4 ? ?) , 则 q=
n ??

.

12.【2014 高考全国 2 第 17 题】已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an ?1 ? 3an ? 1 . (1)证明 an ? 1 是等比数列, 并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(2)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【反馈练习】 1.等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? ?12 , S13 ? 0 ,使得 a n ? 0 的最小正整数 n 为 A.7 B.8 C.9 ( )

D.10

2.已知实数列 ? 1, x, y, z ,?2 成等比数列,则 xyz = ( A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2 2

) D. ? 2 2

3.若数列{ an }通项为 an =an,则“数列{ an }为递增数列”的一个充分不必要条件是( A.a≥0 B.a>1 C. a>0 D.a<0



4.设公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , ? 2 ? d ? ? 1 ,则当 S n 取最大值时, n 的值

17

9



.

5.设等比数列 {a n } 的前项 n 和为 S n , 若 A.2 B.

S6 S ? 3 ,则 9 ? S3 S6
C.

(

)

8 3

7 3

D.3

6.已知等差数列 ?an ? 的前 13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? ( A. 6 B. 9 C. 12

) D. 18
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7.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 B.81 C.128

) D.243

8.在△ABC 中,三内角 A,B,C 成等差数列,b=6,则△ABC 的外接圆半径为( A.6 B.12 C.2
3

)

D.4 3

9.等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 2, a4 ? a2 ? A. 7 ? 3 2 B. 3 2 ? 7

2 ,则前 5 项和 S5 ? (
D. 3 2 ? 7



C. 7 ? 3 2

10.已知等比数列{ a n }满足: a3 ? a 7 ?

?2
9

.等,则 cos a5 =(

)

A. ?

1 2

B.

1 2

C.±

1 2

D.±

3 2

11.设 ?an ? 是等比数列, 公比 q ? 的最大项,则 n0 =_______.

记 Tn ? 2 ,S n 为 ?an ?的前 n 项和。

17 S n ? S 2 n 设 Tn0 为数列 ?Tn ? ,n? N* , an ?1

12. 设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若

Sn n ? 1 ? ,则 Tn n ? 1

a8 a2 ? ? b4 ? b6 b3 ? b7
[来源:学* 科*网 Z*X*X*K]



13.等差数列 {an } 中 a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2 1 A. 10 B. 20
?

a

? 2a2 ? 2a3 ?…? 2a10 ) ? (
D. 2+ log 2 5



C. 40

14.设 {a n }( n ? N ) 是等差数列,S n 是其前 n 项和, 且 S5 ? S6 , 则下列结论错误的是( S 6 ? S 7 ? S8 ,

)

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A. d ? 0

B. a 7 ? 0

C. S 9 ? S 5

D. S6 和 S7 均为 Sn 的最大值

15.已知等差数列 {an } , Sn 为其前 n 项和,若 S20 ? 100 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? 4 ,则 a18 ? a19 ? a20 ? ( A. 20 B. 24 C. 26 D. 30




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