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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第1课时


第七章

立体几何

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立体几何

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知识要求 了解 理解 掌握 (A) (B) (C) √ 空 间 柱、锥、台、球及其简单组合体 √ 几 何 简单空间图形的三视图 √ 体 简单空间图形的直观图 √ 柱、锥、台、球的表面积和体积 √ 点 、 空间点、直线、平面的位置关系 √ 空间图形的公理和定理 直线、 √ 平 面 空间直线、平面平行或垂直的判定 √ 间 的 空间直线、平面平行或垂直的性质 位 置 异面直线所成的角、直线与平面所成 √ 关系 的角、二面角的概念 √ 证明直线、平面位置关系的简单命题
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内容

立 体 几 何 初 步

第七章

立体几何

内容

空 间 向 量 与 立 体 几 何

空间直 角坐标 系 空间向 量及其 运算

空间直角坐标系 空间两点间的距离公式

知识要求 了解 理解 掌握 (A) (B) (C) √ √
√ √

空间向量的概念 √ 空间向量基本定理 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与垂 直 空 间 向 空间直线的方向向量 量 的 应 空间平面的法向量 用 用向量方法计算直线与直线、直线与平 面、平面与平面所成的角 用向量方法证明直线、平面位置关系的 简单命题

√ √ √ √ √
√ √
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第1课时 空间几何体的结构特征及三视图和

直观图

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1.空间几何体的结构特征

(1) 中学阶段对多面体研究通常分为棱柱 、棱锥、棱台三
类.试想各类的结构特征是什么? 棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是全等且平 提示:______________________________________________ 行的多边形;棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 ____________________________________________________ 公共顶点的三角形;棱台可由平行于底面的平面截棱锥 ____________________________________________________ 得到,其上下底面是相似多边形 ___________________________________________________
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(2)简单的旋转体一般可分为圆柱、圆锥、圆台、球四类,它 们的结构特征是什么? 圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到;圆锥可以由 提示:______________________________________________ 直角三角形绕其直角边旋转得到;圆台可以由直角梯形 ____________________________________________________ 绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到,也 ____________________________________________________ 可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到;球可以由半圆 ____________________________________________________ 或圆绕直径旋转得到 _____________________________________________ 温馨提醒:棱柱、棱锥、棱台之间的关系

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2.空间几何体的三视图 正视图 、 正投影 得到的,它包括________ 空间几何体的三视图是用_______ 侧视图 、______ 俯视图,其画法规则是__________ 长对正 、________ 高平齐 、 ________ 宽相等 . ________ 温馨提醒:理解三视图的长度特征:“长对正、宽相等、高平 齐”,即正视图和侧视图一样高,主视图和俯视图一样长,侧

视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交
线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.

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3.空间几何体的直观图的画法
斜二测画法 规则来画,基本步骤是: 空间几何体的直观图常用____________ (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x轴,y轴,两轴相交于点 O,画直 观图时,把它们画成对应的x′轴,y′轴,两轴相交于点O′,且 45°(或135°),已知图形中平行于x轴的线 使∠x′O′y′=______________ 保持不变 ,平行于y轴的线段,长度变 段,在直观图中长度___________ 原来的一半 . 为_____________

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(2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应

的z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线
不变 . 段,在直观图中仍平行于z′轴且长度________

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1.如图所示的几何体是棱柱的有 ( C )

A.②③⑤ C.③⑤

B.③④⑤ D.①③

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2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面, 则这个几何体一定是( C ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析:当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为 矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.

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3.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧 棱 AA1⊥平面 A1 B1 C1,正视图是边长为 2 的正方形,该三棱 柱的侧视图的面积为( B )

A. 4 C. 2 2

B. 2 3 D. 3

解析:依题意得,该几何体的侧视图是边长分别为 2 和 3的 矩形,因此其侧视图的面积为 2 3.
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4.一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能

①②③⑤ 填入所有可能的几何体前 是下列几何体中的 __________(
的编号 ). ①三棱锥 圆柱 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥

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5.在 Rt△ ABC 中,∠ C= 90°,a= 3,b= 4,则以斜边 AB 所在直线为轴旋转可得到一个几何体,当用一个垂直于斜边 的平面去截这个几何体时,所得截面圆的直径的最大值是
24 5 ________ .

解析:最大截面圆的直径为 Rt△ ABC 斜边上高的 2 倍,即 12 24 2× = . 5 5

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空间几何体的结构特征 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体;

③直四棱柱是直平行六面体;
④棱台的各侧棱延长后必交于一点. ①④ . 其中真命题的序号是________

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[解析 ]命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的; 底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直, 故命题 ②是错误的;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故 命题③是错误的;命题④由棱台的定义知是正确的.

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判定与空间几何体结构特征有关命题的方法: (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特 征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模 型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意 判定. (2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误 的,只要举出一个反例即可.

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1.以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( B ) A.0 B.1 C.2

D.3
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解析:命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得 不到圆锥. 命题②错, 因为这条腰必须是垂直于两底的腰. 命 题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才 可以.

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空间几何体的三视图 (1)(2013· 高考四川卷) 一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的直观图可以是( D )

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(2)(2013· 高考湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一 个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2的矩形,则 该正方体的正视图的面积等于( D ) 3 A. 2 B.1 2+ 1 C. 2 D. 2

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[解析 ](1)由俯视图是圆环可排除 A,B,C,进一步将已知三 视图还原为几何体,可得选项 D. (2)由于该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形, 侧视图是一 个面积为 2的矩形, 因此该几何体的正视图是一个长为 2, 宽为 1 的矩形,其面积为 2.

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(1)由实物图画三视图或判断选择三视图, 此时需要注意“长 对正、高平齐、宽相等”的原则; (2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三 视图要熟悉, 再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合 而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分 部分,想整体;③综合起来,定整体.

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2.(1)(2014· 河南郑州质量检测)一个锥体的正视图和侧视图如 图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( C )

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(2)(2014· 襄阳市高三调研)一个长方体被一个平面截去一部分
后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧 视图可以为( B )

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解析: (1)注意到在三视图中, 俯视图的宽度应与左视图的宽 3 度相等,而在选项 C 中,其宽度为 ,与题中所给的左视 2 图的宽度 1 不相等. (2)选 B.由正视图与俯视图可知,该几何体是一个长方体被 截去一个三棱锥而形成的,其形状如下:

该几何体的侧视图可以为 B 项中的图象.
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空间几何体的直观图 已知平面△ABC 的直观图 A′B′C′ 是边长为 a 的正三角 形,求原△ABC的面积.
[解 ]如图所示,△ A′ B′ C′是边长为 a 的正三角形,作 3 C′D′∥ A′B′交 y′轴于点 D′,则 D′到 x′轴的距离为 a. 2 6 ∵∠ D′ A′ B′=45°,∴ A′ D′= a. 2 由斜二测画法的法则知, 在△ ABC 中, AB= A′B′= a, AB 边上的高是 A′D′的二倍, 1 6 2 即为 6a,∴ S△ ABC= a· 6a= a . 2 2
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画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的 位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这些顶点 就可画出相应的多边形, 因此平面多边形的直观图的画法可 以归结为确定点的位置的画法.

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3.若将本例中△A′B′C′是边长为a的正三角形改为△ABC是 边长为a的正三角形,求直观图△A′B′C′的面积.
解:如图所示的实物图和直观图.

1 3 由图可知, A′B′= AB= a, O′ C′= OC= a. 2 4 2 6 在图中作 C′D′⊥ A′B′于 D′,则 C′D′= O′ C′= a. 2 8 1 1 6 6 2 ∴ S△ A′ B′ C′= A′ B′· C′ D′= × a× a= a . 2 2 8 16
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三视图识图不准致误 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到如图2所

示的几何体,则该几何体的侧视图为( B )

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[解析] 图2所示的几何体的侧视图可由点A,D和D1,B1确 定其外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一 实一虚,且要把AD1和B1C区别开来,故选B.

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易错选答案 A 或 D, 致错原因是根据提示观测位置确定三视 图时其实质是正投影, 将几何体中的可见轮廓线在三视图中 为实线,不可见轮廓线为虚线,错选 A 或 D 都是没有抓住 看到的轮廓线在面上的投影位置,从而导致失误.

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(1)在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线
是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实 线画出,被挡住的轮廓线画成虚线,并做到“正侧一样高,正 俯一样长,俯侧一样宽”. (2)在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图 为主,结合侧视图进行综合考虑.
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(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标
系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为 投影面,则得到的正视图可以为( A)

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解析:在空间直角坐标系中,易知 O(0,0,0),A(1,0,1), B(1,1, 0),C(0,1, 1)恰为单位正方体的四个顶点.因此 该几何体以 zOx 平面为投影面所得的正视图为 A.

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