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武汉市部分重点中学2014-2015学年度上学期期末联考高一数学试卷


武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度上学期期末联考

高一数学试卷
命题学校:武汉六中 命题教师:袁泉润 审题教师:张霞
试卷满分:150 分

考试时间:2015 年 1 月 28 日下午 3:50—5:50

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. cos 210? 等于( A. ) B. ?

1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2.已知 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,则 AB? BC 的值为( A.2 B. -2 C. 2 3

??? ? ??? ?



D. ?2 3

3.已知 f ( x) ? log2 x ? x ? 2 ,则零点所在的区间是( ) A. (0, )

1 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, )

4.为了得到函数 y ? 2sin(2 x ? A.向左平移

?
6

3 2

D. ( , 2)

3 2

) 的图象,只需把函数 y ? 2sin x 的图象( )

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) 6 ? 1 B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 6 2 ? C.各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 2 倍,再把所得图象向左平移 个单位长度 12 1 ? D.各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍,再把所得图象向左平移 个单位长度 2 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.非零向量 a 和 b 满足 2 a ? b , a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( )
5? ? 2? C. D. 6 3 3 1 ? 6.已知 cos(60 ? ? ) ? ,且 ? 为第三象限角,则 cos(30? ? ? ) ? sin(30? ? ? ) 的值为( ) 3
A.

? 6

B.

A.

?2 2 ? 1 3

B.

2 2 ?1 3

C.

?2 2 ? 1 3

D.

2 2 ?1 3

1

? ( x? ? ) ( A? 7.函 数 f ( x) ? A s i n

0 ?, ?

0 ?, ? ? 的)部 分 图

象如图所示,图象与 x 轴交点 A 及图象最高点 B 的坐标分别 是 A ( ,0) ,B (

?

3

13? ? , 2) ,则 f (? ) 的值为( ) 12 2
x B.

3 A. ? 2
C. 3

? 3
3 2

D.

8.函数 f ( x) ? 2sin ? x 在 ? ?

? ? ?? , 上单调递增,那么 ? 的取值范围是( ) ? 6 4? ?

A.

? 12 ? ? 0, ? ? 5?

B.

? 0, 2?

C. ? ?3, 2 ?

D. ? ?2, 2 ?

9.已知 a ? sin1, b ? tan1, c ? tan 小关系正确的是( ) A. c ? b ? a C. a ? c ? b

9 , 则 a, b, c 的大 2

= B . c ? a? b D. a ? b ? c

10.四边形 ABCD 是单位圆 O 的内接正方形,它可 以绕原点 O 转动,已知点 P 的坐标是 (3, 4) ,M、 N 分别是边 AB、BC 的中点,则 PN ? OM 的最大 值为( ) A.5 B.

??? ? ???? ?

5 2

C.

5 2 2

D.

5 2 4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 a ? (?5,5) , b ? (?3, 4) ,则 (a ? b) 在 b 方向上的投影等于_________. 12.函数 f ( x) ? 2x ? x2 的零点个数是_________. 13.已知 ?ABC 中,AC ? CB ? 1 , O 为 ?ABC 的外心, AO ? ? AC ? ? AB ?ACB ? 120? ,

?

?

? ?

?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

2

则 ? ? ? =_________. 14.如图摩天轮半径 10 米,最低点 A 离地面 0.5 米,已知摩天轮按 逆时针方向每 3 分钟转一圈(速率均匀),人从最低点 A 上去且开 始计时,则 t 分分钟后离地面_________米. 15.函 数

f (x ? )

x s i ?n 2

x x ?c o s ? 2 2

x s? i n 2

s 在c 区o 间

3

? ?? , ? ? 上的零点分别是_________.
三、解答题 16.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) ?1

(1)在直角坐标系中用“五点画图法”画出 f ( x) 一个周期的图象(要求列表、描点) (2)直接写出函数 f ( x) 的单调递增区间以及 f ( x) 取最大值时的所有 x 值的集合。

17.(本小题满分 12 分)已知点 A, B, C 的坐标分别是 A( , 0), B(0, ), C (cos ? ,sin ? ) ,其 中? ??

1 5

1 5

? ? 3? , ?2 2

? ? ,且 A, B, C 三点共线 ?

求 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 的值。

18.(本小题满分 12 分)在 ?OAB 中, OA ? a, OB ? b ,若

??? ?

? ??? ?

?

? ? ? ? a? b ? a ? b =2:
(1)求 a ? b 的值;

?2

?2

? ? a b ? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ( a ? b) ? 0 , ??? (2)若 ( ? ? ? )? , BA ? 2BN , AB ? 3 AM a b
求 OM ? ON 的值。

???? ? ????

3

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

? 4? ? )(? ? 0) 在 ? 0, ? 上单调递增,在 6 ? 3 ?

? 4? ? , 2? ? 上单调递减, ? ? 3 ?
(1)求 ? 的值; (2)当 x ? ?? , 2? ? 时,不等式 m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3 恒成立,求实数 m 的取值范围。

20.(本小题满分 13 分)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地, 早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时 返回海洋.下面是某港口在某季节每天时间与水深(单位:米)的关系表:

时刻 水深

0:00 10.0

3:00 13.0

6:00 9.9

9:00 7.0

12:00 10.0

15:00 13.0

18:00 10.1

21:00 7.0

24:00 10.0

(1)请用一个函数来近似描述这个港口的水深 y 与时间 t 的函数关系; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认为是安全的(船舶 停靠时,船底只要不碰海底即可)。某船吃水深度(船底离地面的距离)为 6.5 米。 Ⅰ)如果该船是旅游船,1:00 进港希望在同一天内安全出港,它至多能在港内停留多长 时间(忽略进出港所需时间)? Ⅱ)如果该船是货船,在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.5 米的速度减少,由于 台风等天气原因该船必须在 10:00 之前离开该港口,为了使卸下的货物尽可能多而且能安 全驶离该港口,那么该船在什么整点时刻 必须停止卸货(忽略出港所需时间)? ....

21.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 连 续 不 断 函 数 f ( x) ? cos x ? x, x ? ? 0,

? ?? ? , ? 2?

g ( x) ? sin x ? x ?

?
2

, x ? ? 0,

? ? ?? ? ?? ? , h( x) ? x sin x ? x ? , x ? ? 0, ? 2 ? 2? ? 2?

4

(1)证明:函数 f ( x) 在区间 ? 0,

? ?? ? 上有且只有一个零点; ? 2? ? ?? ? 上单调递增,且都只有一个零点(不必证明),记三 ? 2?

(2)现已知函数 g ( x), h( x) 在 ? 0,

个函数 f ( x), g ( x), h( x) 的零点分别为 x1 , x2 , x3 。 求证:Ⅰ) x1 ? x2 ?

?
2



Ⅱ)判断 x2 与 x3 的大小,并证明你的结论。

5

武汉市部分重点中学 2014——2015 学年度上学期期末联考 参考答案及评分标准:
一、选择题:1.C 2.B 3.C 4.B 5. D 6.C 7.B 8.B 9.D 10.C 二、填空题: 11、2 12、3 13、0 2? ? 2? 2? ? ? 2? t ) ) 15、 ? 14、 10 sin( t ? ) ? 10.5 (或 10.5 ? 10 cos( ,? , , 3 2 3 3 3 3 3 三、解答题: 16(1)列表: ? ? ? 3? 0 2? 2x ? 3 2 2 x ? ? ? 7? 5? ? 6 12 3 12 6 y 1 3 1 1 ?1 描点、画图: ................... 3 分

................... 8 分
5? ?? ? (2) f ( x) 的单调增区间是: ?k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 12 12? ? (可写开区间)

f ( x) 取得最大值时的所有 x 值的集合为: ? ? x x ? k? ?
?

? ,k ? Z ? .........12 分 12 ?

?

1 1 1 ( ? , ), BC ? (cos ? , sin ? ? ) 因为 AB与BC 共线,有 17、 AB ? 5 5 5 ,
1 1 1 1 ( ? ) ( s i? n? ) ? c o s ? ,即 sin ? ? cos? ? ? .....................4 分 5 5 5 5 1 24 上式两边平方,得 1 ? 2 sin ? cos? ? , 2 sin ? cos? ? ? ?0, 25 25

? ? 3? ? 因为 ? ? ? , ? ,所以 cos? ? 0, 这样 sin ? ? 0 , sin? ? cos ? ? 0 ?2 2 ?

....7 分

6

49 7 ,sin? ? cos? ? 25 5 7 所以 sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? . 5 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 又
2 2 2

.................10 分 .................12 分

18、 (1) 因为 a ? b ? 2 , 所以 a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? b ? 2a ? b ? 4 , 又 已知 a ? b ? 2 ,所以 a ? b ? a ? b ? 8
a a ? b b ) ? (a ? b) ? 0 ,所以
2 2 2 2

.

..................5 分
2

( (2)因为

a

a

?

a ?b b

?

a ?b a

?

b

2

b

? a?b?

2 a

?

2 b

? ( a ? b )(1 ?

2 ab

) ? 0 ,由于 1 ?

2 ab

? 0 ,于是 a ? b ,由(1)的结论得 a ? b =2

又 AB ? a ? b ? 2 ,所以 ?OAB 为正三角形. (或从向量的几何意义得出,照样给 分) ....................8 分

所以 OM ? ON ? (ON ? NM ) ? ON ,因为 N 为 AB 的中点, ON ? AB ,从而
(ON ) ? 3 ? 3 ON ? NM ? 0 , OM ? ON =
2 2

.....................12 分

(或 OM ? a ?
2

b ? a 2a ? b a?b 2a ? b a ? b ? , ON ? , OM ? ON ? ( )?( ) 3 3 2 3 2
2

1 2 ? 4 ? 3? 2 ? 2 ? ? 4 2a ? 3a ? b ? b 2 = .....................12 分) ? ?3 6 6 4? 19 、 ( 1 ) 由 已 知 条 件 知 , x ? 时 f ( x) 取 得 最 大 值 1 , 从 而 有 3 4? ? ? ?? ? ? 2k? ? , k ? Z ,即 8? ? 12k ? 4, k ? Z .....................3 分 3 6 2 T 4? T 2? 且 ? , 又由题意可得该函数的最小正周期 T 满足: ? 于是有 2 3 2 3 8? 3 , 0 ? ? ? , 满 足 0 ? 12 k ? 4 ? 6 的 正 整 数 k 的 值 为 0 , 于 是 T? 3 4 1 ............... 6 ?? 2
1 ? ? ? 5? ? ? ? 5? ? t ? x ? , y ? s i n t , 令 因 为 , 由 得 t ? , ? ? x ? ? , 2 ? , 得 t ? , ? ? ? (2) 2 6 ?3 6 ? ? ?3 6 ?

?1 ? ?1 ? y ? ? ,1? , 即 f ( x) 的值域为 ? ,1? 由于 x ? ?? ,2? ? 时, 不等式 m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3 ?2 ? , ?2 ?

7

1 ? 7? 7 ? ? 恒成立,故有 ?m ? 3 ? 2 , 解得 ? 2 ? m ? 即 m 的取值范围是 ? ? 2, ? .......12 分 2? 2, ? ? ?1 ? m ? 3 20、(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图。如图。 根据图象,可考虑用函数
y ? A sin(?x ? ? ) ? h 刻画水深与时

间之间的对应关系。从数据和图象

3 sin

?
6

t ? 10 ? 11.5

可以得出 A ? 3, h ? 10,T ? 12, ? ? 0, 口水深与时间的关系可用 y ? 3 sin

由T ?

2?

?
6

?

? 12, 得 ? ?

?
6

,所以,这个港 .................4 分

t ? 10 近似描述。

(2)Ⅰ)由题意, y ? 11.5 就可以进出港,令, 得 sin

?

1 t ? ,如图, 6 2

在区间 ?0,12? 内,函数

y ? 3 sin

?
6

t ? 10与直线 y ? 11.5

有两个交点,由

?
6

t?

?
6



5? , 6

得 x A ? 1, xB ? 5 ,由周期性得 xC ? 13, xD ? 17 , 由于该船从 1:00 进港,可以 17:00 离港,所以在同一天安全出港,在港 内停留的最多时间是 16 小时。 .................8 分 Ⅱ)设在时刻 x 货船航行的安全水深为 y,那么 y ? 11.5 ? 0.5( x ? 2)(x ? 2) 。在同 一坐标系下画出这两个函数的图象。 ? 设 f ( x) ? 3 sin x ? 10, x ? ?2,10 ?, 6
g ( x) ? 11.5 ? 0.5( x ? 2)(x ? 2)

由 f (6) ? 10 ? g (6) ? 9.5, 且 f (7) ? 8.5 ? g (7) ? 9 知,

8

为了安全,货船最好在整点时刻 6 点之前停止卸货。

.................13 分

? ? ? ?? 21、(1)先证明 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上有零点:由于 f (0) ? 1 ? 0, f ( ) ? ? ? 0 , 2 2 ? 2?
? ?? 由零点存在性定理知 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上有零点 ? 2?

................2 分

? ? ?? 再证明 f ( x) 在 ? 0, ? 上是单调递减函数:设 0 ? x1 ? x2 ? , 2 ? 2?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( c oxs s s s2 ) ? ( x1 ? x2 ) 1 ? x1 ) ? ( c ox 2 ? x2 ) ? ( c ox 1 ?c o x
? ?? 由于 y ? cos x 在 ? 0, ? 上递减,所以 cos x1 ? cos x2 ? 0, 又 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ? 2?

? ?? 从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) 在 ? 0, ? 上是单调递减函数。 ? 2? ? ?? 故函数 f ( x) 在 ? 0, ? 有且只有一个零点。 ? 2?

................5 分

(2)Ⅰ)因为 x 2 是 g ( x) 的零点,所以有 sin x2 ? x2 ?
cos(

?
2

? 0 ,将其变形为

?
2

? x2 ) ? (

?
2

? x2 ) ? 0 , 即 f(

?
2

? x2 ) ? 0 , 从而有 f (

?
2

? x2 ) ? f ( x1 ) =0 , 又

因为

?

? ?? ? ?? ? x2 , x1 ? ? 0, ? ,且由( 1) 的结论 f ( x) 在 ? 0, ? 上有唯一零点,从而有 2 ? 2? ? 2?

?
2

? x2 ? x1



x1 ? x2 ?

?
2

................9 分

Ⅱ)判断 x2 ? x3 ,证明如下: 由于 h(0) ? ?

?
2

? 0, h(1) ? sin1 ? 1 ?

?
2

? sin

?
4

?1?

?
2

?

2 ? ? 1 ? ? 0 ,由零点存在 2 2

性定理和已知得 0 ? x3 ? 1, 从而有

................11 分

0 ? x3 sin x3 ? x3 ?

?
2

? sin x3 ? x3 ?

?
2

? g ( x3 ) , g ( x2 ) ? 0

? ?? 所以有 g ( x2 ) ? g ( x3 ) ,又由已知 g ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增,所以 x2 ? x3 。 ? 2?
................14 分
9


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