当前位置:首页 >> 数学 >>

由阿波罗尼斯圆衍生的椭圆性质


? 

6 O   ?  

中学数 学月 刊 

2 0 1 4年第 6期 

由 阿 波 罗 尼 斯 圆 衍 生 的 椭 圆 性 质 
徐 梅 香  ( 江 苏省 赣 榆 高 级 中 学 2 2 2 I O 0 )  

对椭 圆性 质 的探究 , 若仅 用代 数方 法 , 会 使得  发 现过程 很艰 难 , 而若从 圆的性质 探究 人手 , 则有  较 多的几 何性 质 可 利用 , 再 由 圆 的性 质 衍 生 得 到 
椭 圆的性 质 , 不 失 为一种 较好 的研究 方 法. 以下我  们将 从 阿波罗 尼 斯 圆 的性 质 探 究 开 始 , 发 现椭 圆 

我们 知道 , 如果对 直 线 与 圆进 行 矩 阵 为 M  ( 口> b> O )的伸 缩变换 , 容 易得到 如下 

的与定 点 、 定值、 共线 等有 关 的性 质 , 而 这 些 性质  恰 为近年 来高 考命 题 的热点 .  
1 性质 探 究 , 从 阿 波 罗 尼 斯 圆 开 始 

( 1 )该 矩 阵 变 换 是 线 性 变 换 , 其 中 直 线  一  

变换 为  —m, 直线 Y —n变换 为 Y一旦n, 直线 Y — 
+s 变换 为  一旦尼 z+旦s 特 别地 , 斜率 分别 为 


文[ 1 ] 得 到 了若 干 与 阿 波罗 尼 斯 圆有 关 的性  质, 受此 启发 笔者再 补充 以下两个 性质 .  
性质 1   设A B是 圆0 的一条直 径 , M 是 直线 

志   , 忌 。 的两 条互相 垂 直 ( 志   是  一一 1 )的直 线 l   , z 。 ,  

A B 上异 于 0 的一个 定点 , 过 点 M 任作 一 条 异 于  AB 的直 线交 圆0于 P, Q两点 , 点   沦  P关 于直 线AB 0   的对 称点 为 P   , 则 直线 P   Q。 过 直线 AB 上 的一个 
:  

变换 得到 的两 条直 线 z  , z   。的斜 率 是  , 足   满 足 
忌 , l 忌, 2一 一   b 2
.  

仃 

结 

a 
一 .

2  

. 2  

定点N, 且有 O M ? O N —R   , 其 中 尺为 圆 0半 径 .  

( 2 )圆 z 。 +  一a   变 换为 椭 圆   +  一 l ( a  
“ 0 

运用 几何 方法 简证 如下 :   如图 1 , 延 长 ∞ 交 圆 
0 于 另 外 一 点 C,连 结  P   C,   易 得  P   C Q + 
∞ N 一9 0   , /P   PQ + 

> b > 0) .  

\  、  


、 

\ N、  

运用 上 面 的矩 阵变 换 常识 , 我 们就 可 以把 与  阿波 罗尼 斯 圆有 关 的性 质 变 换 为椭 圆 的性 质. 从 
备考 应试 的角 度考 虑 , 我 们 只给 出 下 列特 殊 情 况  下 与定点 相关 的几个 性质 .  
2   . 2  

Q MO 一 9 0 。 .   因 为 
P   C Q一   P   PQ , 所 以 
∞ N 一  Q M O , 又 
图 1  

命题 1   已知椭 圆 C的方程 是  +  一1 ( &  
以 0 

> b> 0 ) , 过 直线  —m(  ≠ 0 ,『   I ≠a ) 上 的  任意 一点 T作直线 T P, T Q 分别 与椭 圆 C相切 于 


N0Q 一  Q0M , 所 以 △ ∞ N  C / )△ OM Q , 所 

2  

以  

一  

?ON 一 ∞   = Rz - " 证 毕.  

P, Q两 点 , 则 直线 P Q 过定 点 N (   , 0 ) .  
m  
2   —2  

性质 2   设A B 是 圆 0 的一 条直径 , M, N 是  直线 A B 上 位 于 圆心 0 同侧 的两 个定 点 , 且 满 足  O M ?O N —R。 , 其 中 R为 圆 0 半 径. T为过点 M  且 垂直 于 A B 的直 线上 的动 点 , 过点 N作 直线 OT   的垂 线 , 垂足 为 H , 则有 O H ?O T—R   .   运用 几何 方法 简证 如下 :   如图 2 , 因为 NH 上 
OT, 所 以 △ ONH ∽  /  ̄OTM , 所 以  = = =  
p  

命题 2   已知 椭 圆 C的方 程是  +  y - 一1 ( n  
Ⅱ  r J  

> b> 0 ) , A, B 分别是 椭 圆长轴 上 的左 、 右顶点,   过 直线  — (  ≠0 , I   5 ≠a ) 上 异 于  轴上 的  任意 一点 T作 直线  , T B 分别 与椭 圆 C交 于点 


2  

P, Q, 则 直线 P Q 过定点 N( _, “ 0 ) .  
1   y t   2   . 2  


/。  
\ \ 、 0 Ⅳ \ / B  M  
—  

命题 3   已知 椭 圆 C 的 方 程 是   +  一 1 ( a  
a  o 

> b> 0 ) , A, B 分别是 椭 圆长轴 上 的左 、 右 顶点 ,   过定 点 M ( m, 0 ) (  ≠0 ,   l m   l ≠a ) 的直线 与椭 圆 

而 O N 所以 O H ?O T—  


交 于异 于 A, B的两 点 P, Q, 点 P关 于  轴 的对 称 
点是 点 P   , 则直 线 P   Q 过定 点 N(   , 0 ) .  
} 。 H 

OM ?O N —R  . 证毕 .  

图2  

容 易证 明 , 性质 1 , 2的逆 命题 都成 立.   2   矩阵 变换 。 批量 总结椭 圆性 质 

特 别地 , 当点 N 为椭 圆焦 点 时 , 点 M 就 为椭  圆相 应准 线与 z轴 的交 点 , 这 就 是文 [ 2 ]的结论 .  

2 0 1 4年第 6期 

中学 数学 月 刊 

?   6 1  ?  

命题 4   已知椭 圆 C的方程是  +鲁 一1 ( a   a 
> b> 0 ) , A, B分别 是椭 圆长轴 上 的左 、 右顶点,   直线 Y一是   依 次 与 椭 圆 C、 直线 . z—m( m≠ 0 ,   } m   l ≠a ) 交于 点 G, 丁, 点 H 在 线段 0 G上, 且 满 
L2  

点 Q必 在直 线 z一  ( 图 4中虚线 ) 上, 所 以有 


上 P 1  

?zQ一 4.  

题 3 ( 2 0 1 2?北 京 理 )已 知 曲线 C:( 5一  
m) z。+ (   一 2 ) y  一 8 (   ∈ R) .  

足 0 H?  

= = = ∞  , 则 过点 H 且斜 率 为 一  



尼 

的 

( 1 )略 ;  

( 2 ) 设 m一4 , 曲线 C与 轴 的交 点 为A , B( 点 
A 位 于点 B 的上方 ) , 直 线 Y一妇 +4与 曲线 c交  于不 同 的两点 M , N, 直线 Y 一1 与直线 B A d交 于点  G. 求证 : A, G, N 三点 共线 .   简析  m一4时 , 曲线 c: X 百 - +  一1 , 直 线 


2  

直线 过定 点 N(   , 0 ) .  
r f L  

上述 4个 命题 的逆 命题 都成 立 .  

3   牛刀小 试 。 剥下 高考试 题 的“ 马 甲”   有 了上 面的性 质 , 对 于相关 的 高考试 题 , 我们  就不 再是 雾里 看 花 , 而 是一 目了然 , 立刻 发现 问题 
的实 质 , 问题 解 答 就 有 明确 的方 向. 举 例 说 明如 
下 :  

,  

.. 2  

k J c + 4过 Y轴上 定点 K ( 0 , 4 ) , O A 一2 .   我 们换 一个 角度 研究 这道试 题 :   如图 5 , 设点 S ( 0 , 1 ) ,  
-  

题 1  

( 2 O 1 0 ? 江 

J   I y 
  ’

则有 0 S? oK—O A  一4 ,  

l  
f |   1  
j  
I  

苏) 如图 3 , 在 平 面 直 角  坐标 系 x O y 中, 已 知 椭 


因此 本 题 可 以看 作 是 把 
B 
一 

阿波 罗 尼 斯 圆 中 的 两 个  定 点 变 换 到 Y轴 上 的情 

2  

. 2  

圆   +5 - 一1 的左、 右顶  
J 

点 为 A, B, 右 焦 点 为 F,  

形. 依 据命 题 2 的逆 命题 ,  
图 3  

设 过 点 T( t , m)的 直 线  T A, T B 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M( x   , Y   ) , N( x   ,  


可知 直线 A N 与直 线 B M 


图 5  

的交 点必 在直 线 Y一1 上, 即直 线 A N 经 过直 线 Y  
1与直线 B M 的交 点 G.   至此 , 我 们发 现 , 题 1 、 题 2 与题 3只是“ 马 甲”   不 同而 已 , 实质 完全 相 同. 同一 问题 连续 3年被 考  查到 , 的确 令人 深思 .  
题 4   ( 2 0 1 1?山 东  

) , 其 中  > 0 , y 1 > 0 ,  2 < 0 .   ( 1 ) ( 2 )略 ;  

( 3 ) 设t 一9 , 求证 : 直线 MN 必过 X 轴上 的一  个定 点 ( 其坐 标 与 m 无关 ) .  
简析  点 T在直 线  一9上 , 应 用命 题 2 , 可  得 直 线 MN 过点 S( 1 , 0 ) .  
题 2   ( 2 0 1 】? 四 川 
y  

文 )在 平 面 直 角 坐 标 系 


2  
、  

O y中, 已 知 椭 圆 c:  
0 

文 )如 图 4 , 过点 C ( 0 , 1 )  
一  

+y 。 一1 , 如图 6 所示 , 斜 

. 

的椭 圆  +  一1 ( n> b  
“  O 

= = =  
  I

率为 愚 (  > O )且 不过 原  点 的直 线 z 交 椭 圆 C 于 

图 6  

> o )的 离 心 率 为  , 椭 

图 4  

A, B两点 , 线段 A B 的中点 为 E, 射线 O E 交 椭 圆  C于点 G, 交 直线  z一一 3于点 D( 一3 ,  ) .   ( 1 )略 ;  

圆与 z轴 交于 两点 A( a , 0 ) , B( 一a , 0 ) , 过 点 c的  直线 z 与椭 圆交 于另 一点 D, 并 与 z轴交 于 点 P,   直线 A C 与直 线 B D 交 于点 Q.  
( 1 )略 ;  

( 2 ) 若 ∞  一O D? O E. 求证 : 直线 z 过定 点.  
简 析  因为 E是 线段 AB 的 中点 , 所 以 A B?  
ko E一 一  bz
一 一  




即 是 彻 一 一  b 2





 


( 2 )当点 P异 于点 B时 , 求证 : O P? 0 Q为定 
值.  


又 

点 D在 定直 线  一一3 上, 且有 ∞ 。 一O D? O E,  
2  

简 析  先求 得椭 圆方 程 为  +  一 1 . 设 点 
£ 士  


依据命 题 4 , 立刻 得到 直线 z 过定点 ( 一1 , 0 ) .  
参 考 文 献 



—— —— +

 

P( x p , 0 ) , Q( z Q , y Q ) , 贝 0   O P ?C Q —z P? z Q , 此 时  本题 可 以换一 种 方式叙 述 如下 :   过 点 P 的 直 线 与 椭 圆交 于 C, D 两点 , 直 线 
报, 2 0 1 1 ( 5 ) .  

[ 1 ]   闰振 仁 . 对一道数学 问题的研究 性学 习[ J ] . 数 学 通 

AC与 直线 BD 相交 于点 Q, 依据 命题 2的逆命 题 ,  

[ 2 ] 俣永锋. 圆 锥 曲 线 焦 点 弦 的 一个 性质 [ J ] . 数学通讯 ,  
2 0 1 2 ( 3 ) .  


相关文章:
更多相关标签: