当前位置:首页 >> 数学 >>

第五章 第4讲 平面向量应用举例训练 理


第 4 讲 平面向量应用举例
一、选择题 → A.等腰直角三角形 C.等边三角形 → → ). B.非等腰直角三角形 D.钝角三角形 1.△ABC 的三个内角成等差数列,且(AB+AC)·BC=0,则△ABC 一定是(

解析 △ABC 中 BC 边的中线又是 BC 边的高,故△ABC 为等腰三角形,又 A,B,C 成等 π 差数列,故 B= . 3

答案 C 2. 半圆的直径 AB=4,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 的中 → → → 点,则(PA+PB)·PC的值是( A.-2 B.-1 C.2 D.无法确定,与 C 点位置有关 → → → → → 解析 (PA+PB)·PC=2PO·PC=-2. 答案 A π π → → → 3. 函数 y=tan x- 的部分图象如图所示,则(OA+OB)·AB= 4 2 ( A.4 C.1 B.6 D.2 ). )

解析 由条件可得 B(3,1),A(2,0), → → → → → → → →2 →2 ∴(OA+OB)·AB=(OA+OB)·(OB-OA)=OB -OA =10-4=6. 答案 B → → 4. 在△ABC 中, ∠BAC=60°, AB=2,AC=1,E,F 为边 BC 的三等分点, 则AE·AF=( 5 A. 3 B. 5 4 10 C. 9 D. 15 8 ).

→ 1 → → → 解析 法一 依题意,不妨设BE= E C ,BF=2FC, 2 → → 1 → → → 2→ 1→ 则有AE-AB= (AC-AE),即AE= AB+ AC; 2 3 3

1



AF-AB=2(AC-AF),即AF= AB+ AC.
→ → ?2→ 1→? ?1→ 2→? 所以AE·AF=? AB+ AC?·? AB+ AC? 3 ? ?3 3 ? ?3 1 → → → → = (2AB+AC)·(AB+2AC) 9 1 →2 →2 → → = (2AB +2AC +5AB·AC) 9 1 5 2 2 = (2×2 +2×1 +5×2×1×cos 60°)= ,选 A. 9 3 法二 由∠BAC=60°,AB=2,AC=1 可得∠ACB=90°,



→ →



1→ 2→ 3 3

? 2 3 ? 如 图 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 A(0,1) , E ?- ,0? , ? 3 ?
F?-

? ?

3 ? ,0?, 3 ?

3 ? 2 3 ? ? ? → → ∴ AE · AF = ?- ,-1? · ?- ,-1? = 3 3 ? ? ? ? 2 5 3? ? 2 3? ? ?- ?·?- ?+(-1)·(-1)=3+1=3,选 A. ? 3 ? ? 3? 答案 A 5.如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点, → → → → 且AM=xAB,AN=yAC,则

x·y 的值为( x+y

).

A.3

1 B. 3

C.2

1 D. 2

解析 (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底边 BC 的直线,易得 答案 B

x·y 1 = . x+y 3

→ → → → → → → 6.△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,则CA在CB方向上 的投影为 A.1 B.2 C. 3 ( D.3 ).

→ → 解析 如图,由题意可设 D 为 BC 的中点,由OA+AB → → → → → +AC= 0,得OA +2AD= 0,即AO =2AD ,∴ A,O,D
2

→ → 共线且|AO|=2|AD|,又 O 为△ABC 的外心, ∴AO 为 BC 的中垂线, → → → → ∴|AC|=|AB|=|OA|=2,|AD|=1, → → → ∴|CD|= 3,∴CA在CB方向上的投影为 3. 答案 C 二、填空题 → → 7. △ABO 三顶点坐标为 A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足AP·OA → → → → ≤0,BP·OB≥0,则OP·AB的最小值为________. → → 解析 ∵AP·OA=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥-1, → → ∵BP·OB=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2. → → ∴OP·AB=(x,y)·(-1,2)=2y-x≥3. 答案 3 π 8.已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 .以 a,b 为邻边作平行四边 3 形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________. π 2 2 解析 ∵|a+b| -|a-b| =4a·b=4|a||b|cos =4>0, 3 ∴|a+b|>|a-b|,又|a-b| =a +b -2a·b=3,∴|a-b|= 3. 答案 3
x y
2 2 2

9.已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9 +3 的最小值为________. 解析 若 a⊥b,则 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2. 9 +3 =3 +3 ≥2× 3
x y
2x

y

2x+y

=2× 3 =6.

2

1 当且仅当 x= ,y=1 时取得最小值. 2 答案 6 1 3 1 2 10.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x + |a|x +a·bx 在 R 上有极值,则 a 3 2 与 b 的夹角范围为________. 解析 由题意得:f′(x)=x +|a|x+a·b 必有可变号零点,即 Δ =|a| -4a·b>0,即 1 ?π ? 2 2 4|b| -8|b| cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉< .所以 a 与 b 的夹角范围为? ,π ?. 3 2 ? ?
2 2

?π ? 答案 ? ,π ? ?3 ?
3

三、解答题 11.已知 A(2,0),B(0,2),C(cos θ ,sin θ ),O 为坐标原点

??? ? ??? ? 1 (1) AC · BC =- ,求 sin 2θ 的值. 3
(2)若| OA + OC |= 7,且 θ ∈(-π ,0),求 OB 与 OC 的夹角. 解 (1) AC =(cos θ ,sin θ )-(2,0) =(cos θ -2,sin θ )

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? BC =(cos θ ,sin θ )-(0,2)=(cos θ ,sin θ -2). ??? ? ??? ? AC · BC =cos θ (cos θ -2)+sin θ (sin θ -2)
=cos θ -2cos θ +sin θ -2sin θ 1 =1-2(sin θ +cos θ )=- . 3 2 ∴sin θ +cos θ = , 3 4 ∴1+2sin θ cos θ = , 9 4 5 ∴sin 2θ = -1=- . 9 9 (2)∵ OA =(2,0), OC =(cos θ ,sin θ ), ∴ OA + OC =(2+cos θ ,sin θ ), ∴| OA + OC |= ?2+cos θ ? +sin θ = 7.
2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

即 4+4cos θ +cos θ +sin θ =7. 1 ∴4cos θ =2,即 cos θ = . 2 π ∵-π <θ <0,∴θ =- . 3

2

2

??? ? ??? ? ?1 3? 又∵ OB =(0,2), OC =? ,- ?, 2 ? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OB · OC | 0- 3 3 ? ??? ? = ∴cos 〈 OB , OC 〉= ??? =- . 2 2 | OB |·| OC | ??? ? ??? ? 5π ∴〈 OB , OC 〉= . 6
?π 3π ? 12.已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ),α ∈? , ?. 2 ? ?2
→ → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值;

4

2sin α +sin 2α → → (2)若AC·BC=-1,求 的值. 1+tan α → → 解 (1)∵AC=(cos α -3,sin α ),BC=(cos α ,sin α -3), →2 2 2 ∴AC =(cos α -3) +sin α =10-6cos α , →2

2

BC =cos2α +(sin α -3)2=10-6sin α ,
→ → →2 →2 由|AC|=|BC|,可得AC =BC , 即 10-6cos α =10-6sin α ,得 sin α =cos α . 又 α ∈?

?π ,3π ?,∴α =5π . 2 ? 4 ?2 ?

→ → (2)由AC·BC=-1, 得(cos α -3)cos α +sin α (sin α -3)=-1, 2 ∴sin α +cos α = .① 3 2sin α +sin 2α 2sin α +2sin α cos α 又 = =2sin α cos α . 1+tan α sin α 1+ cos α 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin α cos α = , 9 5 ∴2sin α cos α =- . 9 2sin α +sin 2α 5 ∴ =- . 1+tan α 9 13.已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). π (1)若 x= ,求向量 a 与 c 的夹角; 6
2 2 2

?π 9π ? (2)当 x∈? , ?时,求函数 f(x)=2a·b+1 的最大值,并求此时 x 的值. 8 ? ?2
π ? 3 1? 解 (1)设 a 与 c 夹角为 θ ,当 x= 时,a=? , ?, 6 ? 2 2?

a·c cos θ = = |a||c|

3 1 ×?-1?+ ×0 2 2

? 3?2 ?1?2 2 2 ? ? +?2? × ?-1? +0 ? ? 2 ? ?

=-

3 5π .∵θ ∈[0,π ],∴θ = . 2 6
2 2

(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos x-1)=sin 2x

5

π? ? -cos 2x= 2sin?2x- ?, 4? ? π ?3π ? π 9π ? ? ∵x∈? , ?,∴2x- ∈? ,2π ?, 2 8 4 ? 4 ? ? ? π? ? π 3π 2? ? 故 sin?2x- ?∈?-1, ?,∴当 2x- = , 4 4 4 ? ? ? 2? π 即 x= 时,f(x)max=1. 2

? ? 14.已知向量 m=? 3sin ,1?, 4 ? ?
x x 2 x? ? n=?cos ,cos ?.

?

4

4?

(1)若 m·n=1,求 cos?

?2π -x?的值; ? ? 3 ?

(2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos

B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围.
解 (1)m·n= 3sin ·cos +cos 4 4 4 1+cos 2 3 x ?x π ? 1 = sin + =sin? + ?+ , 2 2 2 ?2 6 ? 2

x

x

2

x

x

?x π ? 1 ∵m·n=1,∴sin? + ?= . ?2 6 ? 2
π? 1 ? π? 2?x cos?x+ ?=1-2sin ? + ?= , 3? ? ?2 6 ? 2 cos?

?2π -x?=-cos?x+π ?=-1. ? ? 3? 2 ? 3 ? ? ?

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π ,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B= ,∵0<B<π ,∴B= ,∴0<A< . 2 3 3 π A π π ?A π ? ?1 ? ∴ < + < ,sin? + ?∈? ,1?. 6 2 6 2 ?2 6 ? ?2 ?

?x π ? 1 ?A π ? 1 又∵f(x)=sin? + ?+ ,∴f(A)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2 ?2 6 ? 2
6

? 3? 故函数 f(A)的取值范围是?1, ?. ? 2?

7


相关文章:
第五章 第4讲 平面向量应用举例训练 理
第五章 第4讲 平面向量应用举例训练 _数学_高中教育_教育专区。第 4 讲 平面向量应用举例一、选择题 → A.等腰直角三角形 C.等边三角形 →→ ). B.非...
2015届高考人教A版数学(理)总复习配套题库:第5章 第4讲 平面向量应用举例 Word版含解析]
2015届高考人教A版数学()总复习配套题库:第5章 第4讲 平面向量应用举例 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2015届高考人教A版数学()总复习配套题库:第5...
第4篇 第4讲平面向量应用举例
第4篇 第4讲平面向量应用举例_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第4篇 第4讲平面向量应用举例_数学_高中教育_教育专区。...
第4讲 平面向量应用举例
第4讲 平面向量应用举例_建筑/土木_工程科技_专业资料。高中数学 授课教师:李川...第四章 第3节 平面向量... 6页 免费 2015创新设计(高中理科数... 暂无评价...
第4讲 平面向量应用举例(学生)
第五篇 第4讲 平面向量应用... 暂无评价 34页 免费 第五章 5.4 平面向量应用...? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c...
【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第五章 第4讲 平面向量应用举例 理 新人教A版
【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第五章 第4讲 平面向量应用举例 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 4 讲 平面向量应用举例一、选择...
【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量应用举例习题 理
【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第4讲 平面向量应用举例习题 _数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (江苏专用)2017 版高考...
第五篇平面向量第4讲平面向量的应用
2013届高考数学()一轮复... 9页 2财富值 第4讲平面向量的应用 10页 2...-2- =λb(b≠0)可以判定平行. 【训练 1】 设 a,b,c 为同一平面内...
【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第5章 第4讲 平面向量应用举例]
【步步高】2015高考数学(广东专用,)一轮题库:第5章 第4讲 平面向量应用举例]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(广东专用,)一轮题库:第5章...
更多相关标签:
平面向量的应用举例 | 平面向量应用举例 | 支持向量机举例 | 平面向量应用举例ppt | 平面向量应用举例教案 | 词向量训练 | word2vec训练词向量 | 训练好的中文词向量 |