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高中数学人教版选修2-3同步练习:2.4《正态分布》


课时训练 13
一、选择题

正态分布

1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均 数与标准差分别是( ).

A.10 与 8 答案:B

B.10 与 2

C.8 与 10

>D.2 与 10

解析:由正态密度函数的定义可知,总体的均值 μ=10,方差 σ2=4,即 σ=2. 2.设两个正态分布 N(μ1,)(σ1>0)和 N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( ).

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 答案:A

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

解析:根据正态分布密度曲线的性质:正态分布密度曲线是一条关于直线 x=μ 对称,在 x=μ 处取得 最大值的连续钟形曲线;σ 越大,曲线越“矮胖”;σ 越小,曲线越“瘦高”,结合图象可知 μ1<μ2,σ1<σ2. 故选 A. 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤ X≤ 4)=0.682 6,则 P(X>4)=( A.0.158 8 C.0.158 6 答案:B 解析:P(X>4)=[1-P(2≤ X≤ 4)]=×(1-0.682 6)=0.158 7. 4.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),则 E(2ξ+1)与 D(2ξ+1)的值分别为( A.13,4 C.7,8 答案:D 解析:由已知 E(ξ)=3,D(ξ)=4,得 E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16. 5.(2014 河北高阳中学高三月考)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)等于( A.0.6 ). B.0.4 C.0.3 D.0.2 B.13,8 D.7,16 ). B.0.158 7 D.0.158 5 ).

1

答案:C 解析:P(ξ≥ 4)=1-0.8=0.2,P(ξ≤ 0)=0.2,P(0<ξ<2)==0.3. 6.设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9),若 P(X>C+1)=P(X<C-1),则 C=( A.1 答案:C 解析:∵X~N(2,9), ∴P(X>C+1)=P(X<3-C). 又 P(X>C+1)=P(X<C-1), ∴3-C=C-1.∴C=2. 7.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:min)服从 X~N(50,102),则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为( A.0.682 6 C.0.317 4 答案:D 解析:∵X~N(50,102),μ=50,σ=10, ∴P(30<X≤ 70)=P(μ-2σ<X≤ μ+2σ)=0.954 4. B.0.997 4 D.0.954 4 ). B.3 C.2 D.5 ).

二、填空题
8.(2014 山东桓台一中月考)已知正态分布总体落在区间(-∞ ,0.3)的概率为 0.5,那么相应的正态曲 线 Φμ,σ(x)在 x= 答案:0.3 解析:∵P(X<0.3)=0.5, ∴P(X≥ 0.3)=0.5,即 x=0.3 是正态曲线的对称轴, ∴当 x=0.3 时 Φμ,σ(x)达到最高点. 9.设在一次数学考试中,某班学生的分数服从 ξ~N(110,202),且知满分 150 分,这个班的学生共 54 人.则这个班在这次数学考试中及格(不小于 90 分)的人数和 130 分以上的人数的和约 为 答案:54 解析:因为 ξ~N(110,202),所以 μ=110,σ=20,P(110-20<ξ≤ 110+20)=0.682 6. 所以 ξ>130 的概率为(1-0.682 6)=0.158 7. 所以 ξ≥ 90 的概率为 0.682 6+0.158 7=0.841 3. 所以及格的人数为 54×0.841 3≈ 45, 130 分以上的人数为 54×0.158 7≈ 9. 故所求的和约为 45+9=54 人.
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时达到最高点.

.

10.某班有 50 名学生,一次考试的成绩 ξ(ξ∈N)近似服从正态分布 N(100,102),已知 P(90≤ ξ≤ 100)=0.3,估计该班数学成绩在 110 分以上的人数为 答案:10 解析:考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(100,102), ∴考试的成绩 ξ 关于 ξ=100 对称. ∵P(90≤ ξ≤ 100)=0.3, ∴P(100≤ ξ≤ 110)=0.3. ∴P(ξ>110)=0.2. ∴该班数学成绩在 110 分以上的人数约为 0.2×50=10. .

三、解答题
11.设 X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤ 3);(2)P(3<X≤ 5);(3)P(X≥ 5). 解:因为 X~N(1,22),所以 μ=1,σ=2,如图.

(1)P(-1<X≤ 3)=P(1-2<X≤ 1+2)=P(μ-σ<X≤ μ+σ)=0.682 6. (2)因为 P(3<X≤ 5)=P(-3<X≤ -1), 所以 P(3<X≤ 5)=[P(-3<X≤ 5)-P(-1<X≤ 3)] =[P(1-4<X≤ 1+4)-P(1-2<X≤ 1+2)] =[P(μ-2σ<X≤ μ+2σ)-P(μ-σ<x≤ μ+σ)] =(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. (3)因为 P(X≥ 5)=P(X≤ -3), 所以 P(X≥ 5)=[1-P(-3<X≤ 5)] =[1-P(1-4<X≤ 1+4)] =[1-P(μ-2σ<X≤ μ+2σ)] =(1-0.954 4) =0.022 8. 12.已知某种零件的尺寸 X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞ )上 是减函数,且 f(80)= . (1)求正态分布密度函数的解析式: (2)估计尺寸在 72 mm~88 mm 之间的零件大约占总数的百分之几. 解:(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞ )上是减函数,
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所以正态曲线关于直线 x=80 对称,且在 x=80 处取得最大值. 因此得 μ=80,,所以 σ=8. 故正态分布密度函数的解析式是 f(x)=. (2)由 μ=80,σ=8,得 μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88, 所以零件尺寸 X 在区间(72,88)内的概率是 0.682 6. 因此尺寸在 72 mm~88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%. 13.正态总体当 μ=0,σ=1 时的概率密度函数是 φμ,σ(x)=,x∈R. (1)证明 φμ,σ(x)是偶函数; (2)求 φμ,σ(x)的最大值; (3)利用指数函数的性质说明 φμ,σ(x)的增减性. (1)证明:对于任意的 x∈R, φμ,σ(-x)==φμ,σ(x), 所以 φμ,σ(x)是偶函数. (2)解:令 z=,当 x=0 时,z=0,e-z=1; 当 x≠ 0 时,>0,ez>1,由于 y=ez 是关于 z 的增函数, 所以当 x=0(即 z=0)时,=e0 取得最大值. 这时 φμ,σ(x)的最大值为 e0= . (3)任取 x1<0,x2<0 且 x1<x2 有,所以, 所以, 即 φμ,σ(x1)<φμ,σ(x2). 它表明当 x<0 时,φμ,σ(x)是递增的. 又因为 φμ,σ(x)是偶函数,所以 φμ,σ(x)在(0,+∞ )上是减函数. 故 φμ,σ(x)在(-∞ ,0)上是增函数,在(0,+∞ )上是减函数.

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