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高中数学教案—等比数列


等比数列教案设计

小组:第二小组 组长:贾富杰 小组成员:魏红艳,马永胜, 王娇,白若雪, 陈扶琭

等比数列教案设计
1 课型:新课时 2 教学目标: 掌握等比数列的定义,理解等比数列的通项公式及推导;培养学生的发现意识,提高学 生创新意识,提高学生的逻辑推理能力,增强学生的应用意识. 3 教学重点: 等比数列的定义及通项公式. 4 教学难点: 灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 5 教学方法:通过观察一组有规律的数,小组讨论,得出等比数列的通项公式,再由教师引 导得出等比数列的求和公式,最后通过例题和课后习题巩固所学知识。 6 教学媒体:多媒体教学,PPT 演示,折纸练习与观察。 7 教学过程: Ⅰ.复习回顾 前面几节课,我们共同探讨了等差数列,现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容. Ⅱ.讲授新课 下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点? 1,2,4,8,16,?,263; ① 5,25,125,625,?; ② 1 1 1 1,- , ,- ,?; 2 4 8 仔细观察数列,寻其共同特点. an - 对于数列①,an=2n 1; =2(n≥2) an-1 an 对于数列②,an=5n; =5(n≥2) an-1 对于数列③,an=(-1)n+1· 1 an 1 =- -1 ; 2 2n an-1 (n≥2) ③

共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数. 也就是说,这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点. 1.定义 等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q≠0),即:an∶an-1=q(q≠0) 1 如:数列①,②,③都是等比数列,它们的公比依次是 2,5,- .与等差数列比较, 2 仅一字之差. 总之, 若一数列从第二项起, 每一项与其前一项之 “差” 为常数, 则为等差数列, 之 “比” 为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”. 注意(1)公差“d”可为 0, (2)公比“q”不可为 0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式 请同学们想想等差数列通项公式的推导过程,试着推一下等比数列的通项公式.

解法一:由定义式可得:a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,?, - an=an-1q=a1qn 1(a1,q≠0),n=1 时,等式也成立,即对一切 n∈N*成立. 解法二:由定义式得:(n-1)个等式 a2 =q ① a1 a3 =q ② a2 ? ? an =q n-1 an-1

? ? ? ? ?

若将上述 n-1 个等式相乘,便可得: a2 a3 a4 an - × × ×?× =qn 1 a1 a2 a3 an-1 即:an=a1·qn 1(n≥2) 当 n=1 时,左=a1,右=a1,所以等式成立, - ∴等比数列通项公式为:an=a1·qn 1(a1,q≠0) - - 如:数列①,an=1×2n 1=2n 1(n≤64)


1 - 1 - - 数列②:an=5×5n 1=5n,数列③:an=1×(- )n 1=(-1)n 1 n-1 与等差数列比较, 2 2 两者均可用归纳法求得通项公式. 或者,等差数列是将由定义式得到的 n-1 个式子相“加” ,便可求得通项公式;而等比 数列则需将由定义式得到的 n-1 个式子相“乘” ,方可求得通项公式. 评述:要灵活应用等比数列定义式及通项公式. Ⅲ.课堂练习 课本 P48 练习 1,2,3 已知{an}是无穷等比数列,公比为 q. (1)将数列{an}中的前 k 项去掉,剩余各项组成一个新数列,这个数列是等比数列吗?如 果是,它的首项和公比各是多少? 解:设{an}为:a1,a2,?,ak,ak+1,? 则去掉前 k 项的数可列为:ak+1,ak+2,?,an,? 可知,此数列是等比数列,它的首项为 ak+1,公比为 q. (2)取出数列{an}中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个数列是等比数列吗?如果是, 它的首项和公比各是多少? 解:设{an}为:a1,a2,a3,?,a2k-1,a2k,?,取出{an}中的所有奇数项,分别为: a1,a3,a5,a7,?,a2k-1,a2k+1,? ∵ a2k+1 a1q2k = 2k-2 =q2(k≥1) a2k-1 a1q

∴此数列为等比数列,这个数列的首项是 a1,公比为 q2. (3)在数列{an}中,每隔 10 项取出一项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗? 如果是,它的公比是多少? 解:设数列{an}为:a1,a2,?,an,? 每隔 10 项取出一项的数可列为:a11,a22,a33,?? a22 a11q11 可知,此数列为等比数列,其公式为: = =q11. a11 a11 评述:注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.

Ⅳ.课时小结 an 本节课主要学习了等比数列的定义,即: =q(q≠0,q 为常数,n≥2) an-1 等比数列的通项公式:an=a1·qn 1(n≥2)及推导过程. Ⅴ.课后作业 课本 P52 习题 1,2,3,4 8 教学反思 整堂课程应该多一些学生与老师的互动,教师应该启发学生思考,授之以渔,同时,教师应 该通过调动学生实际动手练习与小组合作让学生更加轻松地理解抽象的概念。



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