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圆锥曲线测试题


圆锥曲线测试题
一 选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 )

2 (改编题)一动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则动圆必 定过点( ) ( A ) (4,0) ( B ) (2,0) ( C ) (0,2) ( D ) (0,-2) 3 已知椭圆两焦点 F1(-1,0), F2(1,0), P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,那么 该椭圆方程是 (A)

4 .抛物线 y=ax2(a<0)的焦点坐标为 (A)(0,

x2 y2 ? ? 1; 3 4
a ); 4

(B)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ; (C) ? ? 1 ; (D) ? ? 1. 4 3 16 9 16 12
(C) (0,-

(B)(0,

1 ); 4a

1 a ) ; (D) (0, ? ) 4a 4


5 在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是(

6 若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

).

7 已知一正方形的两顶点为双曲线 C 的两焦点,若另外两个顶点在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率 e ? ( ) A.

5 ?1 2

B.

2 2 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

x2 y2 2 8 (原创题)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y ? 2 px 的焦点重合,抛物线 a b
焦点到准线的距离 2 ,且到双曲线渐近线的距离为 ( A. 5 x ?
2

2 5 ,则该双曲线的方程为 5
( )



4 2 y ?1 5

B.

x2 y2 ? ?1 5 4

1

C.

y2 x2 ? ?1 5 4

D. 5 x ?
2

5 2 y ?1 4

9 . (原创题) 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 则三角形 MAB 面积的最大值为 A 2 B

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,椭圆的右顶点为 M, 4
D

4 5 5

C

4 10 5

8 10 5

10 要使直线 y=kx+1(k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 取值范围是 ( A 0<a≤1 ; B ) 0<a<7 ; C 1≤a<7 ; D

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,实数 a 的 7 a
1<a≤7

11 (改编题) 设椭圆的两个焦点分别为 F1, F2, 若椭圆存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 :PF2 = 4:3:2,则椭圆的离心率等于( A )

1 2

B

2 3

C

2

D

3 2

12.已知直线 l 交椭圆 4 x 2 ? 5 y 2 ? 80于 M , N 两点,椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点,若

?BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是(
A C



6 x ? 5 y ? 28 ? 0 5 x ? 6 y ? 28 ? 0

B D

6 x ? 5 y ? 28 ? 0 5 x ? 6 y ? 28 ? 0

二 填空题(共 4 小题,每小题 3 分共 12 分,把答案填在相应的位置上) 13 若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k

.

14 (改编题)设 P 是抛物线 上的一个动点,则点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 的距离之和的最小值等于_____________ 15 (原创题) 椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,过 AB 中点 M 与坐标 原点的直线的斜率为

1 ,则椭圆的离心率为_________________. 3
2

16 曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) 的距离的积等于常数 a (a ? 1) 的点的 轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则 ?F 1PF 2 的面积不大于 其中所有正确的结论的序号是
2

1 2 a . 2

.

三 解答题(本大题五个小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (本小题 10 分)已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 外切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程. 18 (本小题 10 分) 已知双曲线过点 P (?3 2 ,4) ,它的渐近线方程为 y ? ?

4 x 3

(1)求双曲线的标准方程; (2)设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点,点 P 在这双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32, 求∠F1PF2 的大小. 19 (2011 陕西高考) (本小题 10 分)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离 a 2 b2

心率为

3 . 5 4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

20(改编题) (本小题 10 分)已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左、 2 2 a b

右焦点分别为 F1 , F2 ,P(0,b)为短轴一个端点,⊿ PF 1F 2 为等腰直角三角形(O 为 坐标原点). (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A、B 两点,试问以 AB 为直径的圆是 否过点 P? 21 (本小题 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

1 3

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

【挑战能力】
★1 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4. a 2 b2

(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y ? x ? 2 相切,求椭圆焦点坐标; (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,记直

3

线 PM,PN 的斜率分别为 kPM , kPN ,当 k PM ? k PN ? ? ★2 已知直线 L : x ? my ? 1过椭圆C : 两点.

1 时,求椭圆的方程. 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B a 2 b2

(1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,当 m 变化时,求
?1 ? ?2 的值.
???? ??? ? ???? ??? ?

3 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

D ,点 P 是椭圆 C 上 (Ⅱ) A 1, A 2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点
异于 A 1, A 2 的动点,直线 A 1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明: DE ? DF 恒为定值

圆锥曲线测试题答案
一 选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1 【答案】D 【解析】 PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上 2 【答案】 B 【解析】抛物线的焦点为(2,0),∴准线方程为 x=-2,∵动圆的圆心在抛物线上且动圆恒 与直线 x+2=0 相切,∴由抛物线定义知,动圆圆心到抛物线焦点的距离等于到直线 x+2=0 的距离,∴动圆必经过抛物线的焦点(2,0). 3 【答案】B 【解析】因为|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,所以 a=2,c=1,b= 3 ,故答案选 B. 4 .【答案】B 【解析】抛物线方程 y=ax2 化为 x ?
2

1 1 y 的焦点坐标(0, ) 4a a

5 【答案】D 【解析】由题意条件,抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上,椭圆的焦点在 y 轴. 6 【答案】C
4

【解析】点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 7 【答案】D 【解析】根据题意正方形的边长为 2c ?
2 2 2 2

b2 2 2 2 ,又 b ? c ? a , a

所以 b ? c ? a ? 2ac ? e ? 2e ? 1 ? 0 , e ? 2 ? 1 8 【答案】D 【 解 析 】 由 p 的 几 何 意 义 得 p=2 , 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 为 ( 1,0 ) , 所 以 c=1,

d?
5x 2 ?

b a 2 ? b2

?

2 5 b2 c2 1 ? a2 ? ? a2 ? ? , 从 而 该 双 曲 线 的 方 程 为 5 4 5 5

5 2 y ?1 4

9 .【答案】B

x2 ? y 2 ? 1,得 5x2 ? 8bx ? 4b2 ? 4 ? 0 , 【解析】设直线 l 的方程为 y ? x ? b ,联立 4
所以 AB ?

2 (?

8b 2 4b2 ? 4 80 ? 16b2 , ) ? 4? ? 2 5 5 25
4 10 ,此时 y ? x ,M 到 AB 的距离 d ? 2 5

当 b ? 0 时,|AB|取最大值为 所以 S? MAB ? 10 【答案】C

1 1 4 10 4 5 AB d ? ? ? 2? 2 2 5 5

【解析】直线 y=kx+1 恒过(0,1) ,要想满足条件: (0,1)在椭圆内部,则 1 ? 所以 1≤a<7 11 【答案】A. 【解析】 ? PF =4:3:2, 设|PF F 2: PF 2 |= 4k ,| F1F 2 |? 3k ,| PF2 |? 2k , 1 : F1 1 其中 | F 1 F2 |? 2c ? 3k ,? c ?

a? 7,

3k ? a ? 3k , ,则 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 6k , 2

3 k c 2 1 ?e ? ? ? , a 3k 2
12 【答案】A. 【解析】 设

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

, 又

B( 0 ,F 4 ) ,

, 由 重 心 坐 标 得

( 2 , 0 )

5

0 ? x1 ? x2 4 ? y1 ? y2 ? 2, ?0 3 3
? x1 ? x2 ? 6 (1) MN ?? ( 3?, 的 中 点 为 ? y1 ? y2 ? ?4 (2) , 所 以 弦

2 )

. 因 为 点

M( x 1 , y 1 ) ,N ( 2x , 2y )

在椭圆上,

2 2 ? ? 4 x1 ? 5 y1 ? 80 ? 2 ,作差得 2 所以, ? ? 4 x2 ? 5 y2 ? 80

y1 ? y2 6 4 (x1 ? x2 ) (x1? x2 ) ? 4( y1? y2 ) ( y1 ? y2 ? ) 0 , 将 ( 1) 和 (2) 代入得 kl ? x ? x ? 5 1 2
所以,直线 L 为: y ? 2 ?

6 ( x ? 3) 5

二 填空题(共 4 小题,每小题 3 分共 12 分,把答案填在相应的位置上) 13 【答案】 (??, ?4) ? (1, ??) 【解析】 (4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ?1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4 14 【答案】 【解析】如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 由抛物线的定义知:点 P 到直线 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F (1,0)的距离之和最小. 显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求最小值为 ,即为 .



15 【答案】

6 3

【 解 析 】 设 A 、 B 两 点 的 坐 标 为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 中 点 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 则

6

m( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? n( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ? mx12 ? ny12 ? 1 ? ,得 , y m 1 ? 2 2 ? mx0 ? nk AB y0 ? 0 ? ? ? 0 k AB ? ? ? mx2 ? ny2 ? 1 n x0 3
1 c b m 2 6 所以 n ? 3m ? 0 ? e2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? n ? 1 ? ? , e ? 1 3 a a n 3 m
2 2

16 【答案】②③
2 【解析】.设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点,则由 | PF 1 | ? | PF 2 |? a 得,
2 2 2 2 2 2 C: ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? a 把(0,0)代入方程可得 1 ? a ,与 a ? 1 矛盾,

故①不正确;当 M(x,y)在曲线 C 上时,点 M 关于原点的对称点 M '(? x, ? y) ,也满足 方程,故曲线 C 关于原点对称,故②正确;

S?F1PF2 ?

1 1 1 | PF1 || PF2 | sin ?F1PF2 ? a 2 sin ?F1PF ? a 2 ,故③正确. 2 2 2

三 解答题(本大题五个小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 【解析】 :设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与 到直线 y=3 的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦 点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为 x 2 ? ?12y . 18 【解析】 (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点,且渐近线上横坐标为 ? 3 2 的点 P ? 的 纵坐标绝对值为 4 2

x2 y2 ? 4 2 ? 4 ∴双曲线的焦点在 x 轴上,设方程 2 ? 2 ? 1 a b
∵双曲线过点 P(?3 2 ,4) 又?

?

18 16 ? ?1 a2 b2



b 4 ? a 3
2



由①②得 a ? 9, b ? 16 ,∴所求的双曲线方程为
2

x2 y2 ? ?1 9 16

(2)证|PF1|=d1,|PF2|=d2,则 d1· d2=32 又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6
2 2 ? d12 ? d 2 ? 2d1d 2 ? 36 即有 d12 ? d 2 ? 36 ? 2d1d 2 ? 100

又|F1F2|=2c=10

2 ? | F1 F2 |2 ? 100 ? d12 ? d 2 ?| PF1 |2 ? | PF2 |2

△PF1F2 是直角三角形, ?F1 PF2 ? 90?

7

19 【解析】 (Ⅰ)将点(0,4)代入 C 的方程得 又e ?

16 ? 1 , ∴b=4, b2

c 3 16 9 a 2 ? b2 9 ? ? 得 ,即 1 ? 2 ? , ∴a ? 5 2 a 5 a 25 a 25

∴ C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 25 16
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5 4 ? x ? 3? 代入C的方程, 5

(Ⅱ)过点 ? 3,0 ? 且斜率为

设直线与C的交点为 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,将直线方程 y ?
2

3 ? 41 3 ? 41 x2 ? x ? 3? 得 , x2 ? , ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? 2 2 25 25

?

x1 ? x2 3 y ? y2 2 6 ? ,y? 1 ? ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? , 2 2 2 5 5 3 6 即所截线段的中点坐标为 ( , ? ) . 2 5
AB 的中点坐标 x ? 20 【解析】由题意 b=c,又因为

c 2 ? , 所以a 2 ? 2, b 2 ? 1. ,因此所求椭圆的方程 a 2

为:

x2 ? y 2 ? 1. 2
1 , 3

(2)动直线 l 的方程为: y ? kx ?

1 ? y ? kx ? , ? 3 16 ? 3 2 2 ? 0. 由? 2 得 (2k ? 1) x ? kx ? 4 9 x 2 ? ? y ? 1, ? ?2
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ). 则 x1 ? x2 ?

4k 16 , x1 x2 ? ? . 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

假设 P(0,1)满足题设,则

8

???? ???? MA ? ( x1 , y1 ? 1), MB ? ( x2 , y2 ? 1). ???? ???? MA ? MB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 1 1 1 1 ? x1 x2 ? (kx2 ? )(kx2 ? ) ? (kx1 ? ? kx2 ? ) ? 1 3 3 3 3 4 16 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3 9 2 16(k ? 1) 4 4k 16 ?? ? k ? 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 9 ?16(k 2 ? 1) ? 16k 2 ? 16(2k 2 ? 1) 9(2k 2 ? 1) ?0 ?
由假设对于任意的 k ? R ? MA ? MB ? 0 恒成立,所以以 AB 为直径的圆过这个点 P. 21 【解析】 (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 ) a2
故所求椭圆的方程为

由题设

a2 ?1 ? 2 2 2

2 ? 3 , 解得 a ? 3

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? m (2) 设 P 为弦 MN 的中点, 由? ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2



? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?
?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则
2

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k

即 2m ? 3k ? 1
2



把②代入①得 2m ? m 由②得

解得 0 ? m ? 2 .

2m ? 1 1 ? 0 解得 m ? 3 2 1 故所求 m 的取范围是( ,2 ) 2 k2 ?

【挑战能力】
1 【解析】 : (1)由 b ?

2 1?1

得b ? 2
9

? 又2a ? 4, a ? 2, a2 ? 4, b2 ? 2

c2 ? a2 ? b2 ? 2,?两个焦点坐标为( 2,0),(- 2,0)
(2)由于过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 交于坐标原点对称 不妨设: M ( x0 , y0 ), N (? x0 , ? y0 ), P( x, y)
2 2 x0 y0 x2 y 2 M,N,P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程,即有 2 ? 2 ? 1, 2 ? 2 ? 1 a b a b

两式相减得:

2 y 2 ? y0 b2 ? ? . 2 x 2 ? x0 a?

由题意它们的斜率存在,则 kPM ?

y ? y0 y ? y0 , kPN ? x ? x0 x ? x0

k PM ? k PN ? 则?

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 b2 ? ? 2 ? ? 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a2

b2 1 ? ? ,由a ? 2得b ? 1 2 4 a
x2 ? y2 ? 1 4

故所求椭圆的方程为

2

【 解 析 】: (1) 易 知 b ? 3 , ? b2 ? 3, 又F (1,0) , ?c ? 1 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 .
x2 y 2 ? ?1. 4 3

? 椭圆C的方程为

? x ? my ? 1 1 (2)? l与y轴交于M (0, ? ) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由 ? 2 可得: 2 m ?3x ? 4 y ? 12 ? 0
(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,故 ? ? 144(m2 ? 1) ? 0 . ?
1 1 2m ? ? . y1 y2 3

???? ??? ? 1 1 1 又由 MA ? ?1 AF ,得 ( x1 , y1 ? ) ? ?1 (1 ? x1 , ? y1 ) .? ?1 ? ?1 ? . 同理 ?2 ? ?1 ? . my my m 1 2
? ?1 ? ?2 ? ?2 ? 1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? . m y1 y2 3 3

3 【解析】 : (Ⅰ)由题意可知, b ? 1 , 解得 a ? 2 . 所以椭圆的方程为

c 3 , ? a 2

…………4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

10

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 (?2, 0) , A2 (2,0) .设 P( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 , 于是直线 A 1P 的方程为 y ? 即 DE ? (2 2 ? 2)

y0 2 (2 2 ) ? y0 令x?2 2, 则y? . ( x ? 2) , x0 ? 2 x0 ? 2

y0 x0 ? 2

.

又直线 A2 P 的方程为 y ? 即 DF ? (2 2 ? 2) 所以

y0 (2 2 ? 2) y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
.

y0 x0 ? 2

y0 y0 4 y0 2 4 y0 2 DE ? DF ? (2 2 ? 2) ? (2 2 ? 2) ? 2 ? , 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 ? x0
又 P( x0 , y0 ) 在

x2 x2 2 2 ? y 2 ? 1 上,所以 0 ? y0 2 ? 1 ,即 4 y0 ,代入上式, ? 4 ? x0 4 4

得 DE ? DF ?

4 ? x0 2 ? 1 ,所以 | DE | ? | DF | 为定值. 4 ? x0 2

11


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