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全等三角形的识别(习题)


第6课

全等三角形的识别(习题)

学习目标:能灵活运用全等三角形的识别方法进行全面综合的证明。 重点与难点:分析题意的能力及解题能力的提高 教学过程: 一、公理及定理回顾: 1、一般三角形全等的判定(如图) (1) 边角边(SSS) ?AB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____ ? △ABC≌△A′B′C′ (2)边角边(SAS) ? AB=A′B′ ∠B=∠B′ _______=_____ ? △ABC≌△A′B′C′ (3) 角边角(ASA) ? ∠B=∠B′ ____=_____ ?△ABC≌△A′B′C′

A

B A′

C

∠C=∠C′ B ′ C′

(4) 角角边(AAS) ? ∠A=∠A′ ∠C=∠C′ _______=_____ ? △ABC≌△A′B′C′ 2、直角三角形全等的判定: 斜边直角边定理(HL) ? AB=AB _____=_____ ?Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ B A A′

C

B′

C′

二、全等三角形的性质 1、全等三角形的对应角_____ 2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线_______ 注意: 1、斜边、直角边公理(HL)只能用于证明直角三角形的全等,对于其它三角形不适用。 2、SSS、SAS、ASA、AAS 适用于任何三角形,包括直角三角形。 练习: 一、判断下列各组里的两个图形是否全等: 1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形 ( 2、有两边和一角分别对应相等的两个三角形 ( 3、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 ( ) ) )



4、等腰三角形的顶角的平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形 ( 5、边长相等的两个等边三角形 ( ) 6、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形





二、填空: 1、如图:OA=OD,OC=OB,_____=______, 则△AOC≌△DOB。 2、如图:CD=BD,若△ACD≌△ABD,则还需有_____ 3、如图:AB=AD,BC=DC,要证∠B=∠D,则需要连结_________,从而可证____≌___ A D C B O C 第1题 B A D 1 B 第2题 A D 第3题 C

4、如图,△ABC≌△DEF, ∠B=30°, ∠D=70°,则∠ACB=__________ 5、如图,OA=OC,OB=OD,则图中有_________≌__________,还有_________≌__________, 根据是________ 6、 如图, △ABC≌△DEF, △ABC 的周长为 25cm, AB=6cm,CA=8cm,则 DE=____,DF=___,EF=____. A A D A D B C E F O B C D B E C F 第4题 第5题 第6题 7、要使下列各对三角形全等,请填写需要增加的条件。 (1) (2)

∠A=∠D, ∠B=∠F, _________;

∠A=∠D, AB=DE, _________;

1、 如图:AD 与 BE 交于点 C,CD=CA,CB=CE,求证:AB=DE 证明: ? CA=CD(已知) ∠1=∠2 ( ) CB=CE(已知) ) ? △____≌△____( E ? AB=DE 9、如图:BC 平分∠ABD,AB=DB,P 为 BC 上任意一点, 求证:△PAC≌△PDC 证明:? BC 平分∠ABD

A 1 2 C D

B

A

? ∠______=∠______ 又? AB=DB ( )
BP=_________( ) ) ? △ABP≌___________( ? ___=__,∠APB=∠___, 即:___=__,∠APC=∠___, 又___=__( ) 则△PAC≌△PDC( ) ? B P D C

三、选择: 1、下列条件中,能判定△ABC≌△DEF 的是( ) A AB=DE,BC=EF, ∠A=∠D B ∠A=∠D, ∠C=∠F,AC=EF C ∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF D AB=DE,BC=EF, △ABC 的周长等于△DEF 的周长 2、以下三对元素对应相等的两个三角形,不能判定它们全等是( ) A 一边两角 B 两边和夹角 C 三个角 D 三条边 3、下列命题中,正确的是( ) A 三个角对应相等的两个三角形全等 C 三条边对应相等的两个三角形全等

B 周长和一边对应相等的两个三角形全等 D 面积和一边对应相等的两个三角形全等

4、已知四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=DC,AC 与 BD 交于点 O,则全等三角形共有( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 5、能判定两个三角形全等的是( ) A ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ C AC=A′C′,∠A=∠A′,∠B=∠B′

B D

BC=B′C′,AC=A′C′,∠B=∠B′ ∠A=∠A′,∠B=∠C′,AC=A′C′ ) D AB=BC=AC

6、在△ABC 中,D 是 BC 边中点,AD ? BC 于 D,则下列结论不正确的是( A △ABD≌△ACD B ∠B=∠C C AD 平分∠BAC

7、已知:在 A、B、C 在一条直线上,分别以 AB、BC 为边,在直线的同侧作等边三角形 ABE 和 BCD,连结 AD、CE,分别交 BE 于 M,交 BD 于 N,下列结论错误的是( ) A △ABD≌△EBC B △NBC≌△MBD C ∠ABD=∠EBC D △ABE≌△BCD 8、已知△ABC,分别 AB、AC 以为边,向形外作等边三角形 ABD 和 ACE,连结 BE、DC,其中 ∠DAB=∠EAC=60°,则△ADC≌△ABE 的根据是( ) A SSS B SAS C ASA D AAS 9、下列命题正确的是( ) (1)有两边和一角对应相等的两个三角形全等 (2)有两角和一边对应相等的两个三角形全等 (3)两个等边三角形一定全等 (4)全等三角形的对应线段相等。 A(1)和(3) B (2)和(3) C (1)和(2) 三、证明: 1、如图,已知 AB=AC,BD=CE,说明△ABD 与△ACE 全等的理由.

D

(2)和(4)

(第 1 题)

2、如图:已知 AB 与 CD 相交于 O,∠A=∠D,CO=BO,说明△AOC 与△DOB 全等的理由.

(第 2 题)

3、如图:点 B、F、C、E 在同一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证:AB=DE,AC=DF A B F D C E

4、如图:AB=AC,DB=DC,F 是的 AD 延长线上一点,求证:BF=CF A

D B F 5 如:△ABC△ABE 和△DBC 的顶点 A 和 D 在 BC 的同旁,AB=DC,AC=DB,AC 和 DB 相交于点 O,, 求证:OA=OD C

A O B

D

C

第7课

命题与证明(一)

学习目标:1、了解定义与命题的概念,并能区分定义与命题。 2、掌握命题的构成。 (如果??那么??) 3、了解公理与定理的概念,并能区分公理与定理。 重点与难点:1、能区分定义与命题。 2、能掌握命题的构成。 3、能区分公理与定理。 教学过程: 一、定义: 试一试 观察图 24.3.1 中的图形,找出其中的平行四边形.

图 24.3.1
答:上图中的平行四边形有______________ 你的根据是______________________ 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义. 注意:1、定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,比如“一些”“大概” 、 、 “差不多”等不能在定义中出现. 2、正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来. 练习: 判断下列各句是否属于定义: (1) 有一个角是直角的三角形,叫做直角三角形. ( (2) 有六条边的多边形,叫做六边形. ( ) (3) 在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线. ( 二、命题: 思 考 试判断下列句子是否正确. (1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等; ( (2)三角形的内角和是 180°; ( ) (3)同位角相等; ( ) (4)平行四边形的对角线相等; ( ) (5)菱形的对角线相互垂直. ( )

) )



像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误 的命题称为假命题.

练习: 1、判断下列语句是命题吗? (1) 画一个角等于两已知角的和; ( ) (2) 钝角总大于直角; ( ) (3) 过点 A 作直线 AB∥CD;( ) (4) 相等并且互补的两个角是直角. ( ) 2、指出下列命题中的真命题和假命题. (1) 同位角相等,两直线平行; (2) 多边形的内角和等于 180°; (3) 如果两个三角形有三个角分别相等,那么这两个三角形全等. 答:真命题有:有____假命题有:____

1、在数学中,许多命题是由题设(或条件)和结论两部分组成的.题设是已知事
项,结论是由已知事项推出的事项.这种命题常可写成“如果??那么??”的形式. 例如: “平行四边形的对角线互相平分”可以写作: “如果一个四边形是______,那么 这个平行四边形的_________” 。 2、用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论. 例如: 在“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”中,________是题设, “__ __________是结论. 例 1 把命题“在一个三角形中,等角对等边”改写成“如果??那么??”的形式, 并分别指出命题的题设与结论. 解 这个命题可以写成:_______________________ 题设是________________,结论是____________. 练习: 2. 把下列命题改写成“如果??那么??”的形式,并指出它的题设和结论. (1) 全等三角形的对应边相等; (2) 平行四边形的地边相等. (3) 三角形全等,对应边相等; (4) 菱形的对角线相互垂直; 解:

三、公理及定理: 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他 命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理. (即:公理是不需要证明的基本事实)

有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并 且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理 例 2:请判断下列各命题有哪些是公理,哪些是定理: (1) 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等; (2) 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; (3) 如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相 等,那么这两个三角形全等; (4) 两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等. (5) 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 解:公理有_____________,定理有_________ 综合练习: 一、填空: 1、判断一件事情是正确的或是错误的句子叫做_____,正确的命题称为_____, ______的称为假命题。 2、有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的 依据,这样的命题称为_______ 1、 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用____的方法判断它们是正确的,并且可 以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做______ 二、判断下列句子是否正确: (1)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角( (2)四边形的内角和是 360°( ) (3)内错角相等( ) (4)菱形的对角线相等( ) (5)矩形的对角线相等且互相平分( ) 三、选择: 1、下列语句不是命题的是( ) A 三角形三条边上的中线的交点在这个三角形的内部 B 画线段 EF=6cm C 直角总比锐角大 D 平行于同一条直线的两条直线互相平行 2、下列命题中真命题是( ) A 钝角三角形一定不是等腰三角形,也不是等边三角形 B 等腰三角形一定是锐角三角形或直角三角形 C 直角三角形一定不是等腰三角形,也不是等边三角形 D 等边三角形一定不是钝角三角形也不是直角三角形 3、下列命题中,假命题是( ) A 定理都是命题 B 命题都是定理 C 公理都是命题 4、下列命题中,错误的命题是( ) A 两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等



D 推理过程叫做证明

C 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 D 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 5、下列命题中是真命题的是( ) A 互补的两个角一定是邻补角 C 两个角互为余角,则这两个角都等于 45° 6、如图:判断 BA∥CE 理由是( ) A ∠B=∠ACE B ∠A=∠ECD C ∠B=∠ACB D ∠A=∠ACE B 四、解答题: 1、找出右图中的锐角,并试着对“锐角”写出一个确切的定义.

B 垂直于同一条直线的两条直线不平行 D 平行于同一条直线的两条直线平 A E

C

D

答:图中的锐角有____________ 锐角的定义为:

2、把下列命题改写成“如果??那么??”的形式,并指出它的题设和结论. (1)直角都相等(2)同旁内角互补(3)内错角相等 (4)等角的补角相等(5)三个内角都等于 60°的三角形是等边三角形.

第8课

命题与证明(二)

学习目标:1、了解证明的定义 2、会判断真假命题并能对假命题举一个反例加以说明. 3、能根据命题写出“已知”“求证” 、 重点与难点:能根据命题写出“已知”“求证” 、

教学过程: 知识回顾: 1、把命题“菱形的对角线平分每一组对角”改写成“如果??那么??”的形式

2、把命题“有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等”改写成“如果??那 么??”的形式

四、证明 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这 样的推理过程叫做证明。 要证明一个命题,首先要根据命题画图, 然后写出已知(即题设) 、求证 (即结论) 。 例 1 证明: 一条直线截两条平行直线所得的内错角相等. (析:该命题用“如果??那么??”表示为:________ ___________________________) 已知:直线 l1∥l2,直线 l3 分别和 l1、l2 相交于点 A、B. 求证: ∠1=∠3. 证明 , ? l1∥l2(已知) ) . ? ∠1=∠2 ( 又 ? ∠2=∠3 ( ) , ) . ? ∠1=∠3 ( 练习: 1. 根据下列命题,画出图形并写出“已知”“求证” 、 (不必证明) ; (1) 两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等;

图 24.3.3

(2) 在一个三角形中,如果一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角 三角形.

2、如图:AB∥CD, ∠ABC=∠ADC,求证:AD∥BC 证明:连结 BD ) ? AB∥CD ( ) ?∠____=∠______( 又? ∠ABC=∠ADC( ) ? ∠ABC-________=∠ADC-_________( 即∠______=∠____ ( ? AD∥BC

A 4 2 ) ) B 1 3 C

D

如果要证明或判断一个命题是假命题,那么我们只要举出一个符合命题题设而不 符合结论的例子就可以了,这称为“举反例” . 例如:请证明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题, 解: ________________________________ (举任意 一个反例从而说明这个命题是假命题即可) 练习 1、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,则举一个反例加以说明. (1) 两个锐角的和等于直角; (2) 两条直线被第三条直线所截,同位角相等; (3) 有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等. (4) 同位角相等

综合练习: 一、选择: 1、命题“等角的补角相等”的题设是( A 两个角是等角 B 两个角是补角 2、下列命题中,正确的是( ) A 三个角对应相等的两个三角形全等 C 三条边对应相等的两个三角形全等 3、下列命题正确的是( ) A 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C 两个等边三角形一定全等

) C 两个角是等角的补角

D 两个角相等

B 周长和一边对应相等的两个三角形全等 D 面积和一边对应相等的两个三角形全等

B 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 D 全等三角形的对应线段相等。

二、填空: 1、 “如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 的题设为_ ” __________________,结论为_________________ 2、 “三个角都相等的三角形是等边三角形” 的题设为________________ ____________,结论为_________________ 3、把“对顶角相等”改写成“如果??那么??”的形式为_____________ ________________________________。

4、 “等腰三角形底边中点到两腰的距离相等” 改写成“如果??那么??”的形式为__ _______________________________________。 5、 “同旁内角互补,两直线平行”的题设为__________________。 6、 “全等三角形的对应边相等” 的结论为__________________。 三、解答题: 1、把下列命题改写成“如果??那么??”的形式,并指了该命题是真命题还是假命题。 (1)内错角的平分线互相垂直(2)小于 90°的角是锐角(3)互补的两个角都是邻补角

2、根据下列命题,画出图形并写出“已知”“求证” 、 (不必证明) ; (1)角平分线上的点到角的两边的距离相等。

(2)与两平行线中的一条垂直的直线,也垂直于另一条

(3)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半

3、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,则举出一个反例说明. (1) 两直线平行,同旁内角互补;

(2) 垂直于同一条直线的两直线平行;

(3) 相等的角是内错角;

(4) 有一个角是 60°的三角形是等边三角形.

四、证明:

1、 请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由. 已知:如图 24.3.6,AD=BC,CE∥DF,CE=DF. 求证: ∠E=∠F. 证明: ? CE∥DF ( ) , ). ? ∠1=∠2 ( 在△AFD 和△BEC 中, ) , ? DF=CE ( ∠1=∠2 ( ) , AD=BC ( ) , ) , ? △AFD≌△BEC ( ) . ? ∠E=∠F (

图 24.3.6

2、完成下列推理. (1) 如图,已知∠1=∠A,求证:∠2=∠3. 证明: ? ∠1=∠A, ? __________∥____________( ? _________=_____________(

) , ) .

(2) 如图,∠ADB=∠CBD, ∠1=50°,求∠C. 解: ? ∠ADB=∠CBD ( ) , ) , ? _________∥____________( ) . ? ____________=∠1 ( ) , ? ∠1=50°( ? ∠C=50°. 3、如图:直线 AB 和 CD 被直线 EF 所截,∠1+∠2=180°,求证:AB∥CD

(第 2 题)

E 3 A 2 C F D 1 B


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