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四川省雅安中学2015届高三上学期9月月考数学试卷(理科)


四川省雅安中学 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设 P、Q 为两个非空实数集,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是() A.6 B. 7 C. 8 D.9 2. (5 分)下列命题中,真命题是

() 2 A.?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是偶函数 2 B. ?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是奇函数 2 C. ?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是偶函数 2 D.?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是奇函数 3. (5 分)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x ﹣2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是() A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) C. f(1)<f(a) <f(b) D. f(b)<f(1)<f(a) 4. (5 分) 设( f x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 y=f (x) 的图象关于直线 () A.0 对称, 则 =
x

B. 1
x

C . ﹣1

D.2

5. (5 分)已知 a>1,函数 y=a 与 y=loga(﹣x)的图象只可能是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范

围为()

A.(1,+∞)

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

7. (5 分)已知 x () A.x﹣y>0

﹣(log

0.5) <(﹣y)

x

﹣(log

0.5) ,则实数 x,y 的关系是

﹣y

B.x﹣y<0

C.x+y>0

D.x+y<0

8. (5 分)函数 f(x)= 值为() A.1 或 B. ﹣ C. 1

,满足 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能

D.1 或﹣

或﹣

9. (5 分) 设( f x) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时 ( f x) 是单调函数, 则满足 的所有 x 之和为() A.﹣3 B. 3

C . ﹣8

D.8
2

10. (5 分)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,对任意的 x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x , 且 x∈(0,+∞)时,f′(x)>x.若 f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,则实数 a 的取值范围为() A.[1,+∞) B.(﹣∞,1] C.(﹣∞,2] D.[2,+∞)

二.填空题 11. (5 分)若 sin( ﹣α)= ,则 cos( +α)=.

12. (5 分)已知函数 f(x)满足对任意实数 a,b,有 f( (1)=1,f(4)=7,则 f=.

)=

,且 f

13. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx,当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f ( )=.

14. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是. 15. (5 分)对于定义在 R 上的函数 f(x) ,有下述四个命题; ①若 f(x)是奇函数,则 f(x﹣1)的图象关于点 A(1,0)对称; ②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x﹣1) ,则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称;

2

③若函数 f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确命题为.

三.解答题 16. (12 分)已知 , ,且

(Ⅰ) 求

的值;

(Ⅱ)求角 β. 17. (12 分)设函数 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) . (Ⅰ)求 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若当 时,不等式 f (x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围;
2 2

(Ⅲ)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取 值范围.

18. (12 分)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 a,b 的值;

是奇函数.

(Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=﹣ (a>0) ,设 F(x)=f(x)+g(x) (Ⅰ)求函数 F(x)的单调区间 (Ⅱ)若以函数 y=F(x) (x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的最小值 (Ⅲ)是否存在实数 m,使得函数 y=g( )+m﹣1 的图象与函数 y=f(1+x )的图象恰
2

2

2

有四个不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 20. (12 分)已知函数 f(x)= ﹣1.

(1)判断函数 f(x)的单调性; (2)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值; (3)证明:?n∈N ,不等式 ln(
*

)<

e



21. (15 分)已知函数 f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间和最大值; (2)若 f(x)≤0 恒成立,求 k 的取值范围; (3)证明:①ln(x﹣1)<x﹣2 在(2,+∞)上恒成立;② n>1) ( )< (n∈N,

四川省雅安中学 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设 P、Q 为两个非空实数集,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是() A.6 B. 7 C. 8 D.9 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 新定义. 分析: 讨论 a 的取值,根据定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}分别求出 P+Q,然后根据集合的 互异性求出所求即可. 解答: 解:∵P={0,2,5},Q={1,2,6},P+Q={a+b|a∈P,b∈Q} ∴当 a=0 时,b∈Q,P+Q={1,2,6} 当 a=2 时,b∈Q,P+Q={3,4,8} 当 a=5 时,b∈Q,P+Q={6,7,11} ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11} 故选 C 点评: 本题主要考查元素与集合关系的判断,以及新的定义的运算和集合的性质等有关基 础知识,属于新颖题型. 2. (5 分)下列命题中,真命题是() A.?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是偶函数 2 B. ?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是奇函数 2 C. ?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是偶函数 2 D.?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是奇函数 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 本题主要考查函数奇偶性的基本概念即在定义域内对于任意的 x 都有 f(﹣x)=﹣f (x) ,则 f(x)是奇函数,在定义域内对于任意的 x 都有 f(﹣x)=f(x) ,则 f(x)是偶函 数,还考查了存在量词、全称量词的含义与应用,属于容易题. 2 解答: 解:A、当 m=0 时,函数 f(x)=x 是偶函数,故 A 正确; 2 2 B、f(﹣x)=x ﹣mx,﹣f(x)=﹣x ﹣mx,不存在 m 使函数在定义域内对任意的 x 都有 f(﹣ x)=﹣f(x) ,故 B 错误; C、仅当 m=0 时 f(x)是偶函数,m 取其它值均不满足题意,故 C 错误; D、一个 m 也没有更谈不上对任意的 m 的值,故 D 错误. 故选 A. 点评: 本题主要是函数奇偶性的应用,判断函数奇偶性有两步①定义域是否关于原点对称 ②若定义域关于原点对称则再看 f(﹣x)与 f(x)的关系,有时奇偶性的判断也可以根据函 数的图象. 3. (5 分)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,函数 g(x)=lnx+x ﹣2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是() A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) C. f(1)<f(a) <f(b) D. f(b)<f(1)<f(a) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的零点的判定定理,可得 0<a<1<b<2,再由函数 f(x)=e +x﹣2 在(0, +∞)上是增函数, 可得结论. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 a,f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,∴0<a <1. ∵函数 g(x)=lnx+x﹣2 的零点为 b,g(1)=﹣1<0,g(2)=ln2>0,∴1<b<2. 综上可得,0<a<1<b<2. 再由函数 f(x)=e +x﹣2 在(0,+∞)上是增函数,可得 f(a)<f(1)<f(b) , 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理,函数的单调性的应用,属于中档题.
x x x

4. (5 分) 设( f x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 y=f (x) 的图象关于直线 () A.0

对称, 则

=

B. 1

C . ﹣1

D.2

考点: 奇偶函数图象的对称性;奇函数. 专题: 计算题. 分析: 要求函数值,必须出现函数值,所以先通过 f(x)是定义在 R 上的奇函数,求得 f (0) ,再由对称性求得 f( ) ,再用奇偶性求得结论. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(0)=0. 又∵y=f(x)的图象关于直线 对称,

∴f( )=f(0)=0. ∴ ,

故选 A 点评: 本题主要考查函数的奇偶性及其对称性,两者都是函数性质中的等量转化性质,在 转化区间,求函数值中应用很广泛. 5. (5 分)已知 a>1,函数 y=a 与 y=loga(﹣x)的图象只可能是()
x

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 y=a 是增函数,函数 y=loga(﹣x)的定义域为(﹣∞,0) ,且在定义域内为减 函数,从而得出结论. x 解答: 解:已知 a>1,故函数 y=a 是增函数. 而函数 y=loga(﹣x)的定义域为(﹣∞,0) ,且在定义域内为减函数, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的定义域、单调性,函数的图象,属于基础题.
x

6. (5 分)f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范

围为() A.(1,+∞)

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据当 x≤1 时,f(x)是一次函数且为增函数,可得一次项系数为正数,再根据当 x x>1 时,f(x)=a 为增函数,可得底数大于 1,最后当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值 要小于指数函数的取值.综合,可得实数 a 的取值范围.

解答: 解:∵当 x≤1 时,f(x)=(4﹣ )x+2 为增函数 ∴4﹣ >0?a<8 又∵当 x>1 时,f(x)=a 为增函数 ∴a>1 同时,当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值 ∴(4﹣ )×1+2≤a =a?a≥4 综上所述,4≤a<8 故选 B 点评: 本题以分段函数为例,考查了函数的单调性、基本初等函数等概念,属于基础题.解 题时,应该注意在间断点处函数值的大小比较.
1 x

7. (5 分)已知 x () A.x﹣y>0

﹣(log

0.5) <(﹣y)

x

﹣(log

0.5) ,则实数 x,y 的关系是

﹣y

B.x﹣y<0

C.x+y>0

D.x+y<0

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 考察函数 f(x)=x ﹣(log 0.5) ,在 R 上的单调性即可得出.
x

解答: 解:设函数 f(x)=x ∵0< ∴函数 y=(log =log32<1,

﹣(log

0.5) ,

x

0.5) ,为 R 上的减函数,

x

∴函数 f(x)为 R 上的增函数. ∵x ﹣(log 0.5) <(﹣y)
x

﹣(log

0.5) ,

﹣y

∴x<﹣y,即 x+y<0. 故选:D. 点评: 本题考查了利用函数的单调性解不等式,属于基础题.

8. (5 分)函数 f(x)= 值为()

,满足 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能

A.1 或

B. ﹣

C. 1

D.1 或﹣

或﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 依题意,可求得 f(1) ,由 f(1)+f(a)=2 可得 f(a) ,利用 f(x) = ,即可求得 a 的所有可能值.

解答: 解:∵f(x)= ∴f(1)=e =1,又 f(1)+f(a)=2, ∴f(a)=1; 2 ∴当﹣1<a<0 时,f(a)=2sinπa =1, ∴a = 或 a = , ∴a=﹣ 或 a=﹣
a﹣1 2 2 0





当 a≥0 时,e ∴a=1.

=1, 或 a=﹣ 或 a=1.

综上所述,a=﹣

故选 D 点评: 本题考查函数解析式的应用,考查分析、运算能力,属于中档题.

9. (5 分) 设( f x) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时 ( f x) 是单调函数, 则满足 的所有 x 之和为() A.﹣3 B. 3

C . ﹣8

D.8

考点: 偶函数. 专题: 压轴题. 分析: f(x)为偶函数?f(﹣x)=f(x) ,x>0 时 f(x)是单调函数?f(x)不是周期函数.所 以若 f(a)=f(b)则 a=b 或 a=﹣b 解答: 解:∵f(x)为偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数 ∴若
2 2

时,必有





整理得 x +3x﹣3=0 或 x +5x+3=0, 所以 x1+x2=﹣3 或 x3+x4=﹣5. ∴满足 的所有 x 之和为﹣3+(﹣5)=﹣8,

故选 C. 点评: 本题属于函数性质的综合应用,解决此类题型要注意:

(1)变换自变量与函数值的关系:①奇偶性:f(﹣x)=f(x) ②增函数 x1<x2?f(x1)<f(x2) ;减函数 x1<x2?f(x1)>f(x2) . (2)培养数形结合的思想方法. 10. (5 分)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,对任意的 x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x , 且 x∈(0,+∞)时,f′(x)>x.若 f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,则实数 a 的取值范围为() A.[1,+∞) B.(﹣∞,1] C.(﹣∞,2] D.[2,+∞) 考点: 导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令 g(x)=f(x)﹣ x ,由 g(﹣x)+g(x)=0,可得函数 g(x)为奇函数.利用 导数可得函数 g(x)在 R 上是增函数,f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,即 g(2﹣a)≥g(a) ,可 得 2﹣a≥a,由此解得 a 的范围. 解答: 解:∵f(﹣x)+f(x)=x ,∴f(x)﹣ x +f(﹣x)﹣ x =0, 令 g(x)=f(x)﹣ x ,∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣ x +f(x)﹣ x =0, ∴函数 g(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,f′(x)>x. ∴x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x>0,故函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数, 故函数 g(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由 f(0)=0,可得 g(x)在 R 上是增函数. f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,等价于 f(2﹣a)﹣ ≥f(a)﹣ ,
2 2 2 2 2 2 2 2

即 g(2﹣a)≥g(a) ,∴2﹣a≥a,解得 a≤1, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题. 二.填空题 11. (5 分)若 sin( ﹣α)= ,则 cos( +α)= .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式把要求的式子化为 sin( 解答: 解:∵sin( 故答案为: . 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题. ﹣α)= ,∴cos( ﹣α) ,利用条件求得结果. ﹣( ﹣α)]=sin( ﹣α)= ,

+α)=cos[

12. (5 分)已知函数 f(x)满足对任意实数 a,b,有 f( (1)=1,f(4)=7,则 f=4027.

)=

,且 f

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由条件令 a=4,b=1,得 f(2)=3,令 a=1,b=4,得 f(3)=5,猜想:f(n)=2n﹣1 (n∈N*) .再由数学归纳法证明,即可求出 f 的值. 解答: 解:∵函数 f(x)满足对任意实数 a,b,有 f( ∴由 f(1)=1,f(4)=7, 令 a=4,b=1,得 f(2)= 令 a=1,b=4,得 f(3)= 猜想:f(n)=2n﹣1(n∈N ) .① 证明:当 n=1,2,3,4 时①成立. 假设 n≤k(k>4 且 k 为整数) ,①都成立. 令 a=k﹣2,b=k+1,得 f(k)= ∴f(k+1)= = ,
*

)=



=3, =5,

=2(k+1)﹣1, 即对 n=k+1.f(k+1)=2(k+1)﹣1 成立. ∴对任意正整数 n,f(n)=2n﹣1(n∈N )都成立. ∴f=2×2014﹣1=4027. 故答案为:4027. 点评: 本题考查抽象函数及运用,考查赋值法的运用,同时考查运用数学归纳法证明与 n 有关的命题,属于中档题. 13. (5 分)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx,当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f ( )= .
*

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f( +sin +sin +sin )=f( )+sin =f( )+sin +sin =f( )

,由此能求出结果.

解答: 解:∵函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx, 当 0≤x<π 时,f(x)=0, ∴f( )=f( )+sin

=f( =f( =0+ = .

)+sin )+sin

+sin +sin +sin

故答案为: . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 14. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是(0, ) .
2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 在同一坐标系中画出函数的图象与直线 y=a 的图象, 利用数形结合判断 a 的范围即可. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x ﹣2x+ |, 若函数 y=f(x)﹣a 在区间[﹣3,4]上有 10 个零点(互不相同) ,在同一坐标系中画出函数 f (x)与 y=a 的图象如图:由图象可知 故答案为: (0, ) . .
2

点评: 本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用. 15. (5 分)对于定义在 R 上的函数 f(x) ,有下述四个命题; ①若 f(x)是奇函数,则 f(x﹣1)的图象关于点 A(1,0)对称;

②若对 x∈R,有 f(x+1)=f(x﹣1) ,则 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称; ③若函数 f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1﹣x)的图象关于直线 x=1 对称. 其中正确命题为①③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用函数的性质对①②③④四个选项逐个判断即可. 解答: 解:①,∵f(x)是奇函数, ∴f(x)的图象关于原点成中心对称,而 y=f(x﹣1)的图象是将 y=f(x)得图象向右平移一 个单位, f(x﹣1)的图象关于点 A(1,0)对称,故①正确; ②,对 x∈R,有 f(x+1)=f(x﹣1)≠f(1﹣x) ,则 y=f(x)的图象不关于直线 x=1 对称,即 ②错误; ③,若函数 f(x﹣1)的图象关于直线 x=1 对称, 则函数 f(x)的图象关于直线 x=0 即 y 轴对称, ∴f(x)为偶函数,③正确; 对于④,不妨令 f(x)=x,则 f(1+x)=1+x,f(1﹣x)=1﹣x,二者图象关于 x=0 对称,故 ④错误. 故答案为:①③. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查函数的性质地综合应用,考查分析与解决问 题的能力,属于中档题. 三.解答题 16. (12 分)已知 , ,且

(Ⅰ) 求

的值;

(Ⅱ)求角 β. 考点: 运用诱导公式化简求值;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)把所求式子的分母利用 cos( +α)=﹣sinα 诱导公式化简,分子第一个因式

利用 cos(π+α)=﹣cosα,第二个因式利用 tan(π﹣α)=﹣tanα 化简,第三个因式利用 sin( ﹣α)=cosα,利用同角三角函数间的基本关系变形,约分后再利用二倍角的余弦函数公式化 简,把 cosα 的值代入即可求出值; (Ⅱ)由 cosα 的值,根据 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,由 α 和 β 的范围,求出 α﹣β 的范围,由 cos(α﹣β)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cos (α﹣β) 的值, 然后把所求的角 β 变形为 α﹣ (α﹣β) , 利用两角差的余弦函数公式表示出 cos[α

﹣(α﹣β)]即 cosβ,把各自的值代入即可求出 cosβ 的值,根据 β 的范围,利用特殊角的三角 函数值即可求出 β 的度数. 解答: 解: (Ⅰ)∵cosα= ,



=

=﹣cos2α=1﹣2cos α=

2



(Ⅱ)由 得到 sinα=

, =

,且 ,α﹣β∈(0,

, )则 sin(α﹣β)= ,

所以 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β) = × 则 β= + . × = = ,

点评: 此题综合考查了诱导公式,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的余弦函数公式, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握公式是解本题的关键, 同时在求值时注意角度的范 围,以及角 β=α﹣(α﹣β)的灵活变换. 17. (12 分)设函数 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) . (Ⅰ)求 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若当 时,不等式 f (x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围;
2 2

(Ⅲ)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取 值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 压轴题. 2 分析: (Ⅰ)已知 f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x)求出函数的导数 f′(x) ,然后令 f′(x)=0, 解出函数的极值点,最后根据导数判断函数的单调性,从而求解; (Ⅱ)由题意当 时,不等式 f (x)<m 恒成立,只要求出 f(x)的最大

值小于 m 就可以了,从而求出实数 m 的取值范围; 2 (Ⅲ)已知方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,整理移项得方程 g(x) =x﹣a+1﹣2ln(1+x)=0 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,利用函数的增减性得根,于

是有

,从而求出实数 a 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)函数的定义域为(﹣1,+∞) . (1 分) ∵ ,

由 f′(x)>0,得 x>0;由 f′(x)<0,得﹣1<x<0. (3 分) ∴f(x)的递增区间是(0,+∞) ,递减区间是(﹣1,0) . (4 分) (Ⅱ)∵由 由(Ⅰ)知 f(x)在 ,得 x=0,x=﹣2(舍去) 上递减,在[0,e﹣1]上递增.

2015 届高三数学(理科)答案第 3 页(共 6 页) 又 ∴当
2

,f(e﹣1)=e ﹣2,且 时,f(x)的最大值为 e ﹣2.
2

2



故当 m>e ﹣2 时,不等式 f(x)<m 恒成立. (9 分) 2 (Ⅲ)方程 f(x)=x +x+a,x﹣a+1﹣2ln(1+x)=0. 记 g(x)=x﹣a+1﹣2ln(1+x) , ∵ ,

由 g′(x)>0,得 x>1 或 x<﹣1(舍去) .由 g′(x)<0,得﹣1<x<1. ∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 2 为使方程 f(x)=x +x+a 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,

只须 g(x)=0 在[0,1]和(1,2]上各有一个实数根,于是有

∵2﹣2ln2<3﹣2ln3, ∴实数 a 的取值范围是 2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3. (14 分) 点评: 此题主要考查对数函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程与不等 式等基础知识, 一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、 推理论证能力及分析与解决问题的 能力,要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想,化归与转化思想、有限与无限的思想 来解决问题.

18. (12 分)已知定义域为 R 的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ)若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 指数函数单调性的应用;奇函数. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ)利用奇函数定义,在 f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求 a,b 的值; 2 2 (Ⅱ)首先确定函数 f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k) <0 转化为关于 t 的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, 即

又由 f(1)=﹣f(﹣1)知 所以 a=2,b=1. 经检验 a=2,b=1 时,



是奇函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 易知 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数. 又因为 f(x)是奇函数,



所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) , 2 2 因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 2 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0, 从而判别式 所以 k 的取值范围是 k<﹣ . 点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问 题的解决策略. .

2

2

19. (12 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=﹣ (a>0) ,设 F(x)=f(x)+g(x) (Ⅰ)求函数 F(x)的单调区间 (Ⅱ)若以函数 y=F(x) (x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k≤ 恒成立,求实数 a 的最小值 (Ⅲ)是否存在实数 m,使得函数 y=g( )+m﹣1 的图象与函数 y=f(1+x )的图象恰
2

有四个不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)先求出其导函数,根据导函数的正负即可求出其单调区间; (II)先把问题转化为 F'(x0)= ≤ 恒成立;再结合二次函数即可求出结论;

(III)先根据条件把问题转化为 m=ln(1+x )+ x + 有四个不同的根;求出其导函数,找到 其极值点,根据极值即可得到结论. 解答: 解: (I)∵F(x)=f(x)+g(x)=lnx﹣ , ∴F'(x)= + = , (x>0) ;

2

2

∵x>0,a>0, ∴F'(x)>0, ∴F(x)在(0,+∞)上递增; (II)∵F'(x)= , (0<x≤3) ,

则 k=F'(x0)=

≤ 恒成立;

即 a≤ (

﹣2x0)在(0,3]上恒成立, ﹣2x0)取到最小值﹣ ,

当 x0=1 时, ( ∴a≤﹣ .

即 a 的最大值为﹣ . (III)y=g( 四个不同的交点, 即,﹣ x +m﹣ =ln(1+x )有四个不同的根,亦即 m=ln(1+x )+ x + 有四个不同的根; 令 G(x)=ln(1+x )+ x + ;
2 2 2 2 2 2

)+m﹣1=﹣ x +m﹣ 的图象与函数 y=f(1+x )=ln(1+x )的图象恰有

2

2

2

则 G'(x)=

+x=



∴x>0 时,G′(x)>0,G(x)递增,x<0 时,G′(x)<0,G(x)递减, ∴G(x)min=G(0)= >0, ∴不存在实数 m,使得函数 y=g( )+m﹣1 的图象与函数 y=f(1+x )的图象恰有四个
2

不同交点. 点评: 本题主要考察了应用导数求函数的单调区间,极值,最值,以及恒成立问题的判断.

20. (12 分)已知函数 f(x)= (1)判断函数 f(x)的单调性;

﹣1.

(2)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值; (3)证明:?n∈N ,不等式 ln(
*

)<

e



考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;综合题;分类讨论;转化思想. 分析: (1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键,利用导函数的正 负确定出函数的单调性; (2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题,注意分类讨论思想的运用; (3)利用导数作为工具完成该不等式的证明,注意应用函数的最值性质. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域是: (0,+∞) 由已知 令 f′(x)=0 得,1﹣lnx=0,∴x=e ∵当 0<x<e 时, ,

当 x>e 时, ∴函数 f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减, (2)由(1)知函数 f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减 故①当 0<2m≤e 即 ∴ 时,f(x)在[m,2m]上单调递增 ,

②当 m≥e 时,f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴ ③当 m<e<2m,即 ∴ , 时 . , ,

(3)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时, ∴在(0,+∞)上恒有 即 且当 x=e 时“=”成立, ,

∴对?x∈(0,+∞)恒有 ∵ ,

∴ 即对?n∈N ,不等式
*

恒成立.

点评: 此题是个中档题.本题考查导数在函数中的应用问题,考查函数的定义域思想,考 查导数的计算,考查导数与函数单调性的关系,考查函数的最值与导数的关系,体现了等价转 化的数学思想和分类讨论的思想,同时考查了学生的计算能力. 21. (15 分)已知函数 f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间和最大值; (2)若 f(x)≤0 恒成立,求 k 的取值范围; (3)证明:①ln(x﹣1)<x﹣2 在(2,+∞)上恒成立;② n>1) 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)求出导函数,通过对 k 的讨论,判断出导函数的符号,列出 x,f′(x) ,f(x) 变换情况,求出函数 f(x)的单调区间和最大值. (2)当 k≤0 时,在[2,+∞)上有 f(x)>0,不满足题意,当 k>0 时,令 f(x)的最大值 ln ( )≤0 求出 k 的范围即可. (3)取 k=1,由(2)知 f(x)=ln(x﹣1)﹣x+2≤0 恒成即 ln(x﹣1)≤x﹣2 所以 令 x=n+1 得到 即证得 ( )< (n∈N,

成立.

解答: 解: (1)f′(x)=

﹣k (x>1)

当 k≤0 时,f(′x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增 即 f(x)的增区间为(1,+∞) 无减区间 当 k>0 时,令 f'(x)=0 得 x=1+ x,f′(x) ,f(x)变换情况如下: 当 x∈(1,1+ ) ,f′(x)>0; 当 x∈(1+ ,+∞) ,f′(x)<0 所以 f(x)的增区间为(1,1+ ) 减区间为(1+ ,+∞) (2)当 k≤0 时,在[2,+∞)上有 f(x)>0,不满足题意

当 k>0 时,由(1)知,f(x)有极大值也是最大值 f(1+ )=ln( ) ∵f(x)≤0 恒成立 ∴只需 f(x)的最大值 ln( )≤0 解得 k≥1 综上,k∈[1,+∞) (3)取 k=1,由(2)知 f(x)=ln(x﹣1)﹣x+2≤0 恒成立 即 ln(x﹣1)≤x﹣2 所以 令 x=n+1,则 ∴ =

即 点评: 解决函数的最值、单调性、极值及解决不等式恒成立求参数的范围以及证明不等式 恒成立问题,常用的工具是导数,是属于综合题.


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