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指数、对数及幂函数知识点小结及习题


指数函数、对数函数及幂函数
Ⅰ.指数与指数函数
1.指数运算法则: (1) a r a s ? a r ? s ; (2) ? a r ? ? a rs ; (3) ? ab ? ? a r b r ;
s
r
m

(4) a n ? n a m ;

(5) a

?

m n

?

1
n

a

m

a, n奇 (6) n a n ? ? ?

?| a |, n偶

2. 指数函数: 指数函数 0<a<1 a>1





表达式 定义域 值 域

y ? ax

R

(0, ??)

过定点 单调性 【基础过关】
类型一:指数运算的计算题

(0,1)

单调递减

单调递增

此类习题应牢记指数函数的基本运算法则, 注意分数指数幂与根式的互化, 在根式运算或根
我们关注每一位学生! -1-

式与指数式混合运算时,将根式化为指数运算较为方便 1、 5 ? 2 6 的平方根是______________________ 2、 已知 a ? 2 ,a
n

mn

? 16 , 则 m 的值为??????????????????(
B. 4 C. a
3

)
6

A. 3

D. a

b ? (a ? b)
3、 化简 A、 a ? a ? b

1 ? a 2 ? 2ab ? b2 b?a
B、 a ? b ? a
4 1

的结果是????????????( D、 2b ? b ? a ? a

)

C、 b ? a ? a

a 3 ? 8a 3 b
3 4、已知 a ? 0.001 ,求: a ? 2 ab ? 4b 2 3 2 3

? (1 ? 2 3

b ) a

=_________________
3 2 ? 3 2

5、 已知 x ? x 6、若 x ? x
y

?1

? 3, 求 (1)x ? x =________________ (2)x ? x =_________________

1 2

?

1 2

?y

? 2 2 ,其中 x ? 1, y ? 0 ,则 x y ? x ? y ? ______________

类型二:指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域, 注意到负数没有偶次方根; 此外应牢记指数函数 的图像及性质 函数 y ? a
f ( x)

的定义域与 f ( x) 的定义域相同

1、若集合 A={

x y ? 31? x

1

},B={

x s ? 2 x ? 1}, 则A ? B ?

____________________

1? x 2、如果函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [1, 2] ,那么函数 y ? f (2 ) 的定义域是________

1 3、下列函数式中,满足 f(x+1)= 2 f(x)的是?????????????????(

)

1 ? x ? 1? A、 2
我们关注每一位学生!

B、

x?

1 4

C、 2

x

D、

-2-

2? x
3 1? 1 ?2 a ,则实数 a 的取值范围是????????????( 4、 若 4a ?4a ? 6 2

)

A、 a

?2

B、 a

?

1 2

C、 a

?

1 2

D、任意实数

类型三:复合函数 1 形如 a ○
2x

? b ? a x ? c ? 0 的方程,换元法求解

2 函数 y ? a f ( x ) 的定义域与 f ( x) 的定义域相同 ○ 3 先确定 f ( x) 的值域,再根据指数函数的值域,单调性,可确定 y ? a ○
f ( x)

的值域

涉及复合函数的单调性问题, 应弄清函数是由那些基本函数符合得到的, 求出复合函数的定 义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间,注意“同增异减”

(1)外函数是二次函数,内函数是指数函数
1、求函数 y ? 2 3 ? 9 ? 1 的值域
x x

2、 当 ?1 ? x ? 0 时, 函数 y ? 2

x?2

? 3 4x 的最大值是______________,最小值是__________

1 1 x ? x ?1 x ? [-3,2] 3、已知 ,求 f(x)= 4 2 的最大值是______________,最小值是______________

(2)外函数是指数函数,内函数是二次函数
1 ?2 x2 ?8 x ?1 1、函数 y=( 3 ) (-3 ? x ? 1 )的值域是______________,单调递增区间是__________ 1 x2 ? 2 x ? 5 2、已知函数 y=( 3 ) ,求其单调区间_____________________及值域_______________

类型四:奇偶性的判定 利用奇偶性的定义,注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分

1、函数

f ( x) ? (1 ? a x ) 2 ? a ? x 是?????????????????(
B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数

)

A、奇函数
我们关注每一位学生!

-3-

ax ?1 (a ? 1) x 2、已知函数 f(x)= a ? 1

(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明 f(x)是 R 上的增函数。

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) 2x ? 1 3、设 a ? R,f(x)= ,试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数

类型五:分类讨论思想在指数函数中的应用
1、已知 a

? 0 ,且 a ? 1 ,解不等式 a x

2

?6

? a5 x

2、已知 f(x)= a g(x).

2 x2 ?3 x ?1

,g(x)= a

x2 ? 2 x ?5

(a>0 且 a≠1),确定 x 的取值范围, x ? 1 使得 f(x)>

Ⅱ.对数与对数函数
1、对数的运算:

1、互化: ab ? N ? b ? loga N

我们关注每一位学生! -4-

2、恒等: a loga N ? N 3、换底: 推论 1 推论 3
loga b ? logc b logc a

loga b ?

1 logb a

推论 2 loga b ? logb c ? loga c

log a m b n ?

n log a b ( m ? 0) m
log a M ? N lo g ? aM la N og

4、 loga MN ? loga M ? loga N 5、 loga M n ? n ? loga M
2 对数函数:

对数函 数

0<a<1

a>1





表达式 定义域 值 域 过定点 单调性

y ? loga x

(0, ??)
R

(1,0) 单调递减 单调递增

【基础过关】
类型一:对数的基本运算 此类习题应牢记对数函数的基本运算法则,注意 1 常用对数:将以 10 为底的对数叫常用对数,记为 lg N ○ 2 自然对数:以 e=2.71828?为底的对数叫自然对数,记为 ln N ○ 3 零和负数没有对数,且 loga 1 ? 0, loga a ? 1 ○

1 1 2 ? lg 0.81 ? lg 0.008 2 3 1、(1)、 lg 2 ? lg 9

(2)、

?lg 2?2 ? lg5 ? lg 20

我们关注每一位学生! -5-

(3)、 ?log4 3 ? log8 3? ? (log3 5 ? log9 5) ? (log5 2 ? log25 2)

2、已知

loga x ? 2 , logb x ? 3 , logc x ? 6 求 logabc x 的值.

类型二:指数,对数的混合运算 指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? loga x

(a ? 0, a ? 1) 的图象与性质

函数 a 图

y=ax 0<a<1
y

y=logax a>1
y

0<a<1
y
x=1 y=1 a O x a 1

a>1
y
x=1 a x O 1 x

1

y=1 a

1

象 定义域 值 域 过定点 y值区域

O

1

x

O

1

(- ? ,+? ) (0,+ ? ) (0,1),即 x =0时, y=1. x<0时,y>1; x<0时 ,0<y<1; x>0时,0<y<1. x>0时, y>1. 在(- ? ,+? )内是 在(- ? ,+? )内是 减函数 增函数

(0,+ ? ) (- ? ,+? ) (1,0),即 x=1时, y=0. 0<x<1时,y>0; x>1时, y<0. 在 (0,+ ? )内是 减函数 0<x<1时,y<0; x>1时, y>0. 在 (0,+ ? )内是 增函数

单调性

1、若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, 则 a3m?2 n ? _________ 2、若 a ? 1 且 0 ? b ? 1 ,则不等式 a
logb ( x ?3)

? 1 的解集为________

1 1 3、已知 3a ? 5b ? A, 且 ? ? 2 ,则 A 的值是________ a b
我们关注每一位学生! -6-

4、已知 3a ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是…………………………( A、 a ? 2 【能力提升】
类型三:对数函数的定义域与解析式 注意复合函数的定义域的求法,形如 y ? f ?g ( x)? 的复合函数可分解为基本初等函数

)

B、5a ? 2

C、3a ? (1 ? a)2

D、 3a ? a 2

y ? f (u), u ? g ( x) ,分别确定这两个函数的定义域。
y? 1 log 1 (2 ? x)
2

1、函数

的定义域是____________

5 f (log 3 ( x ? )) ? 2 x ? 2 2 2、已知 ,则 f (0) =___________
6 3、已知 f ( x ) ? log 2 x ,那么 f (8) =____________

类型四:对数函数的值域 注意复合函数的值域的求法,形如 y ? f ?g ( x)? 的复合函数可分解为基本初等函数

y ? f (u), u ? g ( x) ,分别确定这两个函数的定义域和值域。
y ? log 1 ( x2 ? 6 x ?17)
1. 函数
2

的值域是________

1 f ( x ) ? log x [ a , 2 a ] a 2. 设 a ? 1 ,函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 2 ,则

a =___________
3. 函数

f ( x) ? a x ? log a ( x ?1) 在 [0,1] 上最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为

_______________ 类型五:对数函数的单调性、奇偶性 1、函数 的单调递增区间是_______ 区间是_______________

y ? lg x

y ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 2)
; 函数
2

的递增

2、下列各函数中在(0,1)上为增函数的是……………………………………………(

)

y ? log 1 ( x ? 1)
A.
2

B.

y ? log 2 x 2 ? 1

C.

y ? log 3

1 x

y ? log 1 ( x2 ? 4x ? 3)
D.
3

我们关注每一位学生! -7-

? 2 ? y ? lg ? ? 1? 1 ? x ? ? 的图像关于………………………………………………………( 3、函数

)

A、 x 轴对称 4、函数

B、 y 轴对称

C、原点对称

D、直线 y ? x 对称 (奇、偶)函数。

f ( x) ? lg

?

x2 ? 1 ? x
x ?x

?是

5、已知函数

f ( x) ?

10 ? 10 10 x ? 10? x ,判断 f ( x ) 的奇偶性和单调性。

类型六:对数中的不等关系 比较同底数的两个对数值的大小;比较两个同真数的对数值的大小

1、设 a ? log0.7 0.8b ? log2 0.9c ? log4 5 ,则 a, b, c 的大小关系是_______
2、设 a ? lg e, b ? (lg e) , c ? lg e, 则 a , b, c 的大小关系是_______
2

3、如果 4、 如果 A. 5、已知 6、若

log
m

3 ?1 5 ,那么 m 的取值范围是______

loga 3 ? logb 3 ? 0 ,那么 a , b 的关系是…………………………………………(
0 ? a ? b ?1
B. 1 ? a ? b C. 0 ? b ? a ? 1 D. 1 ? b ? a

)

loga ( x2 ? 1) ? loga (2x ? 4) ? 0 ,则不等式解集为_______

f ( x) ? loga x 在 [2, ??) 上恒有 f ( x) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是________

类型七:其它题型(奇偶性,对数方程,抽象函数)

2 f ( x) ? lg( ? a) 1? x 1、设 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是________
2、已知集合 其中 c = ______. 3、若

A ? ? x log 2 x ? 2? , B ? (??, a)
x

,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c, ??) ,

x1

满足 2x+ 2 =5,

x2

满足 2x+2 log2( x ? 1) =5,

x1 x 2
+

=………………………(

)

5 A. 2
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B.3

7 C. 2

D.4
-8-

幂函数
一、幂函数图象的作法: 根据幂函数 y ? x k 的定义域、奇偶性,先作出其在第一象限的图象,再根据其奇偶性作 出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为 y ? x 或 y ? x
n m ? n m

( m 、n ? N ,m ? 2 ,m 、

?

n 互质)的形式,先化为 y ? m x n ,或 y ?

1
m

x

n

的形式,再确定函数的定义域、奇偶性、

单调性等性质,从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型: (共有 11 种情况)

k

k??

n ?0 m

0?k ?

n ?1 m

k?

n ?1 m

y

y

y

奇函数
-1
-1

-1

m、 n 都是
奇数

o 1
-

1 3

x

o 1
3

x
y=x
5

o 1
5

x
y=x
3

y=x

y

y

y

偶函数
-1 -1 -1

m 是奇数,

o 1
2 -

x
y=x
3

o 1
2

x
y=x
3

o 1
4

x
y=x
3

n 是偶数

我们关注每一位学生! -9-

非奇非偶 函数
-1

y

y

y

-1

-1

m 是偶数,

o 1
1 -

x
y=x
2

o 1
1

x
y=x
2

o 1
3

x
y=x
2

n 是奇数

三、幂函数图象特征: (1)当 k ? 0 时,在第一象限内,函数单调递减,图象为 凹的曲线; (2)当 k ? 0 时,图象是一条不包括点(0,1)的直线; (3)当 0 ? k ? 1 时,在第一象限内,图象单调递增,图 象为凸的曲线; (4)当 k ? 1 时,图象是一、三象限的角平分线;
y

(5)当 k ? 1 时,在第一象限内,图象单调递增,图象为凹的曲线. y=x o(x? 0) (6)幂函数图象不经过第四象限;
k (7)当 k ? 0 时,幂函数 y ? x 的图象一定经过点(0,0)和点(1,1)

y=x
-1

o o 1 x

k (8)如果幂函数 y ? x 的图象与坐标轴没有交点,则 k ? 0 ;

(9)如果幂函数

y?x

( ?1) p

n m

( m 、 n 、 p 都是正整数,且 m 、 n 互质)的图象不经过

第三象限,则 p 可取任意正整数, m 、 n 中一个为奇数,另一个为偶数. 四、幂函数典型问题: 1.概念问题:

【例 1】1.已知幂函数
我们关注每一位学生!

,当

时为减函数,则幂

- 10 -

函数

__________. 的图象同时通过点(0,0)

【变式】当 m 为何值时,幂函数 y=(m2-5m+6) 和(1,1).

2.定义域问题:
1 ? 3 5

【例 2】函数 y ? x 2 ? x

? ( x ? 2) 0 的定义域为

【变式】.求函数 y=

的定义域.

3.单调性问题:
? 3 5 ? 3 5

【例 3】已知 (a ? 3)

? (1 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围.

【变式 1】讨论函数

的单调性.

【变式 2】讨论函数

的定义域、奇偶性和单调性.

我们关注每一位学生! - 11 -

4.图象问题: 【例 4】若函数 y ? x m
2

?2m?3

(m ? Z ) 的图象与坐标轴没有交点,且关于 y 轴对称,求函数

f ( x) 的解析式.

【例 5】利用函数的图象确定不等式的解集:

(1) 不等式 x ?

2 ( x ? 1) 的解集为 3
1

(2) 不等式 x ? x 3 的解集为
4

说明:先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象,并确定交点的坐标,从而能较容易地 写出不等式的解集 5.函数图象的平移、对称、翻折变换问题: 说明:很多较复杂函数的图象,都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得 到

y?

1 1 k k ; y ? ? ; y ? ( k ? 0, k ? 1) ; y ? ? ( k ? 0, k ? 1) x x x x

【例 6】作出下列函数的大致图象,并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.

(1) y ?

x?2 x ?1 4 , x ? (??,1) ? [2,5) x ?1

(2) y ?

x ?1 2? x

(3) y ?

(4) y ?

2x ? 1 , x ? [0,??) x ?1
? 1 3

(5) y ?

1 1? x

(6) y ? ( x ? 2)

【例 7】已知幂函数 y ? f ( x) 是偶函数,且在区间 (0,??) 上单调递增,若
我们关注每一位学生! - 12 -

f (a 2 ? 1) ? f (2a 2 ? a ? 1) ,则实数 a 的取值范围是

.

6.比较幂函数值大小
【例 8】 .比较





的大小.

【例 9】 .已知幂函数







在第一

象限内的图象分别是 C1,C2,C3,C4,(如图),则 n1,n2,n3,n4, 0,1 的大小关系?

我们关注每一位学生! - 13 -


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