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空间点直线平面之间的位置关系


2.1

空间点、直线、平 面之间的位置关系

主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素
D′ A′ D A B 面无厚薄 点、线、面 B′ C′ 点无大小

/>
C

线无粗细



直线

可无限延伸的

平面

平面是可无限延展的

平面的表示
平面的符号表示

?

1. 希腊字母:

平面?, 平面?,平面?

平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面?和平面?相交于一条直线a ? a ? 平面??平面?=直线a 被遮住的部分画虚线

a

平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合

P ? l, A ?? “点P在直线l上”,“点A在平面α内”
P ? l , A ?? “点P在直线l 外”,“点A在平面α外”
直线 l 在平面α内,或者说平面α经过直线 l 直线 l 在平面α外.

l ? ?,l ? ?

平面的基本性质
思考1:如何让一条直线在一个平面内?

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.

平面经过这条直线 集合符号表示

A .

B .

α

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ?
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据

平面的基本性质
思考2:经过两点可以确定一条直线, 那么经过几个点可以确定一个平面呢?

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面. “不共线的三点确定一个平面”
?

集合符号表示

. A . B . C

已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面?,使得A、B、C?? 作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内

平面的基本性质
思考3:如果两个平面有一个公共点, 那么还会有其它公共点吗?如果有这些 公共点有什么特征?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l

?
P
l

作用:判断两个平面位 置关系的基本依据

?

例题
例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.

a
α A l

α a l b β

B β

P

(1)

(2)

解:1) A??,B??,???=l,a??=A,a??=B 2) a??,b??,???=l,a?l=P, b?l=P, a?b=P

2.1.2

空间中直线与直线 之间的位置关系

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?

两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.

a
b

a

b

异面直线的图示

两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? A. 空间中既不平行又不相交的两条直线;

B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线;
C. 分别在不同平面内的两条直线;

D. 不在同一个平面内的两条直线;
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系: 相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原 为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对? A D A C G D
H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD

B

H

B

G
C

F

答:3对

直线AB 和直线HG

初中我们学过, 在同一平面内,平行于同一直线的两 条直线平行。 如果把同一平面改为在空间中的两条 直线,该命题成立吗?

平行直线
观察 如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D' C'

A'
D A 答:平行

B'

C B

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.

如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题 已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面? D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

平行直线
例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:连接BD,

因为 EH是 ?ABD 的中位线,
所以 同理
1 EH // BD ,且 EH ? BD 2 1 FG // BD ,且 FG ? BD 2

A E

H
D G C

因为 EH // FG ,且 EH ? FG B 所以 四边形EFGH 是平行四边形.

F

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形 A H

1 1 因为EF ? AC, EH ? BD 2 2 且AC ? BD 所以EF ? EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B

E
D F G C

等角定理 思考1 在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个 角相等或互补”.空间中,结论是否仍然成立?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′ 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B

D

A
∠ADC=∠A′D′C′

D

A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

异面直线所成的角
思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角,常 取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这 个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条 异面直线的位置关系呢?

a

a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线 a? // a, ?b? // b ,把 a? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角.
b

?

O

a? a

异面直线所成的角
探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b

? ?? ? 0, ? ? 2?

?

a

如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为:a?b

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A?B?C ?D?中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线? 如: AD与BB?, A?D?与BB? 等.
D?

C?
B? C

(2)如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直,那么, 另一条直线是否也与这条直线 A B 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A?

不一定,如上图的长方体中 AB ? BB?, BC ? BB?, 直线AB与BC相交,

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . (1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线 BA?和 CC ?的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, D? C? 棱 AD, ? A? DC , ? C C?, ? D D?, D?C?, ?B?C? 所在 B? 的直线分别与直线 BA?是异面直线. D C ?B?BA? 为 (2)由 BB? // CC ? 可知, A B ?B?BA? ? 45?, 异面直线 BA?与 CC ?的夹角, 所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 45? . BC , ? CD , ? DA , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A? (3)直线 AB, ? 分别与直线 AA? 垂直.

练习1
在如图所示的长方体中,AB= 3 ,且

AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

30

O

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系.
(2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系

直线与平面
思考?
1)一支铅笔所在的直线 与一个作业本所在的平面, 可能有几种关系?

直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

a ?

记为:a??

直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点

a

?

A

记为:a??=A

直线与平面

(3)直线与平面平行
a

没有公共点

?

记为:a//?

直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a?? a//?
a a

a??=A 或

A ?

?

主要内容
直线与平面的位置关系

直线在平面内
直线与平面相交

直线与平面平行

直线在平面 外

直线与平面
例1. 下列命题中正确的个数是 ( B ) 1)若直线 l 上有无数个点不在平面?内,则 l//? 2) 若直线 l 与平面?平行,则 l 与平面?内的任意 一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 4)若直线 l与平面?平行,则 l与平面?内的任意一 条直线都没有公共点.
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

主要内容
直线与平面的位置关系

直线在平面内
直线与平面相交

直线与平面平行

直线在平面 外

2.1.4

平面与平面之间的 位置关系

平面与平面之间的位置关系

思考 (1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示
? ? ? ? m

?//?

???=m

探究1

? ,直线a、b,且?//?,a??,b??, 已知平面? 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系?
a ? b

?

答:平行或异面

探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.

b β γ
α
相交于一条交线

β

l

a

b

l a

γ

α

三条交线

三条交线

探究3

? 一个平面可以把空间分成几个部分? ? 两个平面可以把空间分成几个部分?

? 三个平面可以把空间分成几个部分?

小结
平面与平面的位置关系 平面与平面相交

平面与平面平行


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