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成才之路人教A版数学必修2-2.3.1


第二章
一、选择题 1.下列命题中,正确的有( )

2.3

2.3.1

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直. ②过直线 l 外一点 P,有且仅有一个平面与 l 垂直. ③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面. ④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面. ⑤过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内. A.2 个 C.4 个 [答案] C [解析] ②③④⑤正确,①中当这无数条直线都平行时,结论不成立. 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的六个面中,与 AA1 垂直的面的个数是( A.1 C.3 [答案] B [解析] 仅有平面 AC 和平面 A1C1 与直线 AA1 垂直. 3.直线 a 与平面 α 所成的角为 50° ,直线 b∥a,则直线 b 与平面 α 所成的角等于( A.40° C.90° [答案] B [解析] 根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知 b 与 α 所成的角也是 50° . 4.(2013~2014· 江西新余一中高一月考)给出下列三个命题: ①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直; ②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直; ③一条直线在平面内的射影是一点,则这条直线和这个平面垂直. 其中正确的个数是( A.0 C.2 [答案] C [解析] ①中三条直线不一定存在两条直线相交,因此直线不一定与平面垂直;②中直 线与平面所成角必为直角,因此直线与平面垂直;③根据射影定义知正确.故选 C. 5.如图,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( ) ) B.1 D.3 B.50° D.150° ) B.2 D.6 ) B.3 个 D.5 个

A.平行 C.垂直但不相交 [答案] C

B.垂直相交 D.相交但不垂直

[解析] 因为 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平面 ABCD,则 BD⊥MC.因为 AC∩MC=C,所以 BD⊥平面 AMC,又 MA?平面 AMC,所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直 线 BD 不共面,因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交. 6.(09· 四川文)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形, PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° [答案] D [解析] 设 AB 长为 1,由 PA=2AB 得 PA=2, 又 ABCDEF 是正六边形,所以 AD 长也为 2, 又 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AD, 所以△PAD 为直角三角形. ∵PA=AD,∴∠PDA=45° , ∴PD 与平面 ABC 所成的角为 45° ,故选 D. 二、填空题 7.空间四边形 ABCD 的四条边相等,则对角线 AC 与 BD 的位置关系为________. [答案] 垂直 [解析] 取 AC 中点 E,连 BE、DE. 由 AB=BC 得 AC⊥BE. 同理 AC⊥DE,所以 AC⊥面 BED. 因此,AC⊥BD. 8.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC⊥BD,则平行四边形 ABCD 一定是________. [答案] 菱形 [解析] 由于 PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. )

又 PC⊥BD,且 PC?平面 PAC,PA?平面 PAC,PC∩PA=P,所以 BD⊥平面 PAC. 又 AC?平面 PAC,所以 BD⊥AC. 又四边形 ABCD 是平行四边形,所以四边形 ABCD 是菱形. 9 9. (2013· 山东)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直, 体积为 , 底面是边长为 3 4 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为________. [答案] π 3

[分析] 作出 PA 与平面 ABC 所成的角,再求解即可. [解析] 设三棱柱的高为 h,则 3 9 ×( 3)2×h= ,解得 h= 3.设三棱柱中底面 ABC 的 4 4

2 3 中心为 Q,则 PQ= 3,AQ= × × 3=1.在 Rt△APQ 中,∠PAQ 为直线 PA 与平面 ABC 3 2 π 所成的角,且 tan∠PAQ= 3,所以∠PAQ= . 3 三、解答题 10.如图所示,已知 PA 垂直于⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一 点,过点 A 作 AE⊥PC 于点 E.求证:AE⊥平面 PBC.

[分析] 只要证 AE 垂直于平面 PBC 内两相交直线即可,已知 AE⊥PC,再证 AE⊥BC, 则可证 AE 垂直于平面 PBC. [证明] ∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC. 而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 又∵AE?平面 PAC,∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE,且 PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC. [点评] 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是:①在这个平面 内找两条直线,使它和已知直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交直线;③根据判 定定理得出结论. 11.S 为直角△ABC 所在平面外一点,且 SA=SB=SC.D 为斜边 AC 的中点, (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若直角边 BA=BC,求证:BD⊥平面 SAC. [证明] (1)D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点

?BD=AD?

SB=SA ??△SDB≌△SDA?∠SDA=∠SDB
? ? ? ? ?

? ? ? ? SD=SD ? ? ??SD⊥BD? SA=SC ? ?SD⊥AC ? D是AC的中点 ? ? SD⊥AC,BD∩AC=D
?

?SD⊥平面 ABC.

?2?BA=BC

? ? ??BD⊥AC D是AC的中点? ?

BD⊥SD?已证? SD∩AC=D

? ? ??BD⊥平面 SAC. ? ?

12.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=3 3,BC=3,沿对角线 BD 将△BCD 折起,使 点 C 移到 C′点,且 C′点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上.

(1)求证:BC′⊥平面 AC′D; (2)求直线 AB 与平面 BC′D 所成角的正弦值. [解析] (1)证明:∵点 C′在平面 ABD 上的射影 O 在 AB 上, ∴C′O⊥平面 ABD,∴C′O⊥DA. 又∵DA⊥AB,AB∩C′O=O, ∴DA⊥平面 ABC′,∴DA⊥BC′. 又∵BC⊥CD,∴BC′⊥C′D. ∵DA∩C′D=D, ∴BC′⊥平面 AC′D. (2)如图所示,过 A 作 AE⊥C′D,垂足为 E.

∵BC′⊥平面 AC′D, ∴BC′⊥AE. 又∵BC′∩C′D=C′, ∴AE⊥平面 BC′D. 连接 BE,则 BE 是 AB 在平面 BC′D 上的射影, 故∠ABE 就是直线 AB 与平面 BC′D 所成的角. ∵DA⊥AB,DA⊥BC′, ∴DA⊥平面 ABC′,∴DA⊥AC′. 在 Rt△AC′B 中, AC′= AB2-BC2=3 2. 在 Rt△BC′D 中,C′D=CD=3 3. 在 Rt△C′AD 中,由面积关系,得 AC′· AD 3 2×3 AE= = = 6. C′D 3 3 ∴在 Rt△AEB 中, AE 6 2 sin∠ABE= = = , AB 3 3 3 即直线 AB 与平面 BC′D 所成角的正弦值为 2 . 3


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