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湖北省沙市中学2015-2016学年高二数学下学期第四次半月考试题 文


2015—2016 学年下学期高二年级 第四次半月考文数试卷
考试时间:2016 年 5 月 13 日 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.1 B. i
2

1 ? 2i 的虚部是( i
C. ?1


) D. ?i )

2.命题:“ ?x ? R , x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是(
2 A. ?x ? R , x ? x ? 2 ? 0 2 C. ?x ? R , x ? x ? 2 ? 0

2 B. ?x ? R , x ? x ? 2 ? 0 2 D. ?x ? R , x ? x ? 2 ? 0

3.已知点 M ( ? ,? ) ,则 M 点关于极点对称的点 N 的极坐标是(

) D. ( ?,2? ? ? )

(?,? +?) A.

?? ) B. ( ?,

C. ( ?,? ? ? ) )

4.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

5.若双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 和椭圆 ? ? 1(m ? n ? 0) 有共同的焦点 F1 , F2 , P 是两 a b m n
) C.

条曲线的一个交点,则 PF 1 ? PF2 ? ( A. m ? a
2 2

B. m ? a

1 (m ? a) 2

D. m ? a

6. 已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积 等于( A. 9? ) B. 8? C. 4? ) D. ?

7.函数 f ( x) ? 3 ? x ln x 的单调递减区间是( A. ( , e)

1 e

B. (0, )

1 e

C. (??, )

1 e

D. ( , ??)

1 e

1

8.设 f ( x ) , g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ? 0 , 且 g (3) ? 0 .则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( A. (?3, 0) ? (3, ??) C. (??, ?3) ? (3, ??) 9.若函数 f ( x ) ? ? A. ?1 , ? ?? )

B. (?3, 0) ? (0,3) D. (??, ?3) ? (0,3) )

1 2 ( 1, ? ?) x ? a ln x 在区间 上是减函数,则实数 a 的取值范围为( 2 1? ( 1, ? ?) ( -? , 1) B. C. ? ??, D.

10. 设P , Q 分别为圆 x2 ? ( y ? 6)2 ? 2 和椭圆 B. 46 ? 2

x2 ? y 2 ? 1上的点, 则P , ( Q 两点间的最大距离是 10
D. 6 2



A. 5 2

C. 7 ? 2

11. 已知 F1 、F2 为双曲线 C: 轴的距离为( A. ) B.
2

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在曲线 C 上,∠ F1 PF2 = 600 ,则 P 4

到x

5 5

15 5

C.

2 15 5

D.

15 20

12.已知 F 为抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点, M 为其上一点,且 MF ? 2 p ,则直线 MF 的斜率为 ( A. ? ).

3 3

B. ?

3 3

C. ? 3

D. ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.极坐标方程 ? cos(? ? 14.已知

?
6

) ? 1 的直角坐标方程是


a ? 1 ? bi ,其中 a , b 是实数, i 是虚数单位,则 a ? bi ? 1? i 2 15.已知函数 f ( x) ? x ? f ?(2) ? 5x, 则 f ?(2) ? .
16.观察下 列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第 n 个等式为

.
2

三、解答题(本小题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 17.(10 分)已知 p :“直线 x ? y ? m ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 相交”;

q :“方程 x 2 ? x ? m ? 4 ? 0 的两根异号”.若 p ? q 为真, ? p 为真,求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能 耗 y (吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 ⑴请画出上表数据的散点图;

? ?a ?; ⑵请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx
⑶已知该厂技改前 100 吨甲 产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程,预 测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) (附: b ?
^

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

, a ? y ? b x ,其中 x , y 为样本平均值)

^

^

19.(12 分)已知 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx ? c 在 x ? 2 处有极值,其图象在 x ? 1 处的切线与直线

6 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行.
(1)求函数的单调区间; (2)若 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 1 ? 4c 恒成立,求实数 c 的取值范围.
2

3

20. (12 分)已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 2 2 ,离心率 e ? ,过右焦点 F 的直线 l 2 a b 2

交椭圆于 P , Q 两点. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 1 时,求 ?POQ 的面积; (3)若以 OP , OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线 l 的方程.

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 21. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) 。在极坐标系(与 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程 为 ? ? 2 5 sin ? 。 (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A , B ,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 PA ? PB .

22.(12分)设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ? ( x) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值.

4

高二下第四次半月考文科数学参考答案 CBACD CBDCD BB 13. 3x ? y ? 2 ? 0 14. 15. .

?

5 3
2

16.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n﹣2)=(2n﹣1)


2 2

17.解:若命题 p 是真命题:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相交”,则 ; 2 若命题 q 是真命题:“方程 x ﹣x+m﹣4=0 的两根异号”,则 m﹣4<0,解得 m<4. 若 p∨q 为真,¬p 为真, 则 p 为假命题,q 为真命题. ∴ .

<1,解得 1﹣

∴实数 m 的取值范围是 或 . 18. 解: (1)由题设所给数据, 可得散点图如图所示. ??4 (2 )由对照数据,计算得:



?x
i ?1

4

2 i

=86,

3+4+5+6 =4.5(吨), 4 2.5+3+4+4.5 y= =3.5(吨). 4

x=

已知

?x
i ?1
4 i ?1 4

4

i

yi =66.5,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

?= b

? x y ? 4x ? y
i i

?x
i ?1

2 i

? 4x2

66.5-4×4.5×3.5 = =0.7, 2 86-4×4.5

? x =3.5-0.7×4.5=0.35. ? = y -b a
? =0.7x+0.35 因此,所求的线性回归方程为 y

.??9 分

(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为: 90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤) . ??12 分 2 19.解: (1)由题意:f′(x)=3x +6ax+3b 直线 6x+2y+5=0 的斜率为﹣3; 由已知
2

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

所以由 f′(x)=3x ﹣6x>0 得心 x<0 或 x>2;
5

所以当 x∈(0,2)时,函数单调递减; 当 x∈(﹣∞,0) , (2,+∞)时,函数单调递增.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)由(1)知,函数在 x∈(1,2)时单调递减,在 x∈(2,3)时单调递增; 2 所以函数在区间[1,3]有最小值 f(2)=c﹣4 要使 x∈[1,3],f(x)>1﹣4c 恒成立 只需 1﹣4c <c﹣4 恒成立,所以 c< 故 c 的取值范围是{c|c
2

或 c>1.

或 c>1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

20.解: (Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为



∵长轴长 2a= ∴ 所求椭圆方程为

,离心率 e= , ;



(Ⅱ)∵直线 l 过椭圆右焦点 F(1,0) ,且斜率为 1, ∴直线 l 的方程为 y=x﹣1, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由 3y +2y﹣1=0, 解得 ∴ , .
2

得,

(Ⅲ)①当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x=1, 此时∠POQ 小于 90°,OP,OQ 为邻边的平行四边形不可能是矩形. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) . 由
4

可得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0.
2 2 2

2

2

2

2

因为△=16k ﹣4(1+2k ) (2k ﹣2)=8(k +1)>0, 所以 因为 y1=k(x1﹣1) ,y2=k(x2﹣1) , 所以 .
6



因为以 OP,OQ 为邻边的平行四边形是矩形, 所以 kOP?kOQ=﹣1, 因为 ,

所以 x1x2+y1y2= 所以 .

得 k =2.

2

所以所求直线的方程为



21. (1)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根, 所以 ? 1

? ?t ? t2 ? 3 2 ? ?t1t2 ? 4

, 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得:

PA ? PB ? |t1|+|t 2 |=t1 ? t2 ? 3 2 .
22 .

7

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 设此零点 为 α ,则 α ∈(1,2). 当 x∈(0,α )时,g′(x)<0; 当 x∈(α ,+∞)时,g′(x)>0 所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α ). 又由 g′(α )=0,可得 e =α +2,所以 g(α )=α +1∈(2,3). 由于①式等价于 k<g(α ),故整数 k 的最大值为 2.
α

8


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