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人教A版数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》教案精讲


3.2.2 函数模型的应用实例 [读教材·填要点] 函数模型的应用 (1)用已知的函数模型刻画实际问题; (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预 测,其基本过程如图所示: [小问题·大思维] 1.在实际问题中常用的函数模型如下表所示,你能写出它们对应的解析式吗? 提示: 函数模型 正比例函数模型 解析式 k f(x)= (k 为常数,k≠0) x 一次函数模型 二次函数模型 f(x)=abx+c(a,b,c 为常数,a≠0, b>0,b≠1) 对数函数模型 幂函数模型 提示:f(x)=kx(k 为常数,k≠0) 反比例函数模型 f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,a>0,a≠1) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠1) 2.在利用上述函数模型解决问题时,函数的定义域除了使函数解析式有意义之外,还 需注意什么? 提示:实际问题有意义.例如:“非负”,“取整”,“上、下限”等. 已知函数模型的应用题 [例 1] 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西 红柿市场售价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关 系用图 2 的抛物线段表示. (1)写出图 1 表示的市场售价与上市时间的函数关系式 P=f(t),写出图 2 表示的种植 成本与上市时间的函数关系式 Q=g(t); (2)规定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/10 kg,时间单位:天) [自主解答] (1) 由 图 1 可 得 , 市 场 售 价 与 时 间 的 函 数 关 系 为 f(t) = 2 ?300-t,0≤t≤200, ? ? ? ?2t-300,200<t≤300. 由图 2 可得,种植成本与时间的函数关系为 g(t)= 1 2 (t-150) +100,0≤t≤300. 200 (2)设 t 时刻的纯收益为 h(t),则由题意,得 h(t)= f(t)-g(t),即 1 1 175 - t + t+ ,0≤t≤200, ? ? 200 2 2 h(t)=? 1 7 1 025 - t + t- ? ? 200 2 2 ,200<t≤300. 2 2 当 0≤t≤200 时,配方整理,得 h(t)=- 1 2 (t-50) +100, 200 所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理,得 h(t)=- 1 2 (t-350) +100, 200 所以,当 t=300 时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值 87.5. 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50, 即 从二月一日开始的第 50 天,上市的西红柿纯收益最大. ————— ————————————— 求解函数应用问题的思路和方法,我们可以用示意图表示为: 分析、联想 图表中的第一步: 实际问题 抽象、转化 ― ― → 建立函数模型 ,这一步应从审题开始,通过 分析和抽象找出题设与结论的数学关系, 进一步转化为函数问题来求解, 即建立合理的数学 数学 模型,因此,这一步称之为数学转化;第二步: 建立函

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