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《随机事件的概率》参考课件1


3.1.1 随机事件的概率

1名数学家=10个师
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学家 的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历. 1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜 艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航 舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额. 为此,有位美国海军将领专门去请教了几

位数学家,数 学家们运用概率论分析后分析,舰队与敌潜艇相遇是一个随 机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律 性.一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多 (为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的 概率就越大. 美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集 合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇 迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%, 大大减少了损失,保证了物资的及时供应.

在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象. 如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类: 一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件 下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为 确定性现象;

另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条
件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象

称为随机现象.

下面各事件的发生与否,各有什么特点? (1)导体通电时发热; (2)李强射击一次,中靶; (3)抛一石块,下落; (4)在常温下,焊锡熔化;

(5)抛一枚硬币,正面朝上;
(6)在标准大气压下且温度低于时,冰融化.

一、必然事件、不可能事件、随机事件 必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.

比如:“(1)导体通电时发热”,“(3)抛一石
块,下落”都是必然事件. 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件. 比如:“(4)在常温下,铁能熔化”,“(6)在 标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”,都是不 可能事件.

随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的

事件. 比如“(2)李强射击一次,不中靶”,“(5)
掷一枚硬币,出现反面”都是随机事件. 注意:要搞清楚什么是随机事件的条件和结果。 事件的结果是相应于“一定条件而言的。因此, 要弄清某一随机事件必须明确何为事件发生的条件, 何为在此条件下产生的结果。

例1 指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪 些是必然事件?哪些是随机事件? (1)若 a、b、c 都是实数,则 a?bc? ? ?ab?c ;

(2)没有空气,动物也能生存下去;
(3)在标准大气压下,水在温度 90 ?c 时沸腾; (4)直线 y ? k ?x ? 1? 过定点?? 1,0? ; (5)某一天内电话收到的呼叫次数为0;

(6)一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一 个黑球,从中任意摸出1个球则为白球.

二、概率的定义及其理解

要了解随机事件发生的可能性大小,最直
接的方法就是试验。

试验: 做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时 哪一个 面朝上 第一步 邻桌两人合作,做10次掷硬币试验,记录 正面向上的次数和比例。 思考:试验结果与其他同学比较,你的结果和他们 一致吗?为什么? 第二步 由组长把本小组同学的试验结果统计一下, 填入下表。
组次 试验总次数 正面朝上总次数 正面朝上的比例

思考:与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致 吗?为什么?
第三步 用横轴为实验结果,仅取两个值:1(正面) 和0(反面),纵轴为实验结果出现的频率,画出你个 人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么?

第四步

把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.

第五步:请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件 发生的规律性。

思考:这个条形图有什么特点?如果同学们重复一次上 面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗?为 什么?

结论:

随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但 是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频 率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上。

随机事件及其概率
例如,历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复 试验,结果如下表 :
抛掷次数 (m ) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 正面向上次数 (频数 n ) 1061 2048 6019 12012 14984 36124

m 频率( ) n
0.5181 0.5069 0.5016 05005 0.4996 0.5011

问题4:你能举出生活中一些与概率有关的例子吗?

某批乒乓球产品质量检查结果表:
抽取球数

m

50

100

200

500

1000

2000

优等品数
优等品频率

n

45

92

194

470

954

1902

m n

0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951

接近于常数0.95,在它附近摆动。

m 当抽查的球数很多时,抽到优等品的频率 n

3.频数,频率的定义 在相同条件S下重复N次试验,观察某一事件A 是否出现,称N次试验中事件A出现的次数n为事件 A出现的频数,称事件A出现的比例f(A)=n/N为事件 A出现的频率。 4.频率的取值范围是什么?

5.概率的定义: 对于给定的随机事件A,如果随着实验次数的 增加,事件A发生的频率f(A)稳定在某个常数上, 把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为 A的概率。

6. 概率与频率的关系:

(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,
频率会越来越接近概率。

(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定。
(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次

试验无关。
7.知道事件概率的必要性 概率是用来度量随机事件发生可能性大小的量, 知道事件的概率可以为我们决策提供依据。

注意以下几点:
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的
重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常 数才叫做事件

A 的概率;

(3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值; (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小; (5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为 0.因此 0 ? P? A? ? 1 .

例2 对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数

据如下: 抽取 台数 优等 品数 50
40

100
92

200
192

300
285

500
478

1000
954

(1)计算表中优等品的各个频率; (2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少?

知识小结
1.随机事件的概念 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫 做随机事件. 2.随机事件的概率的统计定义 在大量重复进行同一试验时,事件 就把这个常数叫做事件 A的概率.
? 3 . 概 率 的 性 质 :0 ? P

A 发生的

m 频率 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时 n

? A? ? 1


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