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2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(1)


2014 年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(1)
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) ? ? 1、函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ?cos x ?3 的最小值等于__________ a11 a12 a13 a14 6 6 a21 a22 a23 a24 2、若圆(x?a)2+(y?2)2=4 被直线 x?y+3=0 截得的弦长为 2 3,则 a ? ____________ 3、已知方程 32 x ? 3x ?1 ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围是___________ 31 32 33 34 a41 a42 a43 a44 4、将 25 个数排成五行五列:已知第一行成等差数列,而每一列都成等比数列, 且五个公比全相等. 若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 , 则 a11 ? a55 的值为__________
a51 a52 a53 a54 a a a a a15 a25 a35 a45 a55

π 9 3 5、在△ABC 中,A= , AP ? 2 AB ? AC ,四边形 ABPC 的面积为 ,则 AB ? AC =__________ 3 2 → 6、已知|→ a |=3|→ b |=6,→ a· b =-6,实数 x、y 满足 x+2y=1,则|x→ a +y→ b |的最小值为_________

? ?x?y≥0 7、已知实数 x、y 满足?x+y?2≥0 ,则 x ? 2 y ? 6 ? 3 y 的最大值是___________ ? ?2x?y?4≤0 2 2 2 8、实数 x, y 满足 5x +4y2=10x,则 x ? y 的最大值为___________
9、 一个直角梯形的上底比下底短, 该梯形分别绕它的上底、 下底、 直角腰旋转一周所得旋转体的体积分别为 112π、 80π 和 156π,则该梯形的周长为__________ 10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) π 11、设函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 1 . ⑴求函数 f ( x) 在[0, ]上的最大值与最小值; 2 bcosc ⑵若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求 的值. a

12、给定两个数列 ?xn ? , ? yn ? 满足 x0 ? y0 ? 1 , xn ?

xn ?1 2 ? xn ?1

(n ? 1) , yn ?
n

2 yn ?1 1 ? 2 yn ?1

(n ? 1) .

证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 yn ? x j .

13、直线 L1:y=x,与直线 L2:y=kx(k>0),点 P(m, m)是 L1 上的动点,以 P 为圆心的圆切直线 L2 于点 A, 过点 P 作垂直于 x 轴的直线交 L2 于 B. (1)当|OB|=5|BA|时,求直线 L2 的方程; (2)若圆 P 的半径为 1,△OPA 的面积为 1,求 L2 的方程.

14、如图,△ABC 的内心为 I, M , N 分别是 AB, AC 的中点, AB ? AC ,△ABC 的内切圆 ? I 分别与边 BC, CA 相切于 D, E . 证明: MN , BI , DE 三线共点. A

M

N

F

I B D

E C


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