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公开课几何概型教案


几何概型
一、教学目标:
1、 知识与技能:

(1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: (3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是 几何概型;
2、 过程与方法:

(1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学 知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的 良好习惯。
3、 情感态度与价值观:

本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、重点与难点:
1、几何概型的概念、公式及应用; 2、几何概率模型中基本事件的确定,几何“度量”的选择;将实际问题转化为 几何概型.

三、教学过程
复习回顾 同学们,咱们前面学习了古典概型,现在回顾一下古典概型的特点及求概率 的公式? 特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 (有限性); (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性).

(一) 问题引入
(1)若 x 的取值是区间[1,4]中的整数,任取一个 x 的值,求“取得值不小于 2”的概率。 (古典概型) (2)若 x 的取值是区间[1,4]中的实数,任取一个 x 的值,求“取得值不小于 2”的概率。 (几何概型)

自主探究 试验 1、取一根长度为 3 米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段 的长度都不小于 1 米的概率有多大? 试验 2、取一个长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,那么豆子 落入圆内的概率有多大? 试验 3、一只蜜蜂在一个棱长为 60cm 的正方体笼子里飞,那么蜜蜂距笼边大 于 10cm 的概率有多大?

学生试验完成下表 试验 1 一个基本 事件 所有基本
线段 AB(除两端 正方体笼子(棱长 正方形( 4 a )面
2

试验 2
豆子落在正方形(2a ×2a)内某一点

试验 3
取正方体笼子内某 一点

提炼概括
在对应的整个图形上取一点 (随机地) 对应的所有点形成一个可度 量的区域 D

取到线段 AB 上 某一点

事件形成
外)

60)体积 正方体笼子内小正

的集合 随机事件 A 对应的 集合 随机事件 A 发生的 概率 (二)概念形成 1、几何概型的概念: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2、古典概型与几何概型的区别和联系是什么? 古典概型 几何概型 所有的试验结果 有限个(n 个) 无限个 每个试验结果的发生 等可能 等可能 概率的计算 P(A)=m/n ?
?
P ( A) ? 圆的面积 正方形的面积
2

线段 CD

内切圆( ? a )面
2

区域 D 内的某个指定区域 d 方体(棱长 40)体 积

?a
4a

2

?

?
4

403 8 P( A) = 3 = 60 27

P( A) =

构成事件A的区域 全部结果构成的区域

3、 几何概型的概率计算公式: (三)解决问题,提升能力
1.取一个长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆心的概 率。 解析:p=0 如果随机事件所在区域是一个单点,则它出现的概率为 0,但它不是不可能事;如果随机事 件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但它不是必然事件。

2.在等腰 RtΔ ABC 中,∠C 为直角顶点. (1)在线段 AB 上任取一点 P,求使得 AP<AC 的概率。 (2) 在∠ACB 内作射线 CP, 交线段 AB 于点 P,求使得 AP<AC 的概率。

B P

C

A

解析: (1)在线段 AB 上找一点 M,使得 AM=AC. 记“AP<AC”为事件 A,设 AC=BC=X,在线段 AB 上任取一点 P, 所有基本事件构成的区域长度为:AB= 2 X 事件 A 构成的区域长度为:AM=AC=X ∴ P( A) ?

X 2 ? 2 2X

答:AP<AC 的概率为

2 。 2

180? ? 45? ? 67.5? (2)解: 在线段 AB 上找一点 M,使得 AM=AC,则 ?ACM= 2
记“AP<AC”为事件 A.在∠ACB 内作射线 CP, 所有基本事件构成的区域角度为:∠ACB=90? 事件 A 构成的区域角度为: ?ACM= ∴ ?ACM=
B M

180? ? 45? ? 67.5? 2

67.5 3 ? 90 4
A

3 C 。 4 此例首先让学生独立思考,然后教师再画龙点睛的分析并求解. 解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤: 1 判断该概率模型是不是几何概型. 2 如果是,注意几何度量的选择. 3 把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式. 4 根据几何概型计算公式求出概率. (四)课堂训练
答:AP<AC 的概率为

1.在区间 (0, 10) 内的所有实数中随机取一个实数 a, 则这个实数 a>7 的概率为 . . 2.在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探, 钻到油层面的概率 . 3.在 1000mL 的水中有一个草履虫, 现从中任取出 2mL 水样放到显微镜下观察, 发现草履虫 的概率.

(五)课堂小结(学生小结)

1、学到了什么?
2、掌握了哪些方法? 3、应该注意些什么问题?

(六)作业 p142 (七)课后思考 约会问题:小明和小雪约了星期天下午在体育场见面,由于最近在修路,可 能会堵车,小明说他大概 4:00—5:00 会到,小雪说她可 5:00—6:00 到,他们约 定先到的等半小时如果另一个还没来就可以先走了, 假设他们在自己估计时间内 到达的可能性相等,问他们两个能相遇的概率有多大? 习题 3.3 A组 1、2、3


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