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【数学】2.3.2《离散型随机变量的方差(一)》课件(新人教A版选修2-3)


高二数学 选修2-3

2.3.2离散型随机变 量的方差

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

X P

x1

p1

p2

x2

· · · xi · · · pi

·

· · xn · · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

2、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b

3、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p



EX ? p

4、如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

5、如果随机变量X服从几何分布,则 E? ? 1

EX ? np

p

一组数据的方差的概念:设 在一组数据 x1 , x 2 ,…, x n 中, 各数据与它们的平均值 x 得差的
2 2 ( x ? x ) ( x ? x ) 平方分别是 1 , 2 ,…,

( xn ? x )

2

,那么
n

S2 ?

1 n

2 2 ( x ? x ) ( x ? x ) [ 1 + 2

+…+ ( x

? x )2

]

叫做这组数据的方差

二、互动探索
某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1, 2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是多少?
1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? 10 4 3 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10
X P 1
4 10

2
3 10

3
2 10

4
1 10

某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1, 2,2,2,3,3,4;则这组数据的方差是多少? 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 1 2 2 2 2 s ? [( x1 ? x ) ? ? ? ( xi ? x ) ? ? ? ( xn ? x ) ] n
1 s ? [(1 ? 2)2 ? (1 ? 2)2 ? (1 ? 2) 2 ? (1 ? 2)2 ? ( 2 ? 2)2 10 权数 2 2 2 2 2 ? ( 2 ? 2)加权平 ? ( 2 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? ( 4 ? 2) ] ? 1
2

4 3 2 1 均 2 2 2 2 s ? ? (1 ? 2) ? ? ( 2 ? 2) ? ? ( 3 ? 2) ? ? (4 ? 2) 10 10 10 10
2

?1

三、离散型随机变量取值的方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称
n

x1

p1

p2

x2

· · · xi · · · pi

· · · xn · · · pn

DX ? ( x1 ? EX )2 p1 ? ?? ( xi ? EX )2 pi ? ?? ( xn ? EX )2 pn

? ? ( xi ? EX ) pi 为随机变量X的方差。
2

称 ?X ?

i ?1

DX 为随机变量X的标准差。

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。

特点:
1、反映所有样本数据与样本平均值的偏离程度; 2、反映所有样本数据的稳定与波动程度; 3、反映所有样本数据的集中与分散程度;

四、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求DX和σX。 解: EX ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? ( 2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? ( 3 ? 2)2 ? 0.2 ? (4 ? 2)2 ? 0.1 ? 1.2 30 ?X ? DX ? 1.2 ? 5

五、方差的应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

问题:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢?

练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息:
甲单位不同职位月工资 1200 X1/元 获得相应职位的概率P1 0.4 1400 0.3 1400 1600 1800 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资 1000 X2/元

1800 2200

获得相应职位的概率P2

0.4

0.3

0.2

0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 ? 1400 , EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。

五、几个常用公式:

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

相关练习:

1 1、 已 知 ? ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知 X~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 , p ?0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占1%, 现从中任意地连续取出200件商品,设其次 品数为X,求EX和DX。 2,1.98

设事件 A 发生的概率为 p,证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
证明:因为ξ 所有可能取的值为 0, 1 且 P (ξ =0 ) =1-p,P(ξ =1)=p, 所以,Eξ =0×(1-p)+1×p=p 则
王新敞
奎屯 新疆

D ξ = ( 0-p ) 2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
2

1 ? p ? (1 ? p) ? ?? ? ? 2 4 ? ?

六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)


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