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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测46 椭圆]


课时限时检测(四十六) 椭
(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 基础 1,3,7 椭圆的定义及标准方程 2,4,8 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) x2 y2 1.2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6-m A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 【解析】 若 + =1 表示椭圆, m-2 6-m m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ? ?m-2≠6-m. 考查知识点及角度 题号及难度 中档 10 5,6,9 )



稍难

11,12

∴2<m<6 且 m≠4. x2 y2 故 2<m<6 是 + =1 表示椭圆的必要不充分条件. m-2 6-m 【答案】 B 2.椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 y2 【解析】 将原方程变形为 x2+ =1, 1 m 1 2 2 由题意知 a = ,b =1, m 1 ∴a= ,b=1. m 1 1 ∴ =2,∴m= . m 4 【答案】 A 3.(2014· 广东宝安中学等六校联考)定义:关于 x 的不等式|x-A|<B 的解集叫 A 的 B 邻 x2 y2 域.已知 a+b-2 的 a+b 邻域为区间(-2,8),其中 a、b 分别为椭圆 2+ 2=1 的长半轴和 a b 短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线 y2=4 5x 的焦点重合,则椭圆的方程为( ) 2 2 2 2 x y x y A. + =1 B. + =1 8 3 9 4 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 9 8 16 9 【解析】 由已知可得,|x-(a+b-2)|<a+b, 即-2<x<2a+2b-2, 即 2a+2b-2=8,①

又椭圆的一焦点与抛物线 y2=4 5x 的焦点重合, 可知椭圆的一焦点为( 5,0), 所以 a2-b2=5,② 联立①②解得 a=3,b=2. x2 y2 所以此椭圆的方程为 + =1. 9 4 【答案】 B x2 → → 4.已知椭圆 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且MF1· MF2=0, 4 则点 M 到 y 轴的距离为( ) 2 3 2 6 A. B. 3 3 3 C. D. 3 3 【解析】 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). 设 M(x,y), → → 则MF1· MF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=0, 整理得 x2+y2=3.① x2 又因为点 M 在椭圆上,故 +y2=1, 4 2 x y2=1- .② 4 3 2 6 将②代入①,得 x2=2,解得 x=± . 4 3 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 . 3 【答案】 B x2 y2 5.(2013· 大纲全国卷)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且 4 3 直线 PA2 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) 1 3? 3 3? A.? B.? ?2,4? ?8,4? 1 ? 3 ? C.? D.? ?2,1? ?4,1? 【解析】 由题意可得 A1(-2,0),A2(2,0),当 PA2 的斜率为-2 时,直线 PA2 的方程为 26 y=-2(x-2),代入椭圆方程,消去 y 化简得 19x2-64x+52=0,解得 x=2 或 x= .由点 P 19 26 24 3 ? 在椭圆上得点 P? ?19,19?,此时直线 PA1 的斜率 k=8.同理,当直线 PA2 的斜率为-1 时,直 线 PA2 方程为 y=-(x-2),代入椭圆方程,消去 y 化简得 7x2-16x+4=0,解得 x=2 或 x 2 12? 2 3 = .由点 P 在椭圆上得点 P? ?7, 7 ?,此时直线 PA1 的斜率 k=4.数形结合可知,直线 PA1 斜 7 3 3? 率的取值范围是? ?8,4?. 【答案】 B x2 y2 6.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的 a b 直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 45 36 36 27 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 27 18 18 9

【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x2 y2 1 1 ① 2+ 2=1, a b 则 2 2 x2 y2 + =1. ② a2 b2

? ? ?

?x1+x2??x1-x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②得 =- . a2 b2 y1-y2 b2?x1+x2? ∴ =- 2 . x1-x2 a ?y1+y2? b2 ∵x1+x2=2,y1+y2=-2,∴kAB= 2. a 2 0-?-1? 1 b 1 而 kAB= = ,∴ 2= ,∴a2=2b2, 2 a 2 3-1 ∴c2=a2-b2=b2=9,∴b=c=3,a=3 2, x2 y2 ∴E 的方程为 + =1. 18 9 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. 2 x2 y2 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),因为 AB 过 F1 且 A、B 在椭圆上,则△ a b ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16. c 2 ∴a=4.由 e= = ,得 c=2 2,则 b2=8, a 2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 16 8 x2 y2 【答案】 + =1 16 8 8.已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2 =30° ,则椭圆的离心率为________. 【解析】 在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 π sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= , 2 设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3, 2c 3 ∴离心率 e= = . 2a 3 3 【答案】 3 x2 y2 9.(2014· 东营模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分 a b 别是 F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 【解析】 ∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, ∴|F1F2|2=|AF1||F1B| ∴4c2=(a-c)(a+c) c 5 ∴a2=5c2,∴ = . a 5 c 5 ∴e= = a 5

5 5 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 【答案】

图 8-5-2 y2 x2 10.(10 分)如图 8-5-2 所示,点 P 是椭圆 + =1 上的一点,F1 和 F2 是焦点,且∠ 5 4 F1PF2=30° ,求△F1PF2 的面积. y2 x2 【解】 在椭圆 + =1 中,a= 5,b=2. 5 4 ∴c= a2-b2=1. 又∵点 P 在椭圆上, ∴|PF1|+|PF2|=2 5.① 由余弦定理知 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 30° =|F1F2|2=(2c)2=4.② ①式两边平方得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· |PF2|=20.③ ③-②得(2+ 3)|PF1|· |PF2|=16. ∴|PF1|· |PF2|=16(2- 3). 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|sin 30° =8-4 3. 2 2 2 x y 11.(12 分)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交 a b → → 于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,AF=2FB. (1)求椭圆 C 的离心率; 15 (2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程. 4 【解】 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2.

? ?y= 3?x-c?, 联立?x2 y2 ?a2+b2=1, ?
得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0, - 3b2?c+2a? 解得 y1= , 3a2+b2 - 3b2?c-2a? y2= , 3a2+b2 → → 因为AF=2FB, 所以-y1=2y2. 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 即 = 2· , 3a2+b2 3a2+b2

c 2 得离心率 e= = . a 3 1 1+ |y2-y1|, 3 2 4 3ab2 15 所以 · 2 2= . 4 3 3a +b (2)因为|AB|= c 2 5 由 = 得 b= a. a 3 3 5 15 所以 a= ,得 a=3,b= 5. 4 4 x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

x2 12.(13 分)(2013· 北京高考)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y2=1 相交于 A,C 两 4 点,O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形. 【解】 (1)因为四边形 OABC 为菱形, 所以 AC 与 OB 互相垂直平分. 1? 所以可设 A? ?t,2?, t2 1 代入椭圆方程得 + =1, 4 4 即 t=± 3. 所以|AC|=2 3. (2)证明:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0. 2 2 ? ?x +4y =4, ? 由 消去 y 并整理得 ?y=kx+m ? (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- =k· +m= , 2, 2 2 2 1+4k 1+4k2 4km m 所以 AC 的中点为 M?-1+4k2,1+4k2?. ? ? 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0, 1 所以直线 OB 的斜率为- . 4k ?- 1 ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. 因为 k· ? 4k? 所以四边形 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.


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