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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测47 双曲线]


课时限时检测(四十七) 双曲线
(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 基础 稍难 1,5 双曲线的定义及应用 4,7 11 双曲线的标准方程 2,3 8,9,10 双曲线的几何性质 12 直线与双曲线的位置关系 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) y2 1.设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且|PF1|=5, 9 则|PF2|=( ) A.5 B.3 C.7 D.3 或 7 【解析】 由双曲线方程知 a=1,由双曲线的定义知: ||PF1|-|PF2||=2,又|PF1|=5,∴|PF2|=7 或 3. 【答案】 D x2 y2 5 2.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的 a b 2 渐近线方程为( ) 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=± x 2 5 c 5 【解析】 由 e= ,得 = , 2 a 2 5 1 ∴c= a,b= c2-a2= a. 2 2 x2 y2 b 而 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x, a b a 1 ∴所求渐近线方程为 y=± x. 2 【答案】 C x2 3.(2013· 福建高考)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( ) 4 2 4 2 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 1 【解析】 双曲线的渐近线为直线 y=± x,即 x± 2y=0,顶点为(± 2,0),∴所求距离为 2 |± 2± 0| 2 5 d= = . 5 5 【答案】 C π x2 y2 y2 x2 4.(2013· 湖北高考)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 4 sin θ cos θ cos θ sin θ 的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 【解析】 双曲线 C1 和 C2 的实半轴长分别是 sin θ 和 cos θ,虚半轴长分别是 cos θ 和 sin θ,则半焦距 c 都等于 1,故选 D. 考查知识点及角度 题号及难度 中档 6

y2 5.设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△ PF1F2 的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48 4 【解析】 由已知|PF1|= |PF2|,代入到|PF1|-|PF2|=2 中得|PF2|=6,故|PF1|=8.又双 3 1 曲线的焦距|F1F2|=10,所以△PF1F2 为直角三角形,所求的面积为 ×8×6=24. 2 【答案】 C 6.已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° , 则|PF1|· |PF2|等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 设点 P 在双曲线 C 的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, 在△PF1F2 中,由余弦定理知 4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos 60° , 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|· |PF2|=8, 又|PF1|2+|PF2|2-|PF1|· |PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· |PF2|=8, 2 ∴|PF1|· |PF2|=8-2 =4. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) x2 y2 7.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点 a b 的距离为 1,则双曲线 C 的方程为________. c 【解析】 在双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1,又 e= =2,两式联立得 a a =1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3. y2 ∴方程为 x2- =1. 3 2 2 y 【答案】 x - =1 3 x2 y2 8.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于双曲线的一条渐近线 9 16 的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. x2 y2 4 【解析】 ∵ - =1,∴A(3,0),F(5,0),渐近线方程为 y=± x. 9 16 3 4 x2 y2 17 设 l:y= (x-5),与 - =1 联立可求得 xB= , 3 9 16 5 32 ∴yB=- , 15 1 1 32 1 32 32 ∴S△AFB= |AF||yB|= ×(c-a)× = ×2× = . 2 2 15 2 15 15 32 【答案】 15 x2 y2 9.(2013· 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上 a b 一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. 【解析】 设点 P 在双曲线右支上,F1 为左焦点,F2 为右焦点,则|PF1|-|PF2|=2a. 又|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. ∵在双曲线中 c>a, ∴在△PF1F2 中|PF2|所对的角最小且为 30° . 2 2 在△PF1F2 中,由余弦定理得|PF2| =|PF1| +|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 30° ,即 4a2=16a2 +4c2-8 3ac,即 3a2+c2-2 3ac=0.∴( 3a-c)2=0,

【答案】 D

c ∴c= 3a,即 = 3.∴e= 3. a 【答案】 3 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) x2 y2 10.(10 分)设双曲线 2- 2=1(b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且 a b 3 原点到直线 l 的距离为 c,求双曲线的离心率. 4 【解】 由 l 过两点(a,0)、(0,b),得 l 的方程为 bx+ay-ab=0. 3 ab 3 由原点到 l 的距离为 c,得 2 2= 4 c. 4 a +b 将 b= c2-a2代入,平方后整理,得 c ?4 ? c ?2 3? ?a? -16?a? +16=0, 即 3e4-16e2+16=0,又 e>1, 2 3 故 e= 或 e=2. 3 a2+b2 c b2 又∵0<a<b,∴e= = = 1+ 2> 2, a a a 2 3 ∴应舍去 e= ,故所求离心率 e=2. 3 11.(12 分)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若 此圆过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程. 【解】 切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x± y=0. 设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ=80. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 4 12.(13 分)已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为 y= x,右 3 焦点 F(5,0),双曲线的实轴为 A1A2,P 为双曲线上一点(不同于 A1,A2),直线 A1P,A2P 分 9 别与直线 l:x= 交于 M,N 两点 5 (1)求双曲线的方程; → → (2)FM· FN是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由. 4 【解】 (1)由双曲线的渐近线方程为 y= x, 3 b 4 焦点 F(5,0)可得: = ,c=5,又 c2=a2+b2 a 3 x2 y2 2 2 ∴a =9,b =16,∴双曲线方程为 - =1. 9 16 9 ? (2)A1(-3,0),A2(3,0),F(5,0),设 P(x,y),M? ?5,y0?, → → 24 ? ∴A1P=(x+3,y),A1M? ? 5 ,y0?. 24 因为 A1,P,M 三点共线,∴(x+3)y0- y=0, 5 24y ∴y0= , 5x+15

9 24y 9 6y ∴M?5,5x+15?,同理 N?5,-5x-15?,

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16 24y 16 6y → → ∴FM=?- 5 ,5x+15?,FN=?- 5 ,-5x-15?,
2 y2 16 → → 256 144 y FM· FN= - ·2 ,∵ 2 = , 25 25 x -9 x -9 9 → → ∴FM· FN=0, → → 故FM· FN为定值 0.

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