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难点01 利用导数探求参数的取值范围


难点01 利用导数探求参数的取值范围

利用导数探求参数的取值范围是近几年高考 的重点和热点,由于导数是高等数学的基础,对于 中学生来说运算量大、 思维密度强、 解题方法灵活、 综合性高等特点,成为每年高考的压轴题,因此也 是学生感到头疼和茫然的一类型题,究其原因,其 一,基础知识掌握不够到位(导数的几何意义、导 数的应用) ,其二,没有形成具体的解题格式和套 路,从而导致学生产生恐惧心理,成为考试一大障 碍,本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总 结.

1. 与函数零点有关的参数范围问题 [来源 : 学科网 ZXXK]
函数 f ( x) 的零点,即 f ( x) ? 0 的根,亦即函数 f ( x) 的图象与 x 轴 交点横坐标,与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数 研究函数的单调区间和极值点, 并结合特殊点, 从而判断函数 的大致图像,讨论其图象与 x 轴的位置关系,进而确定参数的 取值范围.

2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题
函数 y ?
f ( x) 在点

x ? x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是相应曲线在点
'

( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,即 k ? f ( x0 ) ,此类试题先求导数,然后

转化为关于自变量 x 的函数,通过求值域,从而得到切线斜率
0

k 的取值范围,而切线斜率又与其倾斜角有关,所以又会转化

为求切斜角范围问题.

例 2. 若点 P 是函数

y ? e x ? e ? x ? 3 x( ?

1 1 ?x? ) 2 2

图象上任意一

点,且在点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的最小值是 ( ) B. 34?
'

A. 56?

C. ? 4

D. ? 6

思路分析:先求导函数 f ( x ) 的值域,即切线斜率范 围,而 k ? tan ? ( 0 ? ? ? ? ) ,再结合 y ? tan x 的图象求 ? 的最小值.

3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题
含参数的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立的处理方法:① y ? f ( x) 的图象永远落在 y ? g ( x) 图象的上方; ②构造函数 法,一般构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , F (x) ? 0 ;③参变分离法, 将不等式等价变形为 a ? h( x) ,或 a ? h( x) ,进而转化 为求 函数 h( x) 的最值.
min

3.1 参变分离法

将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量 分离开,转化为一个已知函数的最值问题处理,关 键是搞清楚哪个是变量哪个是参数,一般遵循“知 道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数” 的原则.

a 例 3.已知函数 f ( x) ? x ? ? ln x, a ? 0 .[来源:Zxxk.Com] x

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) ? x ? x2 在(1,+ ? )恒成立,求实数 a 的取值范围.

思路分析: (I)首先应明确函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,其次求导数,讨论①当 ? ? 1 ? 4a ? 0 时, ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 时,导函数值的正负,求得函数的单调性.

a 3 (II)注意到 f ( x) ? x? x ,即 x ? ? ln x ? 0 ,构造函数 g ( x) ? x ? x ln x ,研究其单调性 x
2
2

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

g ( x) ? x3 ? x ln x 在 [1, ??) 为增函数,从而由 g (x) ? g (1) ? 1 ,得到 0 ? a ? 1 .

在 [1, ??) 上, h '( x) ? 0 ,得 h(x) ? h(1) ? 2 ,即 g '( x) ? 0 ,故 g ( x) ? x3 ? x ln x 在 [1, ??) 为增函数,

3.2 构造函数法[来源:Z§

xx§ k.Com]

参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问 题,但是有些函数解析式复杂,利用导数知识无法 完成, 或者是不易参变分离, 故可利用构造函数法.

例 4.已知函数 f ( x ) ? (1)求

1 2 x ? ax ? ( a ? 1) ln x,a ? 1 . 2

f ( x ) 的单调区间;[来源:学科网

ZXXK] 恒成立,求 a 的取值

(2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , 范围.

f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??)

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? 思路分析: (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . f ( x) ? x ? a ? x x x
'

注意

分以下情况讨论导函数值的正负,确定函数的单调区间. a ? 2 , 1 ? a ? 2 , a ? 2 等. (2) 由题意得 f ( x) ? g ( x) ? 则 F (x) ? x ?
'

1 2 1 x ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立.引入函 F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? a ln x ? 2 x , 2 2

a 1 2 ?2? 2 a ?2?0 , 得到 F(x) 在区间[e,? ?) 上是增函数, 从而只需 F(e) ? e ? a ? 2e x 2

[来

1 ? 0 ,求得 a ? 2e ? e 2 . 2

4.与函数单调区间有关的参数范围问题
若函数 f ( x) 在某一个区间 D 可导, f ' ( x) ? 0 ?函数 f ( x) 在区间 D 单调递 增; f ' ( x) ? 0 ? 函数 f ( x) 在区间 D 单调递减. 若函数
f ( x) 在某一个区间 D 可导,且函数 f ( x) 在区间 D

单调递增

? f ' ( x) ? 0 恒成立;函数 f ( x) 在区间 D 单调递减 ? f ' ( x) ? 0 恒成立.

4.1 参数在函数解析式中
转化为 f ' ( x) ? 0 恒成立和 f ' ( x) ? 0 恒成立问题后, 利用恒成立问题的解 题方法处理

例 5. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x . (2)若函数 g ( x) ? 2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
x

(1)若函数 f ( x) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值;

思路分析: (Ⅰ)先求导数,再由函数 f ( x) 的图象在 x=2 处的切线的斜
2 2a ? 2 x ? ,由函数 g ( x) 为 [1, 2] 上 x2 x 的单调减函数,得出 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,构造 h( x) ? 1 ? x 2 ,判断 h( x) x

率为 1,令 f '(2) ? 1求解; (2)求出 g '( x) ? ?

在 [1, 2] 上为减函数,从而求解.

点评:该题考察导数的几何意义和导数的应用等基础知识,考察基本的运算能力,属于容易题,在第二问 中,转化为恒成立问题,利用参变分离的方法求参数的范围是解题的关键.

4.2 参数在定义域中
函数解析式确定, 故可先确定其单调区间, 然后让所给定义域区间 包含在单调区间中. 例 6. 已知二次函数 h( x)=ax +bx+c(其中 c<3),其导函数 y ? 象如图,f(x)=6lnx+h(x). ①求 f(x)在 x=3 处的切线斜率; ②若 f(x)在区间(m,m+ 1 )上是单调函数,求实数 m 的取值范围;
2
2

?( x) 的图

③若对任意 k∈[-1,1], 函数 y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数 y=f(x) 图象的上方,求 c 的取值范围.

思路分析:①根据图像求出一次导函数的解析式,那么函数 f ( x) 的导 函数就很容易得到了,所求的切线斜率即是其所对应的的导函数值; ②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间,使得所 给的区间在任何一个单调区间内即可求出 未知数的取值范 围; ③由已 知条件先导出和 k 有关的不等式, 将 k 放在不等式的一边, 那么就有 k 的 最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值,才能保证不等式恒 成立,由函数的单调性和导数的关系求最值即可.

5. 与 逻 辑 有 关 的 参 数 范 围 问 题 [ 来 源:Z§xx§k.Com]
新课程增加了全称量词和特称量 词应用这一知识点, 并且在考试卷 中屡屡出现,使得恒成立问题 花样推陈出新,别有一番风味,解决的 关键是弄懂量词的特定含义.

例7. 已知函数 f ( x) ? 1 ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ) 设 g ( x) ? x2 ? 2x , 若对任意 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] , 使得 f ( x1 ) < g( x2 ) , 求 a 的取值范围. 思路分析: (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间,常利用 f ? x ? 的导数来判断,本题 由 f ?( x) ? (ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) ,由于 a 的值不确定,需对 a 的取值范围进行分
x

类讨论, 从而求出 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 对任意 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] , 使得 f ( x1 ) < g( x2 ) ,等价于在 ? 0, 2? 上有 f ? x?max ? g ? x ?max ,只需分别求出 f ? x ? 与 g ? x ? 的最大值,利用 f ? x?max ? g ? x ?max ,就能求出 a 的取值范围.

综合上述五种类型,利用导数求解含参问题时,首先具备必要的基础 知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、 最值求法等) ,其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧,比如参变 分离法,分类讨论思想和数形结合思想等,涉及极值和最值问题时, 一般情况下先求导函数,然后观察能否分解因式,若能则比较根的大

小,并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间, 判断函数大致图像;若不能分解因式,则考虑二次求导,研究函数是 否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕,关键在于通过 解题不断摸索解题思路,形成一种解题格式和套路.


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