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2.5等比数列的前n项和1


等比数列的前n项和

棋盘与麦粒
传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明 者,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦 粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里 放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此 类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放 的麦粒数的2倍,直到第64个格子。请给我足够的 粮食来实现上述要求”。国王觉得并不

难,就欣然 同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的 要求吗?

分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的 麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里 的麦粒数依次是

1,2,2 ,2 ,?,2 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是

2

3

63

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?1
2 3 62 63 64
19 ? 10 2 ? 1 超过了1 .84 说明: ,假定千粒麦子的质量为 10g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王 是不可能同意发明者的要求。

64

全球年小麦产量达6亿吨

等比数列的前n项和公式的推导 设等比数列 a1, a2 , a3 ,?, an ,? 它的前n项和是 Sn = a1 + a2 + a3 + ?+ an

等比数列的前n项和 na1 , ( q=1)

Sn =

{

a1 - an q a1 1 - q ? , 1- q 1- q

?

n

?

(q≠1)

例题分析
例1:求下列等比数列前8项的和 (1 )

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

1 , q ? 0. (2) a1 ? 27, a9 ? 243

练习1:求相应的等比数列 {an }的前n项和

(1) : a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; 1 1 (2) : a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? . 3 90

练习2、等比数列{an}中,a1=3,an=96, sn=189,求n的值
解: 由

a1 ? an q 3 ? 96q sn ? ? ? 189 1? q 1? q
得: 所以:

q=2

n=6

注:在a1,q,n,an,sn中,知三求二

练习3:已知等差数列{an }, a2 ? 9, a5 ? 21.
(1)、求 {an }的通项公式;

(2)、令bn

?2

an

{bn }的前n项和 S n . ,求数列
3 n

4.求数列:x,2x ,3x ,?, nx 的前n项和 2 n (2)、(a ?1) ? (a ? 2) ? ?? (a ? n).

2

小结
1.已知 a1 , n, q 则

Sn ?

{

na 1,
a1 ? 1 ? q n , 1? q

?

?

( q=1). (q≠1). ( q=1). (q≠1).

已知 a1 , an , q 则

Sn ?

{

na 1,
a1 ? an q , 1? q

2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。

作业:
P69 习题2.5A组 1,2,3,4(2)(3)


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