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极坐标系教案


《极坐标系》概念
教学目标 知识与技能
1.认识极坐标,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置; 2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别,能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法
1.通过观看图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性; 2.运用类比方法,经历极坐标的建立过程; 3.通过学生动手描点,得出极坐标的多值性。

情感、态度与价值观
1.培养学生的类比思想,培养探究,研讨,综合自学应用能力; 2.培养学生分析问题,解决问题的能力。

重点难点
重点:能用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标的互化。 难点:理解用极坐标刻画点的位置的基本思想;点与极坐标之间的对应关系的认识

教学过程 一、新课导入
1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系。有时用别的坐 标系比较方便。还有什么坐标系呢?我们先看下面的问题: (投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。 ) 2.在以上问题中,位置是用什么方法确定的? 3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置:如台风预报、地震预报、测量、 航空、航海等。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。

二、探究新知
问题:类比建立平面直角坐标系的过程,怎样建立极坐标系? (学生思考,抽生回答,并补充,最后教师总结。 )

1.极坐标系的概念 (1)概念:
在平面内取一个定点 O,叫做极点; 自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;
-1-

再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这 样就建立了一个极坐标系。

(2)点的极坐标的规定:
如图:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? ;有序实数 对( ? , ? )叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) ; 一般地,不做特殊说明时,我们认为 ? ? 0,? ? R 。

(3)极坐标系下点与它的极坐标的对应情况:

? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 问题:在同一极坐标系中描点 ? 4, ?, ? 4, ? 2? ?, ? 4, ? 4? ?, ? 4, - 2? ? ? 6?? 6 ?? 6 ?? 6 ?

这些点有什么关系?你能从中体会直角坐标与极坐标在刻画点的位置时的区别吗? 从以下方面探究: ① 平面上一点的极坐标是否唯一? ② 若不惟一,那有多少种表示方法? ③ 坐标不惟一是由谁引起的? ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 结论: 1)给定(?,?) ,在极坐标平面内确定惟一的一点 M; 2)给定平面上一点 M,但却有无数个极坐标与之对应;原因在于:极角有无数个; 3)一般地,极坐标(ρ ,θ )与(ρ ,θ +2kπ ) 表示同一个点; 4)特别地,极点 O 的坐标为(0,θ )(θ ∈R); 5)如果限定ρ >0,0≤θ <2π , 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。

2.极坐标和直角坐标的互化
问题:平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示,那么,这两种 y 坐标之间有什么关系呢?(学生思考,并回答)

M

(1)互化的前提:
①极点与直角坐标的原点重合; ②极轴与 X 轴的正方向重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位。

?

?

y

O
(2)互化公式:
设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(?,?)。 则极坐标与直角坐标的互化公式为:

x

x

-2-

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?

? ? 2 ? x2 ? y2 ? y ? t an ? ? ,x ? 0 ? x ? , 。

三、运用新知(投影)
学生自学课本例题,教师解决有关问题。

四、巩固练习(投影)
1.写出图中各点的极坐标; 2.在极坐标系中描出下列各点;
? ? 2? ? 4? ? 5? ? 5? ? ? ? ? D? 5, ?,E ? 3 , ?,F ? 6, ? 3 ? 6 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? A?3,0 ? ,B (6,2? ),C 3 , ,
E D

C B O A X

F

G

3.直角坐标与极坐标的互化: ? ? , (1)已知点的极坐标,求它的直角坐标。 A? 3

?

(2)已知点的直角坐标,求它的极坐标。C

五、课堂小结

? ?3,3 ?,D?? 2, ? 2 3? ,E ? ? ? 0, ?

? ? 2? ? ?,B? 2, ? 4? 3 ? ?

5? ? 3 ? ?

1.极坐标系的概念(三个方面理解) ; 2.极坐标与直角坐标的互化前提及公式。

六、布置作业
1.课本 P12 页 4,5 题; 2.预习下一节内容。

七、板书设计
1.极坐标系的概念 (1)概念 (2)点的规定 (3)点与极坐标的对应 2.极坐标与直角坐标的互化
? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?

1.2 极坐标系 3.例题 4.练习 5.小结

? ? 2 ? x2 ? y2 ? y ? t an? ? ,x ? 0 ? x ?

-3-


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