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等腰三角形(复习教案)[1]


等腰三角形(复习教案)
教学目标 ·知识与技能目标 建立知识框架结构图,了解掌握等腰三角形知识。 复习等腰三角形有关定理的探索与证明,证明的思路和方法。 能利用等腰三角形的有关定理,证明线段相等、角相等及直线垂 直等。 ·过程方法 通过回顾有关定理的证明,进一步掌握综合法的证明法。 提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。 ·情感态度价值观 进一步体会证明的必要性,培

养实事求是的态度以及进行质疑和 独立思考的习惯。 教学重点: 等腰三角形定理的应用。 教学难点: 证明的思路和方法。

·教学流程 本章知识结构

二。典型例题 【例 1】如图所示,△ABC 中,AB=AC,D 在 BC 上,且 BD=AD,DC=AC, 求∠B 的度数。 A

C B D

思路点拨:只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等 腰三角形中,然后用方程思想解题,列方程的依据是三角形的内角和 定理。 解:∵AB=CD(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 同理:∠B=∠BAD,∠CAD=∠CDA 设∠B 为 X0 ,则∠C=X0 ,∠BAD=X0

∴∠ADC=2X0,∠CAD=2X0 在△ADC 中,∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800 ∴X+2X+2X=180 ∴X=36 答:∠B 的度数为 360 注:用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。 练习 1: 如图所示, 在△ABC 中, 是 AC 上一点, D 并且 AB=AD, DB=DC,

A

2 3 1 B

D

C

若∠C=29 ,则∠A=___ 练习 2:如图在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,求△ ABC 各角的度数?
A

0

D

B

C

【例 2】 如图所示, 在△ABC 中, AB=AC, 是△ABC 内一点, OB=OC。 O 且 求证:AO⊥BC

A

思路点拨:要证 AO⊥BC,即证 AO

O

B D

C

是等腰三角形底边上的高,根据三线合一定理,只要先证 AO 是顶角 的平分线即可。 证明:延长 AO 交 BC 于 D AB=AC(已知) 在△ABO 和△ACO 中 OB=OC(已知) AO=AO(公共边) ∴△ABO≌△ACO(SSS) ∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD(全等三角形的对应角相等) ∴AD⊥BC,即 AO⊥BC(等腰三角形顶角的平分线与底边上 的高互相重合) 评注:本题用两次全等也可达到目的.。

练习:
A

如图所示,点 D、E 在△ABC 的

边 BC 上,AB=AC,AD=AE 求证:BD=CE

B

D

E

C

【例 3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上 的高。 思路点拨:本题为文字题,文字题必须按下列步骤进行: (1)根据 题意画出图形; (2)根据图形写出“已知”“求证”(3)写出证明 、 ; 过程。 如图,在△ABC 中,AB=AC,P 是 BC 边上任一点,过点 P 作 PM ⊥AB 于 M,PN ⊥ AC 于 N,作 BE⊥AC 于 E。 求证:PM+PN=BE
M E Q N B P C A

证明:作 PQ ⊥BE 于 Q ∵BE⊥ AC,PN⊥AC, ∴BE ∥PN ∵PQ⊥ BE,AC⊥BE ∴PQ ∥ NE。 , ∴QE=PN。 ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C

∵PQ∥ AC ∴∠QPB=∠C ∴∠ABC=∠QPB 又∵∠PMB=∠BQP=900 BP=PB,

∴△PMB≌△BQP(AAS) ∴PM=BQ ∴PM+PN=BQ+QE=BE 注:对文字题一定要逐字逐句地分析,画好图形,写出已知、求证, 按步骤解题。 练习: 求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的 高。 【例 4】已知如图所示,在△ABC 中,AB=AC,D 是 AB 上一点,过 D 作 DE⊥BC 与 E,并与 CA 的延长线相交于 F, 求证:AD=AF 思路点拨: 要证 AD=AF, 需证∠1=∠F, 而∠1=∠2,∠2 落在△BDE 中, ∠F 落在△FEC 中,因为 DE⊥ BC , 所以它们都为直角三角形。∠F 与∠2
B D 2 C A 1 F

的余角分别为∠B 与∠C,由已知可得 ∠B=∠C,因而结论成立。 证明:在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C (等边对等角) ∵ DE⊥BC

E

∴∠DEB=∠DEC=900 (垂直定义) ∴ ∠2+∠B=900 ,∠F+∠C=900(直角三角形两锐角互余) ∴ ∠2=∠F(等角的余角相等) ∵ ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠F(等量代换)

AF=AD(等角对等边)

注: 要注意 “两头凑” 的分析方法。 本题还可以 “作 AG⊥BC 与 G” , 则 AG∥FE 来证。 练习 1:如图 AC=AD,∠C=∠D, 求证 BC=BD(试不用三角形全等来证)
C A B C

练习 2:如图,已知△ABC 是等边三角
D

形 , 点 D.E 分 别在 AC 、BC 上 ,且 DE∥AB,DF⊥DE,交 BC 的延长线与点 F. 求证:CD=CF
A D

B E C

F

【例 5】 如图所示, ∠ABC, ∠ACB 的角平分线交于 F, F 作 DE∥BC, 过 交 AB 于 D,交 AC 于 E。 求证:BD+EC=DE

思路点拨:由 DE∥BC,得∠3=∠2 ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠3

∴DB=DF,同理 CE=EF。从而问题得证。
A

D 3 1 B 2

F

E

C

证明:∵DE∥ BC(已知) ∴∠3=∠2 (两直线平行,内错角相等) 又∵BF 平分∠ABC(已知) ∴∠1=∠2(角平分线定义) ∴∠1=∠3 ∴DB=DF(等角对等边) 同理 EF=CE ∴BD+EC=DF+EF,即 BD+EC=DE。 注:在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。

练习:如图,BF 平分∠ABC,CF 平分∠ACG 且 DF∥BG.问 DB、EC 和

A

DE 之间存在着怎样的关系呢?请证之。

E D

F

1 B

3 2 C 4 G

【例 6】 图中, 已知 BC⊥AC,DE⊥AC,点 D 是 AB 的中点, ∠A=300,DE=1.8,求 AB 的长。
B D

A E

C

思路点拨 :又∠A=300 可得在 Rt△BAC,Rt△DAE 中 BC=1/2AB, DE=1/2AD,又点 D 为 AB 的中点可得 BD=AD =1/2AB 于是可得 DE=1/4AB 解:∵∠A=300,DE⊥AC,BC⊥AC, (已知) ∴DE=1/2AD,BC=1/2AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于 30, 那么它所对的直角边等于斜边的一半) 。 又∵AD=1/2AB, ∴DE=1/2AD=1/4AB,

即 AB=4DE=4*1.8=7.2 注:在直角三角形中已知 300 的角就意味着边的 2 倍关系了,要注意 充分利用这一条件进行计算。 练习 1:在 Rt△ABC 中,∠C=900,若∠B=2∠A,则边 AB 与 BC 之间有什 么关系? 练习 2:等腰三角形的底角等于 15°,腰长为 2a,求腰上的高。 【例 7】 如图,在△ABC 中 BD⊥AC 于 D,∠BAC=2∠DBC.求证:∠ABC= ∠ACB.
A

D O B E

C

思路点拨: 由∠BAC=2∠DBC 联想到作∠BAC 的平分线, 想办法证∠BAC 的平分线垂直 BC,即可得证。 证明:作∠BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E,交 BD 于 O, 则∠BAE=∠CAE=∠DBC. ∵BD⊥AC(已知) ∴∠ODA=90°(垂直定义) ∵∠AOD=∠BOE(对顶角相等) , ∴∠OEB=1800-∠BOE-∠DBC=1800-∠AOD-∠CAE=∠ODA,

即∠OEB=900 ∴∠ABC+∠BAE=900,∠ACB+∠CAE=900(直角三角形两锐角互余) , ∴∠ABC=∠ACB(等角的余角相等) 。 注:要善于观察,积累辅助线的作法,本题还可用加倍小角来证明: 即在∠ABD 内作∠DBF=∠DBC 交 AC 于 F, 练习:如图 在△ABC 中 ∠1=∠2,∠ABC=2∠C
1 A

求证:AB+BD=AC。

2

B

D

C

【例 8】如图 ,在△ABC 中,AD 为中线,∠BAD=∠DAC 求证:AB=AC。 思路点拨: 从现有条件分析, 在△ABD 与△ACD 中,∠1= ∠2,AD=AD 是公共边,D 是 BC 的中点, BD=DC 具有 即 “两 边一对角”对应相等,无法
E B D C 1 A

2

断定全等,因 AD 是中线,就 想到可把中线 AD 延长一倍,构造全等三角形来解此题。 证明:延长 AD 到 E,使 DE=AD,连结 BE。 在△ACD 和△EBD 中 AD=DE,

BD=DC, ∠ADC=∠EDB ∴△ACD≌△EBD(SAS) ∴BE=AC,∠BED=∠CAD(全等三角形的对应边、对应角相等) ∵∠BAD=∠DAC(已知) ∴∠BED=∠BAD(等量代换) ∴AB=BE(等角对等边) ∴AB=AC(等量代换) 注:在三角形中有中线时常延长加倍中线,构造全等三角形,另外在 等腰三角形中,常作一腰的平行线或作底的平形线,从而构造新的等 腰三角形。 练习: 如图, 在△ABC 中, AB=AC, 在 AB 上, 在 AC 延长线上且 BD=CE, D E 连接 DE 交 BC 于 F。 求证:DF=EF。
D C B F E A

三、小结: 1、本节课首先回顾了等腰三角形的性质和判定定理,并利用其定理 进行了有关计算和证明。 2、在等腰三角形中常用的辅助线有: 、作顶角的平分线、底边上 (1)

的高线、中线。 (2) 、在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一 倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。


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