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集合与简易逻辑知识点总结


集合、简易逻辑
知识梳理: 1、 集合:某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系: a ? A 或 a ? A 集合的常用表示法: 列举法 性 。 、 描述法 。集合元素的特征: 确定性 、 互异性 、 无序

常用一些数集及其代号:非负整数集或自然数集 N;正整数集 N * ,整数集 Z;有理数集 Q;实数 集R 2、子集:如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 称为集合 B 的子集,记为 A?B 3、真子集:如果 A ? B ,并且 A ? B ,那么集合 A 成为集合 B 的真子集,记为 A ? B ,读作“ A 真 包含于 B 或 B 真包含 A ” ,如: ?a? ? ?a, b? 。 注:空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论:设集合 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 2 n 个,真子集个数为 2 n ? 1 个 4、补集:设 A ? S ,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集,记为 Cs A , 读作“ A 在 S 中的补集” ,即 Cs A = ?x | x ? S , 且x ? A? 。 5、全集:如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合,这时 S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A ? B 即: A ? B = ?x | x ? A, 且x ? B?。 7、并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并集,记作 A ? B 即: A ? B = ?x | x ? A, 或x ? B?。 记住两个常见的结论: A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? B ? A ; 9、命题:可以判断真假的语句叫做命题。 (全称命题
⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

特称命题)

10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题 和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式:p 或 q;p 且 q;非 p(记作┑q) 。 11、“或”、“且”、“非”的真值判断:
1

非 p 与 p 真假相反;“p 且 q”:同真才真, 一假即假;“p 或 q”:同假才假,一真即真 12、命题的四种形式与相互关系: ? ? ? ? ? ? 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q; 逆否命题:若┑q 则┑p 原命题与逆否命题互为逆否命题,同真假; 逆命题与否命题互为逆否命题,同真假;
原命题 若p, 则q
互 为 否 命 题

互为逆命题

逆命题 若q, 则p
互 为 否 命 题

互为逆否命题

13、从逻辑推理关系上看:

否命题 若非p, 则非q

互为逆命题

逆否命题 若非q, 则非p

若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,即“前者为后者的充分,后者为前者的必 要”。 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分必要条件,简称 p 是 q 的充要条件。 若 p ? q ,且 q 若p 若p
p ,那么称 p 是 q 的充分不必要条件。

q, 且 q ? p,那么称 p 是 q 的必要不充分条件。 q, 且q p,那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件。

从集合与集合之间的关系上看: 条件 p、q 对应集合分别为 A、B,则 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件,若 A ? B ,则 p 是 q 的充分非必要条件 若 A ? B ,则 p 是 q 的必要条件,若 A ? B ,则 p 是 q 的必要非充分条件 若 A=B,则 p 是 q 的充要条件 若 A ? B且B ? A ,则 p 是 q 的非充分必要条件

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