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函数概念、性质、指数运算及指数函数


Xupeisen110

高中数学

函数概念、性质、指数运算及指数函数
教材:单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数 目的:通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理解 过程: 一、复习:映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数 二、《教学与测试》 P49 第 34 课 49 “基础训练题” 例 1) 4,求 a 的值。 1 略 例一、(《教学与测试》 已知函数
f (x) ? x
2

? 2 ax ? 1 在区间[?1,2]上的最大值是

解:抛物线对称轴为 1? 当 2≥?a , 2? 当
1 2

x ? ?a

,

区间[?1,2]中点为

1 2

即 a≤?2 时,由题设:f (?1) = 4, a = ?1 (不合)
?2 ? a ? 1
1 2

即 1 ? 2a +1 = 4,
? ?a ? 2 1 2

, ,



时,由题设:f (?1) = 4, (2) = 4,



a = ?1
a ? ? 1 4

3? 当 ? 1 ?

?a ?

即?

? a ? 1 时,由题设:f

即 4 + 4a +1 = 4,
a ? ? 1 4

4? 当 ?a<?1,

即 a>1 时,由题设:f (2) = 4,

即 4 + 4a +1 = 4,

(不合)

注:若是已知最小值,此种分类同样适用,也可分 ?a 在 ? ? ? , ? 1?,
? ? 1, 2 ?, ? 2 , ?? ? 三个区间。但本题亦可将 1?、2?和 3?、4?分别合并成两个区间讨论。

例二、已知函数 f (x),

当 x , y?R 时,恒有 f (x + y) = f (x) + f (y) ,

1? 求证: f (x) 是奇函数。 2? 若 f (?3) = a,试用 a 表示 f (24) 3? 如果 x > 0 时,f (x) > 0 且 f (1) < 0,试求 f (x) 在区间[?2,6]上的最大值与最 小值。 解:1? 令 x = y = 0 2? 由 f (?3) = a 得 f (0) = 0,再令 y = ? x 得 ∴f (x)为奇函数 f (0) = f (x) + f (? x), ∴f (x) = f (? x)

得 f (3) = ? f(?3) = ?a,

f (24) = f ( 3 + 3 + ?? + 3) = 8 f (3) = ? f (3) 3? 设 x 1 < x2 ,则 f (x2) = f (x 1 + x2 ? x 1) = f (x 1) + f (x2 ? x 1) < f (x 1),
8个 3

1

Xupeisen110
( ∵ x2 ? x 1 > 0 ,

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f ( x2 ? x 1) < 0 ) ∴f (x) 在区间[?2,6]上是减函数。 ∴f (x) max = f (?2) = ?f (2) = ?2f (1) = 1 f (x) min = f (6) = 6 f (1) = ?3

例三、(《教学与测试》第 28 课 求函数
y ? 1? 2 4
x x

例一)

的值域和单调区间。
x

解: y

?

1? 2 4
x

? (

1 2
x

) ?
2

1 2
x

? [(

1 2

) ?
x

1 2

] ?
2

1 4

? ?

1 4

∴函数的值域为 ?? ∵设 而二次函数
1 x 1 ( ) ? 2 2 1 x u ? ( ) 2 1 2

1

? , ?? ? 4 ?

,
2

它在 ? ? ? , ?? ? 上单调递减,
1 4

y ? (u ?

) ?



u ?

1 2

时是减函数,在 ,则 x ≤ 1

u ?

1 2

时是增函数令

,则 x ≥ 1
y ? 1? 2 4
x x

令 在 ?1, ?

1 x 1 ( ) ? 2 2

∴函数

? ? 上是增函数,在 ? ? ? ,1 ] 上是减函数。

例四、(《教学与测试》第 28 课 1.已知
f (x) ? 2 3 ?1
x
x

例二)

? m

是奇函数,求常数 m 的值。 的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程

2.画出函数
| 3 ? 1 |? k
x

y ?| 3 ? 1 |

无解?有一解?有两解?

解:1.定义域:x ? 0 若 f (x)为奇函数,则 ∴m
? ? 1 3 ?1
x

(

2 3 ?1
x

? m) ? ( 3

2
?x

?1

? m) ? 0

? 3

1
?x

?1

? ?

1 3 ?1
x

?

3
x

x

3 ?1

?1

2

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3.图象如图所示:

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y

1

o

当 k < 0 时,直线 y = k 与函数

x y ? | 3 ? 1 | 图象无交点
x x

∴方程无解。

当 k = 0 或 k ≥ 1 时, 直线 y = k 与函数 当 0 < k < 1 时,直线 y = k 与函数 例五、(《教学与测试》第 28 课 设
y1 ? a
2x
x

y ? | 3 ? 1 | 图象有一个交点∴方程有一解。

y ? | 3 ? 1 | 图象有两个交点

∴方程有两解。

例三)——机动,可以不讲

, y2 ? a

x ?3
2

,其中 a > 0,a ? 1, 2? y1 < y2
y1 ? y 2 ? 2 x ? x
2

问:x 为何值时有 1? y1 = y2 解:1.由于指数函数是单调函数,∴

? 3 ? x ? ? 1或 x ? 3

2.当 0 < a < 1,由 y1 < y2 ,得 2x > x2 ?3 ,解得 ?1 < x < 3 当 a > 1,由 y1 < y2 ,得 2x < x2 ?3 ,解得 x < ?1 或 x > 3 三、作业: P50 3—7 《教学与测试》 P58 6、7

3


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