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广东省佛山市第一中学2015-2016学年高二数学10月月考试题


佛山一中 2015-2016 学年度上学期高二第一次段考 数学试题
注意事项: 1.本试题 满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2. 选择题部分, 请将选出的答案标号 (A、 B、 C、 D) 涂在答题卡上。 将答案用黑色签字 (0.5mm) 笔填涂在答题卡指定位置。 一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,每题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1

. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图(1)示,则该几何体的正视图为( )

2.

已知 Rt ?ABC 中, C ? 90 , AB ? 5, BC ? 4 以 BC 为直径的
?

圆交 AB 于 D ,则 BD 的长为( ) A. 4 3. B.

9 5

C.

12 5

D.

16 5

在 ?ABC 中 , D, E 分 别 为 AB, AC 上 的 点 , 且

DE // BC , ?ADE 的面积是 2cm 2 , 梯形 DBCE 的面积为 6cm 2 , 则 DE : BC 的值为
( )

A. 1: 3
4.

B. 1 : 2

C. 1 : 3

D. 1 : 4
A M B D N C

已知,如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AD=3,BC=7, 点 M,N 分别是对角线 BD,AC 的中点,则 MN= ( ) A.2 B. 5

7 C. 2

3 D. 2

5.

如图所示,正方形 O′A′B′C′的边长为 1,它是水平放置 的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( ) A.6 B.8 C.2+3 2 D.2+2 3

6.

设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直, 且 A. , B. , ,则球的表面积为( ) C. D.

-1-

7.

如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交圆 O 于 A, B 两点,弦 CD 垂直 AB 于 E . 则 下面结论中,错误 的结论是( .. A. C. ∽ D.
D


C

B.
B O E A P

8.

已知四边形 ABCD 是圆内接四边形, 下列结论中正确 的有( ) ①如果∠A=∠C,则∠A=90°;②如果∠A=∠B,则四边形 ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外角互补;④∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的比可以是 1∶2∶3∶4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上, AP=C1Q,则平面 BPQ 把三棱柱分成两部分的体积比为( ) A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3
A1 P A B B1 Q C C1

9.

10. 设 m, n, l 为空间不重合的直线,? , ? ,? 是空间不重合的平面,则下列 说法准确的个数是( ) ① m // l , n // l ,则 m // n ;② m ? l , n ? l ,则 m // n ; ③若 m // l , m // ? , 则l // ? ; ④若 l ∥ m , l ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ⑤若 m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? ⑥ ? // ? , ? // ? ,则 ? // A.0 B.1 C.2 D.3

?

二、 填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分. 11. 在 ?ABC 中, B ? 135? , C ? 15? , a ? 5 ,则此三角形的最 大边长为 . 12. 用半径为 6 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体 积是 . 13. 如图是棱长为 a 的正方体的平面展开图,则在原正方体中,CN 与 BM 所成的角度为 . 14. 如图,⊙ O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙O 的半径等于 . 15. 如图,圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点,圆心 B 在圆 A 上,DE 为圆 B 的直径。已知 CE ? 1, DE ? 4 ,则圆 A 的半径为 .

-2-

16. 下列四个正方体图形中, A、 B 为正方体的两个顶点, M 、N、 P 分别为其所在棱的中 点,能得出 AB // 平面 MNP 的图形的序号是 . (将你认为正确的都填上)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在 ?ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c . (1)若 c ? 6 , A ? 450 , a ? 2, 求 C ;
2 2 2 2 (2)若 4a ? b ? c ? 2bc , sin A ? sin B sin C ,试判断 ?ABC 的形状.

18. 如图,四棱锥 C ? ABED 中,四边形 ABED 是正方形,若

G, F 分别是线段 EC, BD 的中点.
(1)求证: GF ∥底面 ABC ; (2)若点 P 为线段 CD 的中点,平面 GFP 与平面 ABC 有怎样 的位置关系?并证明。

19. 正 方 体

中 , 连 接 A B ? CA1B D 1C1 D 1

A1C1 , A1B, BC1 , AD1 , AC, CD1 .
(1)求证: A1C1 ∥平面 ACD 1; (2)求证:平面 A1BC1 ∥平面 ACD 1; (3)设正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a ,求四面体 ACB1D1 的体积.

-3-

20. 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割 线 PBC 交圆 O 于点 B 、 C , 交 AB 、 AC 于点 D 、 E . (1)证明: ; 的平分线分别

(2)若 AC ? AP ,求

的值.

21.

在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别是 a , b, c (1)用余弦定理证明:当 C 为钝角时, a ? b ? c ;
2 2 2

(2)当钝角△ABC 的三边 a , b, c 是三个连续整数时,求△ABC 外接圆的半径.

22.

? , ? ,? 是空间不重合的平面,且 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,且 a, b, c 是不重合的
直线,求证: a , b, c 交于一点或 a ∥ b ∥ c .

-4-

2015-2016 学年度上学期高二第一次段考数学试题答卷 座位号: 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)请把答案涂在答题卡 二、填空题(本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分) 11. ; 12 ; 13 ; 14. ;15. ;16. . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

试室号: 姓名:




18. (本小题满分 10 分)

班级:

线

考号:

19. (本小题满分 12 分)

-5-

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

-6-

22.(本小题满分 14 分)

-7-

-8-

佛山一中 2015-2016 学年度上学期高二第一次段考 数学试题答案 一、选择题 DDBAB BDBAC 第 4 题是选修 4-1 课本 P5 习题 1.1 第 3 题;第 9 题是《名师》P14 例 5 二、填空题 11. 5 2 14.5 12. 9 3π (类似课本 P27 练习 1) 15.4 13. 60°(课本 P52B1)

16.①④( 《名师》P104 双基训练十第 5 题)

三、解答题(第 20 题是周练第 4 题;第 22 题是课本 P78A 组题 8,9)

(1)由正弦定理得: 17.解:

2 6 3 ? ? sin c ? ……………………3 分 0 sin 45 sin c 2

又 c ? a ∴ C ? A ……………………4 分
0 ∴ C ? 60 或 C ? 120 …………………………5 分

?

2 2 (2)由 sin A ? sin B ? sin C 得 a ? bc ……………………6 分
2 2 2 2 2 又? 4a ? b ? c ? 2bc ? b ? c ? 2bc ? ? b ? c ? ? 0 ? b ? c ……………………8 分 2

? 4a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? 4b2

? a ? b ? c ……………………9 分 ? ?ABC 是等边三角形.………………………10 分
18.(1)证明:连接 AE ,由 F 是线段 BD 的中点得

F 为 AE 的中点,
∴ GF 为 ? AEC 的中位线,

? GF / / AC ……………………2 分
又? AC ? 平面 ABC , GF ? 平面 ABC ∴ GF / / 平面 ABC ……………………4 分 (2)平面 GFP ∥平面 ABC ,………………5 分

-9-

证明如下: ∵ F , P 分别为 BD , CD 的中点,∴ FP 为△ BCD 的中位线, ∴ FP ∥ BC ………………………6 分 又∵ BC ? 平面ABC, FP ? 平面ABC , ∴ FP ∥ 平面ABC ,…………………8 分 又 GF / / 平面 ABC , FP ? GF ? F , FP ? 平面FPG, GF ? 平面FPG ∴平面 GFP ∥平面 ABC ………………………10 分

19.(1)证明:∵ AA1 ∥ BB1 , BB1 ∥ CC1 ,∴ AA1 ∥ CC1 且 AA1 ? CC1 , ∴四边形 A1 ACC1 是平行四边形, ∴ A1C1 ∥ AC .…………………2 分 又 AC ? 平面ACD1 , A1C1 ? 平面ACD1 , ∴ A1C1 ∥ 平面ACD1 .…………………4 分
1. (2)证明:同理, BC1 ∥ AD

1 ? 平面ACD 1 , BC 1 ? 平面ACD 1, 又 AD

∴ BC1 ∥ 平面ACD1 .…………………6 分 又 A1C1 ∥ 平面ACD1 ,且 A1C1 ? BC1 ? C1 , A1C1 ? 平面A1BC1 , BC1 ? 平面A1BC1 , ∴ 平面ACD1 ∥ 平面A1 BC1 .…………………8 分 (3)记正方体体积为 V ,四面体体积为 VACB1D1 ,则

VACB1D1 ? V ? VA1AB1D1 ? VABB1C ? VB1CC1D1 ? VACDD1 ,…………………10 分
又 VA1 AB1D1 ? VABB1C ? VB1CC1D1 ? VACDD1 ? 6 a .
3

1

∴ VACB1D1 ? V ? VA1 AB1D1 ? VABB1C ? VB1CC1D1 ? VACDD1 ? 3 a .…………………12 分
3

1

20.解: (1)∵ PA 是切线, AB 是弦,∴ ?BAP ? ?C ,
- 10 -

又 ∵ ?APD ? ?CPE ,∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE , …………………2 分 ∵ ?ADE ? ?BAP ? ?APD , ?AED ? ?C ? ?CPE , ∴ ?ADE ? ?AED .…………………4 分 (2)由(1)知 ?BAP ? ?C , 又∵ ?APC ? ?BPA ,



?APC



?BPA

,



,…………………6 分 ∵ AC ? AP , ∴ ?APC ? ?C ? ?BAP , 由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180 ,
0
0 ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90 ,…………………8 分

0 0 0 ∴ ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180 ? 90 ? 90 ,

∴ ?C ? ?APC ? ?BAP ?

1 ? 900 ? 300 .…………………10 分 3
,∴ = .…………………12

在 Rt ?ABC 中, 分

=

21.解: (1)当 ?C 为钝角时, cos C ? 0 . 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? a ? b ,即 a ? b ? c .…………………3 分
2 2 2 2 2
2 2 2

(2)设△ABC 的三边分别为 n ?1, n, n ? 1 n ? 2, n ? N ∵△ABC 为钝角三角形,不妨设 ?C 为钝角, 由(1)得 ?n ?1? ? n2 ? ?n ? 1? ,……………4 分
2 2

?

*

?

解得 0 ? n ? 4 .又 n ? 2, n ? N ,∴ n ? 2或3 .…………………6 分
*

当 n ? 2 时,不能构成三角形,舍去。当 n ? 3 时,△ABC 三边长分别为 2,3,4.………8 分

22 ? 32 ? 42 1 ? ? ,…………………10 分 ∴ cosC ? 2? 2?3 4
∴ sin C ? 1 ? cos C ?
2

15 , 4
- 11 -

∴△ABC 的外接圆的半径为 R ?

4 8 15 .……………12 分 ? 2 sin C 15

22.证明:如图(1) , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,且 a ? b ? O, 则 O ? a ? ? , 且 O ? b ? ? , …………………4 分 即 O ? ? ? ? ? c, …………………6 分 ∴ a , b, c 交于一点 O .…………………7 分 如图(2) , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,且 a ∥ b , 由 a ? ? , b ? ? ,得 b ∥ ? .…………………9 分 又 b ? ? , ? ? ? ? c ,得 b ∥ c .…………………12 分 ∴ a ∥b ∥c . 综 上 ,

a , b, c 交
于一点或 a∥b ∥

c .………
………… 14 分

- 12 -


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