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2 第2章 第2节 函数的单调性与最值


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第二节 函数的单调性与最值 [考情展望] 1.考查函数的单调性及最值的基本求法.2.利用函数的单调性求单调区间.3.利用函数的单调 性求最值和参数的取值范围.4.函数的单调性和其它知识相结合考查求函数的最值、比较大小、解不等式等 相关问题. 一、增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则都有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? (1) >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? (2) <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 二、单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 求函数单调区间的两个注意点 (1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符 号“∪”联结,也不能用“或”联结. 三、函数的最值 前提 设函数 f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 是 y=f(x)的最大值 ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 是 y=f(x)的最小值

条件

结论

函数最值存在的两条定论 1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. 2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 【基础自测】 1.如果二次函数 f(x)=3x2+2(a-1)x+b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( ) A.a=-2 B.a=2 C.a≤-2 D.a≥2 2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) 1 A.y=3-x B.y= x C.y=-x2+4 D.y=|x| 3.函数 y=(2k+1)x+b 在 x∈R 上是减函数,则 k 的取值范围是( ) 1 1 1 1 A.k> B.k< C.k>- D.k<- 2 2 2 2 2 4.f(x)=x -2x,x∈[-2,3]的单调增区间为________,f(x)max=________. 5.(重庆高考) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为( ) 9 3 2 A.9 B. C.3 D. 2 2 6.(安徽高考)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
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考向一 [013] 函数单调性的判定 a 判断函数 f(x)=x+ (a>0)在(0,+∞)上的单调性. x

规律方法 1 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:,?1?结合定义?基本 步骤为取值、作差或作商、变形、判断?证明;,?2?可导函数则可以利用导数证明. 考向二 [014] 图象法求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并确定每一区间上的单调性. (1)f(x)=-x2+2|x|+3; (2)f(x)=|x2-4x+3|.

规律方法 2 求函数单调区间的两种常用方法,?1?图象法:如果 f?x?是以图象形式给出的,或者 f?x?的图象易作出,可 由图象的直观性写出它的单调区间. ?2?导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间. 对点训练 (西安模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)= ?f?x?,f?x?≤k, ? 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|,当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为( ) 2 ?k,f?x?>k. ? A.(-∞,0) C.(-∞,-1) (1)函数 f(x)= B.(0,+∞) D.(1,+∞) 考向三 [015] 函数单调性的应用 1 1 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值为 ,则 a+b=________. 3 x-1

(2)若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是________.

?a ,x>1 ? (3)(郑州模拟)已知 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ??4-2?x+2,x≤1 ?

x

)

A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 规律方法 3 1.本例?3?在求解中,常因忽略考虑“f?x?在?-∞,1]上的最大值小于等于 f?x?在?1,+∞?上的最小值” 致误. 2.含“f”号不等式的解法,首先根据函数的性质把不等式转化为 f?g?x??>f?h?x??的形式,然后根据函数的 单调性去掉“f”号,转化为具体的不等式?组?,此时要注意 g?x?与 h?x?的取值应在外层函数的定义域内. ?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 对点训练 (1)(德州模拟)已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2 都有 < x1-x2 ? ??2? -1,x<2, 0 成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,2) C.(-∞,2] ) 13? B.? ?-∞, 8 ? 13 ? D.? ? 8 ,2?

(2)(沈阳模拟)已知函数 f(x)=2x-1, g(x)=1-x2, 构造函数 F(x)的定义如下: 当|f(x)|≥g(x)时, F(x)=|f(x)|, 当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x),则 F(x)( ) A.有最小值 0,无最大值 B.有最小值-1,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 D.无最大值,也无最小值
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规范解答之一 解不等式巧用函数的单调性 解函数不等式问题的一般步骤:第一步:确定函数 f(x)在给定区间上的单调性;第二步:将函数不等式 转化为 f(M)<f(N)的形式;第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或 不等式组;第四步:解不等式或不等式组确定解集;第五步:反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范. 例题:郑州模拟)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

【名师寄语】 ?1?抽象函数的单调性证明只能用定义,在证明时应根据所给等式的特点对 x1 或 x2 进行 x1 适当变形,如 x2=?x2-x1?+x1 或 x1=x2· 等. x2 ?2?求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为 f?M?<f?N?的形式,然后再根据函数 f?x?的单调性去掉 “f”,此时应注意 M、N 应在定义域内取值. x? ? 1 ? 例题:已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f? = f ( x ) - f ( y ) , f (2) = 1 ,解不等式: f ( x ) - f ?y? ?x-3? ≤2.

课时限时检测(五) 函数的单调性与最值 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) b 1.若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( x A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 2.(模拟)下列函数中,满足 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2)的是( ) 1 A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2 x C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 3.若函数 f(x)的定义域为 R,且在(0,+∞)上是减函数,则下列不等式成立的是( ) 3 2 ? A.f? ?4?>f(a -a+1) 3? 2 B.f? ?4?≥f(a -a+1) 3? 2 C.f? ?4?<f(a -a+1) 3? 2 D.f? ?4?≤f(a -a+1)

)

?1??<f(1)的实数 x 的取值范围是( 4.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??
A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

5.(模拟)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则 f(x) 最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7
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?a b?=ad-bc,若函数 f(x)=?x-1 2 ?在(-∞,m)上单调递减,则实数 m 6.(青岛期中)定义运算? ? ? ? ?c d ? ?-x x+3? 的取值( ) A.(-2,+∞) B.[-2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.(模拟)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________.
? ?-x+a,x<1, 8.设函数 f(x)=? x 的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是________. ?2 ,x≥1 ? 9.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1(x∈R)是单函数,下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10. (10 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[-2,2]上的最大值、 最小值分别是 M、 m, 集合 A={x|f(x) =x}. (1)若 A={1,2},且 f(0)=2,求 M 和 m 的值; (2)若 A={1},且 a≥1,记 g(a)=M+m,求 g(a)的最小值.

x? 11.(12 分)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f? ?y?=f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明. (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

x 12.(13 分)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求 a 的取值范围.

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