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刷子几何千题大典(第2卷)


【刷子千题大典第 101 题】
如图, 在 ?ABC 中,AB ? AC , 内切圆 I 与边 BC 切于点 D ,AD 交内切圆 I 于另一点 E , 圆 I 的切线 EP

CF // PE , 交 BC 的延长线于点 P , 交 AD 于点 F , 直线 BF 交圆 I 于点 M 、N 。 证明: ?ENP ? ?ENQ
A

E I F N Q M B D C P

【刷子千题大典第 102 题】
如图,在 ?ABC 中,设 AB ? AC ,过 A 作 ?ABC 的外接圆的切线 l ,又以 A 为圆心, AC 为半径作圆分 别交线段 AB 于 D ;交直线 l 于 E 、 F 。求证:直线 DE 、 DF 分别通过 ?ABC 的内心与一个旁心。

A F E C D

B

【刷子千题大典第 103 题】
如图, ABCD 是圆内接四边形, AC 与 BD 的交点为 P , E 是弧 AB 上一点,连接 EP 并延长交 DC 于点 F ,点 G 、 H 分别在 CE , DE 的延长线上,满足 ?EAG ? ?FAD , ?EBH ? ?FBC . 求证: C 、 D 、 G 、 H 四点共圆。

G E A

H

B P

D

F

C

【刷子千题大典第 104 题】
如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O , K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) , D 是线段 AK 延长线上 一点,直线 BD 与 AC 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于点 M 。 求证:若 OK ? MN ,则 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆。

A

O

B

K D

C N

M

【刷子千题大典第 105 题】
如图,圆 I 内切于圆 O ,切点为 P ,圆 O 的弦 AB 切圆 I 于点 Q , PQ 的延长线交圆 O 于点 M , MN 为 圆 O 的直径,过点 P 作 PA 的垂线交 AN 于点 C ,求证: C 、 I 、 Q 三点共线。

P C N I O Q

A

M

B

【刷子千题大典第 106 题】
已知 PB 、 PC 是⊙ O 的切线,点 G 在⊙ O 上, PG ? EF ,其中 OE 、 OF 分别是 ?BOG 、 ?COG 的 角平线。求证: EG ? GF .
P

G B E C O

F

【刷子千题大典第 107 题】
在 ?ABC 中, AD ? BC , P 是 ?ABC 外接圆 O 上一点,点 P 关于 AB 、 AC 的对称点为点 E 、 F ,连 接 EF 与 AD 交于点 H ,求证: H 是 ?ABC 的垂心。
A

F H E B D

O C

P

【刷子千题大典第 108 题】
如图: O 、 H 是 ?ABC 的外心和垂心, D 、 F 分别是 BC 、 AB 的中点; P 、 Q 分别在 BA 、 BC 上, 且满足 DP ? DH , FQ ? FH 。求证: PQ ? OH 。

A

F O H Q P B D C

【刷子千题大典第 109 题】
已知确定的等腰三角形 ABC,M 为 BC 中点,X 为圆 ABM 的劣弧 AM 上一动点;T 为∠AMB 内一点, 且∠XMT=90° ,XT=XB。求证:∠BTM-∠CTM 为定值。

【刷子千题大典第 110 题】
已知梯形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 P,点 Q 在平行线 BC、AD 之间,满足∠AQD=∠CQB,且 P、 Q 在直线 CD 的两侧。证明:∠BQP=∠DAQ。

【刷子千题大典第 111 题】
已知 AB>BC,MK 为中位线,O 为内心,MK、CO 交于 P,QP⊥PM,MQ//BO。求证:QO⊥AC。

【刷子千题大典第 112 题】
设锐角△ ABC 中∠B>∠C,I 是内心,R 是外接圆半径,AD 是高线,K 在 AD 上且 AK=2R,点 A、K 在 D 的两侧;DI、AC 交于 E,KI、BC 交于 F,IE=IF。求证:∠B≤3∠C。

【刷子千题大典第 113 题】
已知△ ABC 为确定三角形, D、 E、 F 分别为三边中点, P 为△ ABC 外接圆上的动点, PD、 PE、 PF 与△ ABC 外接圆的另一交点分别为 G、 H、 K。 A、 B、 C、 G、 H、 K 是不同的点, 则直线 AG、 BH、 CK 交出一个 ΔMTL。 求证:ΔMTL 的面积是定值。

【刷子千题大典第 114 题】
已知△ PDC 的内切圆圆 I 与△ ADP、△ BCP 的内切圆分别交于 K、L;AC、BD 交于 E、AK、BL 交于 F。 求证:E、I、F 三点共线。

【刷子千题大典第 115 题】
如图,PA、PB 是圆 O 的切线,E 为劣弧 AC 上一点,PD 过圆心 O 且是 ΔPAE 的切线;BC、DA 交于 K, DE 交 BK 于点 M。求证:M 是 BK 的中点。

【刷子千题大典第 116 题】
如图,ABCD 是平行四边形,P 是 BD 上一点,∠PCD=∠CAD,AC 与△ ABD 外接圆的另一交点为 E。求 证:∠PED=∠AEB。

【刷子千题大典第 117 题】
如图,非等边锐角三角形 ABC 的面积为 10,AD 是中线,BE、CF 是高,AG⊥AD 交 EF 于 G。求△ GBC 的面积。

【刷子千题大典第 118 题】
已知 AB=AC,点 D 为△ ABC 外接圆劣弧 BC 上一点,点 G 为线段 AD 上一点,CG、BG 分别交 AB、AC 与于点 F、E。求证:∠ADF=∠ADE。

【刷子千题大典第 119 题】
如图,AD、BE、CF 是中线,BCPF、ABQE 共圆,P 在 BE 上,Q 在 AD 上,G 是△ ABC 重心,DP、FQ 交于 R。求证:PGRQ 共圆。

【刷子千题大典第 120 题】
如图,圆 O 与圆 S 交于 P、Q,O 在圆 S 上,A、B 在圆 O 内且在圆 S 上,OA=OB,PA 交圆 O 于点 D。 求证:PB=AD。

【刷子千题大典第 121 题】
设锐角△ ABC 的三边长互不相等, O 为其外心, 点 D 在 AO 延长线上, ∠ADB=∠ADC, DE⊥AB, DF⊥AC, AH⊥BC ,记 ΔEFH 的外接圆半径为 R A ,类似可得 RB 、 RC , △ ABC 的外接圆半径为 R 。求证:

1 1 1 2 ? ? ? . RA RB RC R

【刷子千题大典第 122 题】
如图,I 为△ ABC 的内心,AB+BD=AC+CD,G 为 BC 中点,AD 交圆 I 于 X、Y,X 更靠近 A,圆 I 切 BC 于 E。求证:DX=2IG。

【刷子千题大典第 123 题】
如图,CA、CB 是切线,P 为圆 O 上一点,PD//AC 交 AB 于 D,PE//BC 交 AB 于 E,FG//AB 交 AC、BC 于 F、G,FG 过 P,EC、FD 交于点 J。求证:∠PJO=90° 。

【刷子千题大典第 124 题】
如图,∠ADB=∠ACB=90° ,AD=AE,BE=BC,AC、BD 交于 F。求证: EF 2 ? DF ? FC .

【刷子千题大典第 125 题】
如图,O、H 分别是△ ABC 的外心和垂心,BD⊥AC 于 D,CE⊥AB 于 E,M、N 分别为 AB、AC 的中点, MN、DE 交于点 F。求证:AF⊥OH。

【刷子千题大典第 126 题】
如图,O 为△ ABC 的外心,以 AO 为直径作圆 P,分别交 AB、AC 于 M、N,作△ BOC 的外接圆圆 Q 交 圆 P 于 D,MO 交 BD 于 E,NO 交 CD 于 F。求证:直线 EF 平分线段 BC。

【刷子千题大典第 127 题】
如图,以四边形 ABCD 的边长为边向外作四个正方形,M、N、P、Q 分别是其中心,R、Q、T、S 是中点。 求证:RQ//TS 且 RQ=2TS.

【刷子千题大典第 128 题】
如图,∠ABD=∠ACD=90° ,AB=AC,E、F 为 AB、AC 上的任意点,DG⊥EF 交 BC 于点 G。求证:AG 平分线段 EF。

【刷子千题大典第 129 题】
已知 H 是△ ABC 的垂心,D 为 BC 中点,EH⊥AD,F 为 BH 上的一点且 AF⊥AB。求证:AF=EF。

【刷子千题大典第 130 题】 如图所示,平行四边形 ABCD 中,I 是△ BCD 内心,H 是△ BID 垂心。 求证:∠HAD=∠HAB。

【刷子千题大典第 131 题】
已知 ABCDE 五点共圆,直线 AD、CE 交于点 Q,作点 A 关于直线 BE 的对称点 M,点 C 关于直线 BD 的 对称点 N。求证:△ QMN 与△ QAC 逆相似。

【刷子千题大典第 132 题】
在圆内接四边形 ABCD 中,AD=BD,对角线 AC 与 BD 交于点 M,I 为△ BCM 的内心,N 为对角线 AC 上一点。证明:BIMN 共圆与 NB//DC 是等价命题。

【刷子千题大典第 133 题】
如图,在锐角△ ABC 中,AB>AC,D、E 分别是边 AB、AC 的中点;△ ADE 的外接圆与△ BCE 的外接圆 交于点 P(异于 E) ,△ ADE 的外接圆与△ BCD 的外接圆交于点 Q(异于 D) 。 求证:AP=AQ。

【刷子千题大典第 134 题】
在圆内接四边形 ABCD 中,AB 交 CD 于 P,AD 交 BC 于 Q,作 PQ 的平行线分别交 AB、AD 于 M、N, 又设 BN 交 DM 于 L,CL 交圆于 K。求证:A、M、N、K 四点共圆。

【刷子千题大典第 135 题】
圆 O1 与圆 O2 交于 E,F,过 E 作圆的两条任意割线 AB、CD,M、N 分别为 AD 与 BC 中点,L 是 EF 与 连心线交点,过 L 作 AB 平行线交线段 MN 于 X,O 是连心线中点,求证:OL=OX。

【刷子千题大典第 136 题】
线段 AM、BD、CE 共点于 P,点 M、D、E 分别在 BC、AC、AB 上,线段 AP、CP、DE、DM 中点分别 是 G、K、F、S,过 A 作 GF 平行线,交过 C 作 SK 平行线于 X。 求证: S四边形AEXD ? S?BCX 。

【刷子千题大典第 137 题】
圆 O1 、圆 O2 交于 P、K 二点,XY 为两圆近 P 点一侧的公切线,PX、PY 分别交圆 O2 、圆 O1 于 C、B, BX、CY 交于 A 点;三角形 AXY、三角形 ABC 的外接圆交另一点于 Q 点。 求证:∠AXQ=∠PKQ。

【刷子千题大典第 138 题】
如图,在锐角△ ABC 中,AB>AC,M 为 BC 边的中点,I 为内心,MI 交 AB 于点 D,CI 和△ ABC 的外接

ED
圆的另一交点为 E。求证: EI

?

IB IC 。

【刷子千题大典第 139 题】
如图,在钝角△ ABC 中,AB>AC,点 O 是其外心,边 BC、CA、AB 的中点分别为 D、E、F,中线 AD 与 OF、OE 所在直线分别交于点 M、N,直线 BM、CN 交于点 P。求证:OP⊥AP。

【刷子千题大典第 140 题】
如图,在锐角△ ABC 中,AB>AC,∠BAC 的平分线与边 BC 交于点 D,点 E、F 分别在边 AB、AC 上, 使得 B、C、F、E 四点共圆。证明:△ DEF 的外接圆圆心与△ ABC 的内切圆圆心重合的充分必要条件为 BE+CF=BC。

【刷子千题大典第 141 题】
如图,∠B=90° ,O 是△ ABC 的外接圆圆心,△ ABC 的内切圆与 BC 切于点 D,AD 交圆 O 于 Y,X、Z 分别是△ ABD、△ ACD 的内心,XZ 交 AD 于 K,交圆 O 于 U、V,M 为 UV 的中点。求证:CY=2MK。

【刷子千题大典第 142 题】
已知 PE 、PF 是⊙ O 的切线, A 、B 是一组对径点,PB 交⊙ O 于另一点 C , 直线 AF 、BE 交于 D 点。 求证: ?PCD ? ?PCE 。
P D

B E

O C

F

A

【刷子千题大典第 143 题】
如图, AB 是⊙ O 的直径,C , D 是圆上异于 A 、B ,且在 AB 同侧的两点, 分别过 C 、D 作⊙的 O 切线, 它们交于点 E ,线段 AD 与 BC 的交点为 F , 线段 AB 与 EF 的交点为 M ,求证: E 、 C 、 M 、 D 四点 共圆。
E

C F A O M D B

【刷子千题大典第 144 题】
如图, PE 、 PF 是以 AB 为直径圆的切线 E 、 F 是切点, PB 交圆于 C 点, AF 、 BE 交于 D 点, AB 是 直径。 求证: ?DPE ? 2?ACD 。

P

C E A D O F B

【刷子千题大典第 145 题】
已知: ?ABC 中, ?A ? 90? , AD 切⊙ ABC , AD 交 BC 延长线于 D , E 是 A 关于 BC 的对称点, AY ? BE 于 Y , X 是 AY 中点,延长 BX 交⊙ ABC 于 J ,求证: BD 切 ?AJD 外接圆。

A

J B X O Y E F C D

【刷子千题大典第 146 题】
已知四边形 ABCD 内接于以 BD 为直径的圆,设 A' 为 A 关于 BD 为对称点, B ' 是 B 关于 AC 对称点,直 线 AC 交 DB' 于 Q ,直线 DB 交 CA' 于 P 。求证: PQ ? AC 。
Q

B'

A

D

O

B

P

A' C

【刷子千题大典第 147 题】
已知: BC 、 BD 是⊙ O 切线, C 、 D 是切点, BJA 是割线, A 、 J 在圆上, J 离 B 较近, DE ? AO 于 E ,交 AB 于 F , AC 交 DE 于 G ,求证: DF ? FG 。

B

J C

D F G A

O

E

【刷子千题大典第 148 题】
已知 ?ABC 中, AC ? BC , M 是 AB 的中点, FG 经过点 M ,且 ?CFG 与 ?ABC 有相同的内心。 求证: AM 2 ? FM ? GM 。
B G

C F

M

A

【刷子千题大典第 149 题】
已知: ?ABC 为非直角三角形, AD 平分 ?BAC , D 在 BC 上, DF ? AC 于 F , DE ? AB 于 E ,CE 交 BF 于 P 。求证: AP ? BC 。

A

E P F

B

D

H

C

【刷子千题大典第 150 题】
已知 PA 、PB 是⊙ O 切线,DE 是过 C 的切线,D 、E 分别在 AP 、PB 上,CF ? AB 于 F , 连接 DF 、 EF 。求证: ?DFC ? ?EFC

P

E C D A F O B

【刷子千题大典第 151 题】
设 PAB 是圆 O 的割线, PC 是切线, CD 是圆 O 的直径, DB 、 OP 相交于 E 。求证: AC ? CE 。
D

E O B

A P C

【刷子千题大典第 152 题】
如图, ?ABC 中, D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点,且 DE // BC , BE 、 CD 交于点 F , ?BDF 的外接 圆⊙ O ,与 ?CEF 的外接圆⊙ P 交于点 G ,求证: ?BAF ? ?CAG 。

A

D F P O B G

E

C

【刷子千题大典第 153 题】
如图,⊙ O 、 ⊙ P 交于 A 、B 两点,BO 、PA 延长线交于点 C ,CD 、CE 分别切⊙ O 、 ⊙ P 于 D 、E , 连接 DE 交 AB 于 F ,求证: F 为 DE 中点。
C

E

A F P

O D B

【刷子千题大典第 154 题】
如图,半径不相等的两圆⊙ O 、⊙ P 交于 A 、 B 两点,过 A 的直线 CD 分别交⊙ O 、⊙ P 于 C 、 D ,CB 延长线交⊙ P 于 F , DB 延长线交⊙ O 于 E ,过 A 作 CD 垂线交 EF 中垂线于 G ,求证:

AG 2 ? EG 2 ? AC ? AD

D

A C O B E P

F G

【刷子千题大典第 155 题】
如图, ?ABC 内接于⊙ O , D 为 BC 中点, AD 交⊙ O 于 E ,过 E 作 EF // BC ,交⊙ O 于 F ,过 C 作 CG ? AC ,交 AE 于 G 。求证: ?AGC ? ?FGC 。

A

O

D B G E F C

【刷子千题大典第 156 题】
如图, ?ABC 内切圆⊙ I 切 BC 于 D ,过 I 作 IE // AD 交 BC 于 E ,过 E 作⊙ I 切线,分别交 AB 、 AC 于 F 、 G 。求证: E 为 FG 中点。

F

B D E

I

A

G

C

【刷子千题大典第 157 题】
如图,如图,⊙ P 、⊙ Q 交于 A 、 B 两点,它们的外公切线 CD 分别切⊙ P 、⊙Q 于 C 、 D , E 为 BA 延

EC 交⊙ P 于 F , ?FCH ? ?GDH 。 长线上一点, 求证: ED 交⊙ Q 于 G ,AH 平分 ?FAG 交 FG 于 H 。
E

C F A P H B

D

Q

G

【刷子千题大典第 158 题】
如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, I 、 E 分别为 ?ABC 的内心和一个旁心, ?BAC 的外角平分线交 BC 延长 线于 D , IF ? DE 于 F ,交⊙ O 于 G 。求证: G 为 IF 中点。
A

O B

I

C G

D

F

E

【刷子千题大典第 159 题】
如图,在锐角 ?ABC 中, ?B ? ?C , F 是 BC 的中点, BE 、 CD 是高。 G 、 H 分别是 FD 、 FE 的中 点,若过 A 且平行于 BC 的直线交 GH 于 I 。求证: IA ? IF .

A I E

D H G B F C

【刷子千题大典第 160 题】
如图, D 是 ?ABC 边 BC 上一点, ?DAC ? ?ABD ,⊙ O 过点 B 、 D 分别交 AB 、 AD 于 E 、 F ,直 线 BF 交 DE 于 G , M 是 AG 中点。求证: CM ? AO 。

A

E

M F G

O B D

C

【刷子千题大典第 161 题】
如图,如图,CD 为⊙ O 直径, PC 、 PE 分别切⊙ O 于 C 、 E ,割线 PBA 交⊙ O 于 A 、 B , AC 、 BD 交于点 F , DE 交 AB 于 G ,求证: ?GFE ? ?ADE 。
P E B G A F D C

O

【刷子千题大典第 162 题】
如图, O 为 ?ABC 外心, D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点, OF ? DE 于 F , L 、 M 、 N 分别为 DE 、 BE 、 CD 中点。求证: F 、 L 、 M 、 N 四点共圆。

A

D

F L E O M N

B

C

【刷子千题大典第 163 题】
如图, ?ABC 内切圆⊙ I 切 BC 于 D , AE ? BC 于 E , F 为 AE 中点, DF 交⊙ I 于 G ,作 ?BCG 的 外接圆⊙ O ,求证:⊙ O 、⊙ I 相切于点 G 。

A

G F I O B D E C

【刷子千题大典第 164 题】
如图,?ABC 内接于⊙ O ,内切圆⊙ I 分别切 AB 、 AC 于 J 、K , AO 交⊙ O 于 D ,连接 DI ,延长 CA 到 F ,使得 AF ? BJ ,过 F 作 DI 的垂线交 BA 延长线于 G ,求证: AG ? CK 。
F

G

A J K O B I

C

D

【刷子千题大典第 165 题】
如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, AD 平分 ?BAC 交⊙ O 于 D , OE // BD 交 AB 于 E , OF // CD 交 AC 于 F , H 为 ?ABC 垂心, HG // AD 交 BC 于 G ,求证: BE ? GE ? GF ? CF 。

A

F E O H

B

G

C

D

【刷子千题大典第 166 题】
如图, 四边形 ABCD 中, AB ? AC ,?ABD 外接圆⊙ O1 交 AC 于 F ,?ACD 外接圆⊙ O2 交 AB 于 E ,

BF 、 CE 交于点 G ,求证:

BG BD 。 ? CG CD
A

E

O1 O2 G

F

B C D

【刷子千题大典第 167 题】
如图, O 为 ?ABC 外心, D 为 ?ABC 内一点,使得 ?DAB ? ?DCB , ?DAC ? ?DCB , E 为 AD 中 点,过 E 作 EF ? AD 交 CB 延长线于 F ,连接 FA 、 FD 、 FO ,求证: ?AFD ? 2?OFC 。
A

E

D O

F

B

C

【刷子千题大典第 168 题】
如图,⊙ O 的内接四边形 ABCD , AB 、 DC 交于点 E , AD 、 BC 交于点 F , ?EFC 的外接圆⊙ P 交 ⊙ O 于 G , AG 交 EF 于 H , HC 交⊙ O 于 I ,求证 AI 、 GC 、 FE 三线共点。

A

O I B N E H F C G D

P

【刷子千题大典第 169 题】
如图,?ABC 中,D 为 BC 中点, 使得 AE ? AF , O 为外心,H 为垂心,E 、F 分别为 AB 、AC 上一点, 且 D 、 H 、 E 三点共线, P 为 ?AEF 外心,求证: OP // HD 。
A

P

O H E

F

B

D

C

【刷子千题大典第 170 题】
如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O , E 为四边形内一点,使得 ?EAB ? ?ECO , ?EBA ? ?EDC ,过点 E 的直线 FG 平分 ?BEC ,交⊙ O 于 F 、 G 两点,求证: EF ? EG 。

A F

D O E

C G B

【刷子千题大典第 171 题】
如图,在 ?ABC 中, AD 、 BE 、 CF 是三条高线,点 P 为 ?ABC 内部一点, P 关于 BC 、 CA 、 AB 的 对称点分别为 L 、M 、N , 线段 AP 的中点为 G , 求证:D 、E 、G 、F 四点共圆的充要条件为 A 、M 、 L 、 N 四点共圆。
A

G F N P E

M

B

D

C

L

【刷子千题大典第 172 题】
如图,⊙ O1 、⊙ O2 半径分别为 r1 、 r2 ,⊙ O1 、⊙ O2 交于 A 、 B 两点, P 为平面上一点, PC 切⊙ O1 于

C , PD 切⊙ O2 于 D ,且

PC r1 ? ,求证: ?PCA ∽ ?PBD 。 PD r2
P

C

A D O2

O1

B

【刷子千题大典第 173 题】
如图, I 是 ?ABC 内心, E 为 BC 中点, F 为弧 BC 中点, EF 中点为 N , BI 中点为 M , MN 交 BC 于 D ,连接 AD ,求证: M 为 ?ABD 内心。
A

O M E B D N F

I

C

【刷子千题大典第 174 题】
如图,⊙ O 为 ?ABC 的外接圆, AF 平分 ?BAC 交⊙ O 于 F , H 为 ?ABC 的垂心, CE ? AB 于 E , BD ? AC 于 D , ?ADE 的外接圆⊙ P 交⊙ O 于 G 。 GF 交 BC 于 I ,求证: IH 平分 ?BHC 。

A E P H D G

O

B

I

C

F

【刷子千题大典第 175 题】
在 ?ABC 中,O 为外心,三条高 AD 、 BE 、CF 交于点 H ,直线 ED 和 AB 交于点 M ,直线 FD 和 AC 交于点 N ,求证: (1) OB ? DF ; (2) OC ? DE ; (3) OH ? MN 。

N

M A F H E

O B D C

【刷子千题大典第 176 题】
?BAC ? ?AED ? 90? , CE , 如图,?ABC 和 ?ADE 均为等腰直角三角形, 连接 BD 、 取 CE 的中点 F ,
连接 DF 、 BF ,求证: S?BDF =

1 ?S?ABC ? S?ADE ? 3S?ACE ? 。 2
C

F

E

A

D

B

【刷子千题大典第 177 题】
如图, ?ABC 中,旁切圆⊙ P 分别切 CB 、 CA 延长线于 D 、 E ,旁切圆⊙ Q 分别切 BC 、 BA 延长线于

F 、 G , DE 、 FG 分别交 PQ 于 M 、 N , BN 、 CM 交于点 L ,求证: AL 平分 ?BAC 。

E G P M A N

Q

L

D

B

C

F

【刷子千题大典第 178 题】
如图,平行四边形 ABCD 中, E 、 F 分别为 AD 、 CD 上一点, AF 、 CE 交于点 G , ?AEG 的外接圆 ⊙ O 与 ?CFG 的外接圆⊙ P 交于点 H ,连接 BG 、 DH ,求证: ?GBA ? ?HDA。

A

E G O P H F

D

B

C

【刷子千题大典第 179 题】
如图, PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B , PCD 为⊙ O 一条割线,过 C 作 CF // PB ,交 AB 于 E ,交 BD 于 F ,求证: E 为 CF 中点。
A

P C E

O

D F

B

【刷子千题大典第 180 题】
如图,H 为 ?ABC 垂心,D 为 BC 中点, 过 H 作 EF ? DH 分别交 AB 、 AC 于 E 、F , 求证:H 为 EF 中点。

A

E

H

B

D

C F

【刷子千题大典第 181 题】
如图,锐角 ?ABC 中, AB ? AC ,且 D 、 E 在边 BC 上,满足 BD ? CE ,若在 ?ABC 内存在点 P 满足 PD // AE ,且 ?PAB ? ?EAC ,求证: ?PBA ? ?PCA 。
A

P

B

D

E

C

【刷子千题大典第 182 题】
如图, AB 为半圆 O 的直径, OC ? AB , C 在圆上, P 是 BA 延长线上一点, PD 切⊙ O 于 D , PE 平 分 ?DPB ,分别交 AC 、 BC 于 E 、 F ,求证: ?EOF ? 90? 。

C D F E

P

A

O

B

【刷子千题大典第 183 题】
如图, PA 为⊙ O 的切线, PBC 为⊙ O 的割线, AD ? OP 于点 D , ?ADC 的外接圆与 BC 的另一个交 点为 E ,求证: ?BAE ? ?ACB 。

A

I P B E C O

D

【刷子千题大典第 184 题】
如图,平行四边形 ABCD 中, CE ? AB 于 E , CF ? AD 于 F , EF 交 BD 于 G ,求证: GC ? AC 。
G

A

F D

E

B

C

【刷子千题大典第 185 题】
如图, ?ABC 内接于⊙ O ,AD ? BC 于 D ,AD 交 CO 于 E ,F 为 AE 中点,FO 交 BC 于 H , CG ? AO 于 G ,求证: B 、 H 、 O 、 G 四点共圆。
A

F G O E B H D C

【刷子千题大典第 186 题】
如图, I 是 ?ABC 内心, A 关于 BI 的对称点是 K , E 为 BC 中点, F 为 BC 中点 EF 中点为 N , BI 中 点为 M , MN 交 BC 于 D ,求证: A 、 K 、 D 、 M 四点共圆。

A

O M E B D N F

I

C

K

【刷子千题大典第 187 题】
如图, H 为 ?ABC 的垂心, D 为 CH 中点, BE ? AD 于 E ,证明: B 、 C 、 E 、 H 四点共圆。
A

H

E

D B C

【刷子千题大典第 188 题】
C, ?AMC O2 外切与点 M 。 已知 ?ABC , 内心为 I , 圆 O1 与边 AB 、BC 相切, 圆 O2 过 A 、 且 O1 、 求证:
的平分线过点 I 。
A

B O1

M

I

O2

C

【刷子千题大典第 189 题】
如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, D 为弧 BAC 中点, E 为弧 BC 中点, CF ? AB 于 F ,连接 EF ,过 F 作 FG ? EF 交 DA 延长线于 G ,求证: CG ? CD 。
D

A

F O

G B C

E

【刷子千题大典第 190 题】
如图,如图, A 、 B 、 C 为⊙ O 上三点,过 C 作 DC ? AC 交 AB 延长线于 D ,过 D 作 DE ? AO 交⊙

O 于 F ,交 AC 于 E ,过 B 、 E 、 F 三点的圆为⊙ P ,过 C 、 D 、 F 三点的圆为⊙ Q ,求证:⊙ P 与
⊙ Q 外切于点 F 。
D

Q B P A O E C F

【刷子千题大典第 191 题】
如图,如图, ?ABC 中, D 、 E 、 F 分别为 BC 、 CA 、 AB 中点,过 E 作 EM ? AC 交 AD 于 M ,过 F 作 FN ? AB 交 AD 于 N , EM 、 FN 交于点 O , CM 、 BN 交于点 K ,求证: OK ? AK 。

A

F M O N K

E

B

D

C

【刷子千题大典第 192 题】
如图, ?ABC 中, D 为 BC 中点,⊙ O 过 A 、 C 两点,且切 DA 于 A ,延长 BA 交⊙ O 于 E , CE 延长 线交 DA 于 F ,求证: FO ? BC 。
F

E

A

O

B

D

C

【刷子千题大典第 193 题】
如图,AB 为⊙ O 直径,CB 切⊙ O 于 B ,D 为弧 AB 上任一点,CD 交⊙ O 于 F ,AD 、OC 交于点 E , 连接 EB 、 FB ,证明: EB ? FB 。

E

C D F

A

O

B

【刷子千题大典第 194 题】
如图,正方形 ABCD 与正方莆 EFGH , EF 交 AB 于 J , FG 交 BC 于 K ,GH 交 CD 于 L , HE 交 DA 于 I ,求证: IK ? JL 。
H

A

I

D L

E

G

J B K C

F

【刷子千题大典第 195 题】
如图,⊙ P 、⊙ Q 交于 A 、 B 两点,它们的外公切线 CD 分别切⊙ P 、⊙ Q 于 C 、 D , E 为 BA 延长线

EC 交⊙ P 于 F , FG 分别交⊙ Q 、 N, ?FCM ? ?GDN 。 上一点, ⊙P于M 、 求证: ED 交⊙ Q 于 G ,
E

D

C A

F

P M B N

Q G

【刷子千题大典第 196 题】
如图, 等腰 ?ABC 中,AB ? AC ,E 为 AC 中点,D 为 BC 上一点, 使得 BD ? 2CD ,DF ? BE 于 F , 连结 CF ,求证: ?EFC ? ?ABC 。
A

E

F

B

D

C

【刷子千题大典第 197 题】
如图, ?ABC 中, D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点,且 DE // BC , BE 、 CD 交于点 F , O 、 P 、 Q 、

R 分别为 ?ADF 、 ?AEF 、 ?BDF 、 ?CEF 外心,求证: O 、 P 、 Q 、 R 四点共圆。
A

P O D E

F

B Q R

C

【刷子千题大典第 198 题】
如图, ?ABC 旁切圆⊙ I 分别切 BC 、 AB 、 AC 于 D 、 E 、 F , ED 、 FD 分别交 AI 于 M 、 N , G 为 BC 中点, H 为 A 在 BC 上的垂足,求证: G 、 N 、 H 、 M 四点共圆。

A

M B E N D G H C

F I

【刷子千题大典第 199 题】
如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O , AB 、 DC 交于点 E , AD 、 BC 交于点 F ,点 G 为 EF 中点, AG 交 ⊙ O 于 K ,求证: C 、 K 、 F 、 E 四点共圆。
A

O

D B C E G F K

【刷子千题大典第 200 题】
如图, AB 为半⊙ O 直径, CA ? AB 于 A , DB ? AB 于 B , EC 、 ED 分别为半⊙ O 的两条切线, OF ? CD 于 F ,连接 EF ,求证: ?EFD ? ?FOB 。
E

C

F D

A

O

B


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