当前位置:首页 >> 理学 >>

概率论与数理统计教程习题(第四章大数定律与中心极限定理)


习题 10(切比雪夫不等式)
一.填空题
1. 设 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E (X ) ? ? , 方 差 D( X ) ? ? 2 , 则 由 切 比 雪 夫 不 等 式 , 得

P( X ? ? ? 3? ) ?

.

2. 随 机 掷 6 枚 骰 子 , 用 X 表 示 6 枚 骰 子 点 数 之 和 , 则 由 切 比 雪 夫 不 等 式 , 得

P(15 ? X ? 27) ?

.

3. 若 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 满 足 , E ( X ) ? ?2 , E (Y ) ? 2 , D( X ) ? 1 , D(Y ) ? 4 ,

R( X , Y ) ? ?0.5 ,则由切比雪夫不等式,得 P( X ? Y ? 6) ?

.

4. 设 X 1 , X 2 ,?, X n ,?是相互独立、同分布的随机变量序列,且 E ( X i ) ? 0 , D( X i ) 一致有 界 (i ? 1,2,?, n,?) ,则 lim P(
n ??

?X
i ?1

n

i

? n) ?

.

二.选择题
1. 若随机变量 X 的数学期望与方差都存在,对 a ? b ,在以下概率中, ( 夫不等式进行取值大小的估计。 ① P(a ? X ? b) ; ② P(a ? X ? E( X ) ? b) ; ③ P( ? a ? X ? a ) ; ④ P( X ? E( X ) ? b ? a) . 2. 随机变量 X 服从指数分布 e(? ) ,用切比雪夫不等式估计 P ( X ? ? ? ① ?; ② ?
2

)可以由切比雪

1

?

)? (

).

③ ? ;
4



1

?

.

1

三.解答题
1. 已知正常男性成年人的血液里,每毫升中白细胞含量 X 是一个随机变量,若 E ( X ) ? 7300, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在 5200 至 9400 之间的概率。 D( X ) ? 7002 ,

2. 如 果 X 1 , X 2 ,?, X n 是 相 互 独 立 、 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 , E( X i ) ? ? ,

D( X i ) ? 8 (i ? 1,2,?, n) .记 X ?

1 n ? X i ,由切比雪夫不等式估计概率 p( X ? ? ? 4) . n i ?1

3. 设 X 1 , X 2 ,?, X n ,?是相互独立、同分布的随机变量序列, E ( X i ) ? 0 , D( X i ) ? ? 2 ,

E ( X i4 ) 存 在 , 且 一 致 有 界 (i ? 1,2,?, n,?) . 对 任 意 实 数 ? ? 0 , 证 明
lim P(
n??

1 n 2 ? Xi ?? 2 ? ?) ? 1. n i ?1

2

11(特征函数)
一.填空题
1. 若随机变量 X 服从正态分布 N (2,4) ,则 P(X ? 3) ? . . . .

P(0 ? X ? 4) ?

, P( X ? 1) ?

2. 若随机变量 X ~ N (?, ? 2 ) ,且 P( X ? c) ? P( X ? c) ,则 c ? 3. 若随机变量 X ~ N (2, ? 2 ) ,且 P(2 ? X ? 4) ? 0.3 ,则 P(X ? 0) ? 4. 若 X 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,记 P(? ? k? ? X ? ? ? k? ) ? ? . 当 ? ? 0.9 时, k ? ,当 ? ? 0.95 时, k ? .

5. 随机变量 X 1 , X 2 相互独立,且都服从标准正态分布,记 Y ? 2 ? 3 X 1 ? 4 X 2 , 则 Y 概率密度 f Y ( y) ? .

二.选择题
6. 若随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立,且 X i ~ N (?, ( ) ① ? ;
2

? 2 ) (i ? 1,2,?, n) ,则 D(

1 n ? Xi) ? n i ?1

② n? ;
2

③ ? /n;
2

④ ? /n .
2 2

2 7. 若随机变量 X , Y 相互独立,且都服从正态分布 N (?, ? ) .设 ? ? X ? Y , ? ? X ? Y ,则

cov( , ?) ? ( ?
① 2? ;
2

). ② 1;
2

③ ? 1;
2

④ 0.

8. 若随机变量 X , Y 满足 X ~ N (1, 3 ) ,Y ~ N (0, 4 ) , R( X , Y ) ? ?1 / 2 ,则 D( ( ). ① 5; ② 4; ③ 3; ④ 2.

X Y ? )? 3 2

3

三.解答题
1. 某种电池的寿命 X (单位: h )服从正态分布 N (300 352 ) .(1)求寿命大于 250 小时的 , 概率, (2)求 x ,使寿命在 300 ? x 之间的概率不小于 0.9.

2. 测量某一目标的距离时,随机误差 X ~ N (0, 402 ) (单位: m ). (1)求 P( X ? 30) , (2)若作三次独立测量,求至少有一次测量误差的绝对值不超过 30 米的概率。

3. 一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售, 使用寿命 X (单位: 与销售单价 Y (单 年) 位:元)关系如下: X Y 若 X~N(5, 4), 求平均售价。 X<2 1500 2≤X<4 2000 4≤X<6 2500 X≥6 3000

4. 若随机变量 X ~ N (0, 1) ,设 Y ? e ,求随机变量 Y 的概率密度 f Y ( y) .
X

4

12(中心极限定理)
一.填空题
1. 若 随 机 变量 X 与 Y 相 互 独立, 且 都 服从 标 准正 态分布 , 则 ( X , Y ) 的 联 合 概率 密度为

f ( x, y) ?
2. 若二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

.

1 ? 3[( x?1) f ( x, y) ? e 3?
则 D(X ) ? , D(Y ) ?

2

2

?

( x ?1)( y ? 2) ( y ? 2) 2 ? ] 3 3

, (?? ? x ? ??, ?? ? y ? ?)
.

, R( X , Y ) ?

3. 若 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 B(10000 0.8) , 由 中 心 极 限 定 理 , 有 ,

P( X ? 8000 ? 40) ?
二.选择题

.

1. 若二维随机变量 ( X , Y ) 服从二元正态分布 N (? x , 与 Y 不相互独立的( ① 充分且必要; ③ 必要但不充分; )条件。

2 2 ? y ,? x , ? y , r) ,则 X 与 Y 不相关是 X

② 充分但不必要; ④ 即不充分也不必要.

2. 若随即变量序列 X 1 , X 2 ,?, X n ,?相互独立,且都服从参数为 ? 的泊松分布 P (? ) ,当 X ? ( )时. lim P ( X ? x ) ? ? ( x ) .(其中 ? (x ) 为标准正态分布的分布函数).
n ??

? X i ? n?

i ?1

n

?X
; ②
i ?1

n

i

? n?


n

n?

? X i ? n?

i ?1

n

?X
; ④
i ?1

n

i

? n?
.

n?

n?

三.解答题
5

1.

30 个独立使用的电子元件,它们的寿命 Ti 都服从指数分布,且每个元件的平均寿命都为

100(h) ,其使用情况是:一个损坏后,另一个立即起用。记 T ? (h)的概率。

?T
i ?1

30

i

,求总寿命 T 超过 3500

2. 如果计算机在进行加法运算时,对每个加数取整,若每个加数产生的误差 X i 是相互独立,且 服从区间 (?0.5, 0.5) 上的均匀的随机变量。 (1) 求将 1500 个数相加时,误差总和的绝对值超过 15 的概率, (2) 问最多几个数相加,可使误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 90%.

3. 某车间有 200 台独立工作的机床,同一时刻只有 60%的机床在开动。每台机床开动时耗电量 为 E,问至少要供给该车间多少电能才能以 99.9%的概率保证车间不因供电不足而影响生产。

6


相关文章:
概率论与数理统计答案 第四章 大数定律与中心极限定理
概率论与数理统计 第5章... 8页 10财富值 概率论与数理统计教程习题... 6...第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 设 D (x ) 为退化分布: ?1 x > 0...
概率论与数理统计教程(茆诗松)
概率论与数理统计教程(茆诗松)_数学_自然科学_专业资料。2004 年 7 月第 1...??, ?? . 第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 特征函数 4.1.1 特征函数...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒版)
第一章 事件与概率 、 第二章 离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 成立,结论得证。 今日推荐 ...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版) 隐藏>> 第一章 事件与概率 ...离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 成立,...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)_理学_高等教育_教育专区。很...离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 成立,...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)
第一章 事件与概率 第二章 离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 成立,结论得证。 今日推荐 ...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)_免费...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版) 很有用的哦很有用的哦隐藏>...离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 成立,...
《概率论与数理统计》习题 第四章 大数定律和中心极限...
概率论与数理统计教程习... 6页 免费 概率论与数理统计习题(李... 18页 免费...第四章 大数定律和中心极限定理 一. 填空题 1. 设 Yn 是 n 次伯努利试验...
概率论与数理统计 第5章大数定律及中心极限定理习题及...
概率论与数理统计 第5章大数定律及中心极限定理习题及答案_理学_高等教育_教育专区。天津大学出版第5 章 大数定律与中心极限定理一、 填空题: 填空题: 2 1.设...
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)(1)
概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)(1) 数学专业概率课后答案数学...离散型随机变量 第三章 连续型随机变量 第四章 大数定律与中心极限定理 成立,...
更多相关标签: