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专题一---恒成立与存在性问题


(1)恒成立问题 1. ?x∈D,均有 f(x)>A 恒成立,则 f(x)min>A; 2. ?x∈D,均有 f(x)﹤A 恒成立,则 f(x)max<A. 3. ?x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立,则 F(x)= f(x)- g(x) >0

∴ F(x)min >0
4. ?x∈D,均有 f(x)﹤g(

x)恒成立,则 F(x)= f(x)- g(x) ﹤0

∴ F(x) max ﹤0
5. ?x1∈D, ?x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立, 则 f(x)min> g(x)max 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立, 则 f(x) max < g(x) min

(2)存在性问题 1. ?x0∈D,使得 f(x0)>A 成立,则 f(x) max >A; 2. ?x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立,则 f(x) min <A 3. ?x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立,设 F(x)= f(x)- g(x)

∴ F(x) max >0
4. ?x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立,设 F(x)= f(x)- g(x)

∴ F(x) min <0
5. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立, 则 f(x) max > g(x) min 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得 f(x1) <g(x2)成立, 则 f(x) min < g(x) max

(3)相等问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得 f(x1)=g(x2)成立, 则{ f(x)} ? {g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题 1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立, 则 f(x)min> g(x) min 2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得 f(x1) <g(x2)成立, 则 f(x) max < g(x) max (5)恰成立问题 1. 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D; 2.若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.

1.已知函数f ( x) ? ax ? ln x?a ? R ? (1)求f ( x)的单调区间; 使得f ( x1 ) ? g ( x2 ), 求a的取值范围。

练习

(2)设g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2, 若对任意x1 ? (0,??), 均存在x2 ? [0,1],

若本题( 2)条件改为:对任意 x1 ? (0,??), 使得任意的x2 ? [0,1] 都有f ( x1 ) ? g ( x2 )求a的取值范围

5.若函数y=x 3-ax 2+4在 ? 0, 2 ?内单调递减, 则实数a的取值范围为   .

解析: 因为函数y=x3-ax 2+4在 ? 0,2 ?内单调 递减,所以y?=3x 2-2ax ? 0在 ? 0,2 ?内恒成立, ? y |x=0 =0 ? 0 所以 ? ,所以a ? 3. ? y |x=2 12-4a ? 0

2.已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx- 2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为__________.
押题依据 本题以不等式恒成立为背景,考查了函数的导 数,函数的单调性和奇偶性.突出考查了转化与化归的能 力.难度稍大,有较好的区分度,故押此题.
押题级别 ★★★★★

解析 ∵f′(x)=3x2+1>0 恒成立, 故 f(x)在 R 上是增函数. 又 f(-x)=-f(x),∴y=f(x)为奇函数. 由 f(mx-2)+f(x)<0 得 f(mx-2)<-f(x)=f(-x), ∴mx-2<-x,mx-2+x<0 在 m∈[-2,2]上恒成立. 记 g(m)=xm-2+x, ? ? ?g(-2)<0, ?-2x-2+x<0, 则? 即? ? ? ?g(2)<0, ?2x-2+x<0, 2 得-2<x< . 3
答案
? 2? ?-2, ? 3? ?

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(2)(2011· 湖南高考)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x- 3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为 A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3]

[答案] B (

)

B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

[例 2]

(2011· 淄博模拟)若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0 对 ( ] )C [答案

一切 x∈(0,2]恒成立,则 a 的取值范围为 1- 3 A.(-∞, ] 2 1- 3 1+ 3 C.(-∞, ]∪[ ,+∞) 2 2

1+ 3 B. [ ,+∞) 2 1- 3 1+ 3 D.[ , ] 2 2

3 x 2.设函数 f(x)=x -1,对任意 x∈[ ,+∞),f(m)-4m2f(x)≤f(x 2
2

-1)+4f(m)恒成立,求实数 m 的取值范围

3 [解析] ∵f(x)=x2-1,x∈[ ,+∞), 2 x 3 f( )-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)对 x∈[ ,+∞)恒成立. m 2 x 即( )2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)恒成立. m 即( -2x-3 1 1 2 2 2 恒成立. 2-4m -1)x +2x+3≤0 恒成立.即 2-4m -1≤ m m x2

-2x-3 3 2 1 2 1 1 1 g(x)= =- 2- =-3( 2+ )=-3( + )2+ . 2 x 3 x x x x 3x 3 3 1 2 1 2 8 ∵x≥ ,∴0< ≤ ,∴当 = 时,g(x)min=- . x 3 x 3 2 3 ∴ 1 8 2 4 2 2 2 2-4m -1≤- .整理得 12m -5m -3≥0,(3m +1)(4m -3)≥0. m 3 3 3 或 m ≤- . 2 2

∵3m2+1>0,∴4m2-3≥0.即:m≥

(2)已知f(x)=lnx: ①设F(x)=f(x+2)2x ,求F(x)的单调区间; x ?1

②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1], x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.

【解题指南】

(2)由题意只需解不等式F′(x)>0和F′(x)<0即可得到单调区
间;原不等式恒成立可转化为 ln x ? 1 ? 3ma ? 4 ? m 2 恒成立,进一
2x ? 1

步转化为 (ln x ? 1 ) max ? (3ma ? 4 ? m 2 ) min 成立.
2x ? 1

(2)①F(x)=ln(x+2)- 2x

x ?1

定义域为:
(-2,-1)∪(-1,+∞).

F′(x)=

1 2(x ? 1) ? 2x 1 2 ? ? ? x?2 (x ? 1) 2 x ? 2 (x ? 1) 2

(x ? 1) 2 ? 2(x ? 2) x2 ? 3 = ? , 2 2 (x ? 2)(x ? 1) (x ? 2)(x ? 1)

令F′(x)>0,得单调增区间为 (?2, ? 3)和 ( 3, ??) 令F′(x)<0,得单调减区间为 (? 3, ?1) 和 (?1, 3)

②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为:
ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即
x ?1 ≤3ma+4-m2. 2x ? 1 现在只需求y= ln x ? 1(x∈[0,1])的最大值和 2x ? 1 ln

y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值. 因为 x ? 1 ? 1 ?
2x ? 1 2
2x ? 1

1 在[0,1]上单调递减, 2(2x ? 1)

所以y= ln x ? 1 (x∈[0,1])的最大值为0,

而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数,

故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到:
?0 ? ?3m ? 4 ? m 2 ?0 ? 3m ? 4 ? m 2 或? , ? 0 ?3m ? 0 ?3m<

解得0≤m≤1或-1≤m<0,
所以m的取值范围是[-1,1].

[常考题型汇总] [例 1] (1)(2011· 东城模拟)函数
? ?-x+1,x<0, f(x)=? ? ?x-1,x≥0,

, 则 ) C

不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 的解集是 A.{x|-1≤x≤ 2-1} C.{x|x≤ 2-1} B.{x|x≤1}

( [答案]

D.{x|- 2-1≤x≤ 2-1}

1、三种基本形式:
?x-y+2≥0, ? 已知?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0, ? 求:(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的范围. x+1

解:作出可行域如图,并求出顶点
的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9). (1)易知可行域内各点均在直线x+ 2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,将点C(7,9)代入z得最 大值为21.
(2)z=x2+y2-10y+25 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距 离的平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 9 的最小值是|MN| = . 2
2

1 y-?- ? 2 1 (3)z=2× 表示可行域内任一点 (x, y)与定点 Q(-1, - )连线 2 x-?-1? 7 3 3 7 的斜率的两倍,因此 kQA= ,kQB= ,故 z 的范围为[ , ]. 4 8 4 2

2、求参数的取值范围:
[例 3]

?y≥x, ? (2011· 湖南高考)设 m>1, 在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?

下,
A

] 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2, 则 m 的取值范围为([答案)

A.(1,1+ 2) C.(1,3)

B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

变式:

思考: 若目标函数取得最大值的点有无数个,则a 的取值范围

方法技巧 (1)平面区域: 用二元一次不等式(组)表示平面区域.具体步骤是:①画线; ②定“侧”;③求“交”(交集,即公共区域). (2)线性规划问题解题步骤: ①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的一条 l; ②平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置; ③求值——解有关方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标 函数,求出目标函数的最值.
易误提醒 作图——重要准确,整点问题要验证解决.

[常考题型汇总] [例 5] 是 a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 (2011· 陕西高考)设 0<a<b, 则下列不等式中正确的 ( B ) a+b B.a< ab< <b 2 a+b D. ab<a< <b 2

[解析] 法一: 代入 a=1, b=2, 则有 0<a=1< ab= 2< a+b =1.5<b=2. 2 a+b 法二:我们知道算术平均数 与几何平均数 ab的大小关 2 系,其余各式作差(作商)比较即可.

[答案] B

[例 6] 是 7 A. 2 9 C. 2

1 4 (1)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最小值 ( B. 4 D.5

C

)

(2)(2011· 浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+ xy=1, 则x+y的最大值是________.
2 3 [答案] 3

[解析]

1 4 1 1 4 1 b 依题意得 a + b = ( a + b )(a + b) = [5 + ( a + 2 2 ? ?a+b=2, ?b 4a b 4a 9 ? a× b )=2,当且仅当?a= b , ? ?a>0,b>0,

4a 1 b )]≥2(5+2



2 4 1 4 9 即 a= ,b= 时取等号,即a+b的最小值是 . 3 3 2

[答案] C

1 [解析] ∵xy≤ (x+y)2, 4 ∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy 1 3 2 ≥(x+y) - (x+y) = (x+y)2. 4 4
2

4 2 3 2 3 ∴(x+y)2≤ .∴- ≤x+y≤ . 3 3 3 3 2 3 当 x=y= 时,x+y 取得最大值 . 3 3
2 3 [答案] 3

[冲关智囊必备] 知识溯源 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值 是2 p(简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值 p2 是 (简记:和定积最大). 4

方法技巧 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等 技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正 数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的 条件)的条件才能应用,否则会出现错误.而“定”条件往往是 整个求解过程中的一个难点和关键.解题时应根据已知条件适当 进行添(拆)项,创造应用基本不等式的条件.


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