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2014年第30届中国数学奥林匹克


2014年第30届中国数学奥林匹克
王浩杰数学工作室 王浩杰 2065363727@qq.com 2014.12.19

第一天
1. 给定实数r ∈ (0, 1).证明: 若n个复数z1 , z2 , · · · , zn 满足|zk ? 1| |

: :
n n

r(k = 1, 2, · · · , n), 则

zk | · |

k=1

k=1

1 | zk

n2 (1 ? r2 ).

2. 如图, 设A, B, D, E, F, C 依次是一个圆周上的六个点, 满足AB = AC . 直线AD与BE 交于点P , 直

线AF 与CE 交于点R, 直线BF 与CD交于点Q, 直线AD与BF 交于点S , 直线AF 与CD交于点T , 点K 在 SK PQ 线段ST 上, 使得∠SKQ = ∠ACE . 求证: = . KT QR

3. 给定整数n

5,求最小的整数m,使得存在两个由整数构成的集合A, B , 同时满足下列条件: B,

(1)|A| = n, |B | = m, 且A

(2)对B 中任意两个不同的元素x, y ,有:x + y ∈ B 当且仅当x, y ∈ A.

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