数学竞赛辅导2

大成中学高二数学竞赛辅导试卷 2
一、选择题 1 化简三角有理式 A. 1 B.
cos sin
6 4

x ? sin
6

4

x ? sin x ? 2 sin

2 2

x cos x cos

2 2

x x

x ? cos

的值为（

）

sin x ? co s x

C. sin x cos x

D. 1+ sin x cos x
）

2 2 若 p : ( x ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ? 2 ，则 p 是 q 的（

A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ）

3 集合 P={ x x ? R , x ? 3 ? x ? 6 ? 3 }，则集合 C R P 为（ A. { x x ? 6, 或 x ? 3} C. { x x ? ? 6, 或 x ? 3}
? ?

B. { x x ? 6, 或 x ? ? 3} D. { x x ? ? 6, 或 x ? ? 3}
??? ?

O 4 设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。 已知 O P = a ， Q = b ， R =r a +k b . O

?

????

?

??? ?

?

?

若△PQR 为等边三角形，则 k，r 的取值为（ A． k ? r ?
?1 ? 2 1? 2 3 3

）
3 2 ,r ? 1? 2 3

B． k ?

1?

C． k ? r ?

D． k ?

?1 ? 2

3

,r ?

?1 ? 2

3

5 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 AB= 2 BB1，则 CA1 与 C1B 所成的角 的大小是( A．60°
x 5

) B．75°
1

C．90°
), b ? f (lo g ? 1 e ), c ? f (lo g 1
e

D．105°
1

6 设 f ( x ) ? co s ，a ? f (lo g e 系式正确的是（ A． a ? b ? c

?

?

2

)

， 则下述关

） 。 B. b ? c ? a

C.

c? a ?b

D. b ? a ? c

1

7 下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（

）

正视图： 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形
3? 2 2? 3

侧视图： 半径为 1 的 以及高为 1 的矩形
4? 3 3? 4

1 4

圆

俯视图： 半径为 1 的圆

A.

B.

C.

D.

8. 设有算法如下：

如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是（ A. 144 B. 3 C. 0 D. 12

）

二、填空题 9. x ? R , 函数 f ( x ) ? 2 sin
x 2 ? 3 co s x 3

的最小正周期为_________。.

10.设 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 3 6 上一动点，A 点坐标为 ? 20, 0 ? 。当 P 在圆上运 动时，线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为_________。 11.设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D，使得 AD 把△ABC 分成两个 等腰三角形，试求△ABC 的最小内角的取值范围为_________。

2

12.设 z 是虚数， w ? z ?
_________。

1 z

，且 ? 1 ? w ? 2 ，则 z 的实部取值范围为.

13. 设 f ( x ) ? k ( x 2 ? x ? 1) ? x 4 (1 ? x ) 4 。 如 果 对 任 何 x ? [ 0 ,1] ， 都 有
f (x) ? 0

，则 k 的最小值为_________。 .
2

14. 设 p , q ? R ， f ( x ) ? x ? p | x | ? q 。 当函数 f ( x ) 的零点多于 1 个时， f ( x ) 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为_________。 三、解答题

15. 设数列 , , , , , , ? , ,
1 2 1 3 2 1

1 1 2 1 2 3

1

2

k k ?1

,? ,

k 1

,?

，

问： （1）这个数列第 2010 项的值是多少； （2）在这个数列中，第 2010 个值为 1 的项的序号是多少.

3

16. 已知椭圆

x a

2 2

? y

2

? 1( a ? 1) ， R t ? A B C

以 A （0，1）为直角顶点，
27 8

边 AB、BC 与椭圆交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为 值。

，求 a 的

4