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赋值法的应用1


赋值法的应用
摘要: 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值, 从而达到 便于解决问题的目的. 实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想, 本文将通过几道 数学题分别赋值法在解各类数学题中的应用。 关键词:赋值法 导学功能 抽象

一 赋值法的概念。
在解数学题时,人们一般运用逻辑推理方法,一步一步的寻求必要条件,最后求得结论。但 对于有些问题如果我们能根据具体情况,巧妙的,合理的对某些元素进行赋值,这样往往能 找到简捷的解决问题的方法,这就是赋值法。这种方法贯穿于整个数学学习的历程中,对于 解各个阶段的数学题都有巨大的作用。

二 赋值法在代数式中的应用。
2.1 如果题目中关于某个未知数的等式对于任意值或者很多值成立, 则可以运用赋值法为解 题创造条件。

b 例 1 对于一切 x ,分式 7 x + b 总为定值,则 =? 11x + a a 7x + b 总为定值,不妨设 x 为 0,1 分式的值都为定值,则有 11x + a 7×0 +b 7 ×1 + b b 7+b = 即 = 。 11 × 0 + a 11 × 1 + a a 11 + a ∴11b + ab = 7 a + ab
解析 根据题意,分式

Q 11b = 7 a

Q

b 7 = a 11
例 2 已知 ( x ? 1) =a 0 +a 1 x +a 2 x +a 3 x + K a 7 x7 .则 a1 + a3 + a5 + a 7 的值为多少。
7
2 3

解析:因为对于一切 x ,题目中的等式都成立,所以可以在已知等式中令 x = 1 和 x = ?1 ,分别得

a 0 + a1 + a 2 + K a 7 =0, a 0 - a1 + a 2 - K - a 7 = (? 2 ) 。
7




7

由①-②得 2( a1 + a 3 + a 5 + a 7 )=- (? 2 ) ,所以有 a1 + a 3 + a 5 + a 7 = 64

三 赋值法在函数中的应用。
3.1 赋值法在解抽象函数问题中的应用. 例 6 ( 2006 重 庆 高 考 ) 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f (x ) 满 足

f f (x ) ? x 2 + x = f ( x ) ? x 2 + x
(1)若 f (2 ) = 3 ,求 f (1) ;又若 f (0 ) = a ,求 f (a ) ; (2)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) = x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式. 解: (1) 取 x = 2 ,又 f (2 ) = 3 得 f ( f (2 ) ? 2 × 2 + 2 ) = f (2 ) ? 2 × 2 + 2 ,即 f (1) = 1 .又

(

)

f (0) = a ,故 f ( f (0 ) ? 0 2 + 0 ) = f (0 ) ? 0 2 + 0 ,即 f (a ) = a
(2)又满足 f ( x 0 ) = x 0 的实数 x 0 唯一,由 f f (x ) ? x + x = f ( x ) ? x + x .可知,对
2 2

(

)

任 意 x ∈ R 有 f (x ) ? x + x = x0 . 在 上 式 中 令 x = x0 有 f (x0 ) ? x0 + x0 = x0 . 再 代
2

2

f (x0 ) = x0 得 x0 = 0 或 x0 = 1 .
若 x 0 = 0 ,方程 f ( x ) = x 有两个根,故 x ≠ 0 .若 x0=1 则有 f ( x ) = x 2 ? x + 1 易验证,该函数满足题设条件。

3.2 赋值法在判定函数奇偶性和单调性中的应用。 对于解函数问题, 赋值法同样有着重要的应用, 首先我们来看一道判定抽象函数单调性 的问题。 例 3 已知 f ( x + y ) + f ( x ? y ) =2 f ( x ) f ( y ) ,对于一切实数 x , y 都成立,且 f (0 ) ≠ 0 求证 f ( x ) 为偶函数。 分析:由题设可知 x、y 为任意实数,可令 x=0,得 f(y)+f(-y) =2f(0)f(y) ,再令 y=0,得 2f(0)=2f2(0) ,得 f(0)=1;代入 f(y)+f(y)=2f(0)f(y)得 f(-y)=f(y) ,从而判断出 f(x)为偶函数。 证明:令 x=0,则已知等式变为 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)…① 在①中令 y=0,则 2f(0)=2f2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ∴f(y)+f(-y)=2f(y) ∴f(-y)=f(y) ∴f(x)为偶函数. 例 4 :已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,当 x>1 时,f(x)>0, 且 f(xy)=f(x)+f(y) 。 (1)求 f(1) ; (2)证明 f(x)在定义域上是增函数。 分析:求 f(1)的值需要在等式 f(xy)=f(x)+f(y)中构造出含 有 f(1)的等式,只需令 x=y=1 即可;判断抽象函数的单调性的

基本方法是定义法,其关键是根据所给条件判断 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的 符号,多数情况下需要设法构造出 x1 ? x 2



x1 的因式。 x2

解: (1)令 x=y=1,得 f(1)=0。 (2)设 x1 > x 2 >0,则

x1 >1 x2

?x ? ∴ f? 1 ?>0 ?x ? ? 2?
在等式 f(xy)=f(x)+f(y)中令 y = 得 f (1) = f ( x ) + f ? ? = 0

1 x

?1? ? x?

?1? ∴ f ? ? = ? f (x ) ? x?

?x ? ∴ f ? 1 ? = f ( x1 ) + ?x ? ? 2?
即 f ( x1 ) > f ( x 2 )

? 1 f? ?x ? 2

? ? = f ( x1 ) ? f (x 2 ) > 0 ? ?

所以, f ( x ) 在定义域 (0, ∞ ) 上是增函数。 例 7 已 知 函 数 f (x ) 的 定 义 域 在 R 上 , 对 于 任 意 x , y ∈ R 有

f ( x + y ) + f ( x ? y ) = 2 f ( x) f ( y ) ,且 f (0) ≠ 0 .
(1) 求证 f (0) = 1 : (2) 求证 y = f ( x ) 是偶函数: (3) 若存在常数 C 使得 f (

C ) = 0 ,求证:对于任意 x ∈ R 有 f ( x + c) = ? f ( x) ,且 2

y = f ( x) 是周期函数。
分析:显然,此题是一个解抽象函数问题,对于此类问题,已知条件不多,无法得出具体 函数关系式, 只能通过对未知数赋值得到一些函数特殊点的值或者函数关系。 现在看一下 解题过程。

解: (1)要证明 f (0) = 1 我们必须先构造出 f (0) ,对于已知式,我们令 x = y = 0 , 所以有 f (0) + f (0) = f (0) 2 ,又因为 f (0) ≠ 0 ,所以 f (0) = 1 。 (2)要证明此函数是偶函数,我们需要得到关系式 f ( x) = f ( ? x) ,这样我们令

x = 0, y = x , 则有 f ( x) + f ( ? x) = 2 f (0) f ( x) , 所以 f ( x) = f ( ? x) , 所以 y = f (x) 是
偶函数。 (3)我们令 x = x +

C C C C ,y = , 则 f ( x + C ) + f ( x ) = 2 f ( x + ) f ( ) ,所 以 2 2 2 2

f ( x + c) = ? f ( x) 得证。由以上得 f ( x) = ? f ( x + C ) = f ( x + 2C ) ,所以 y = f (x) 是以
2C 为周期的周期函数。 由上述两个例题,我们来看一下如何运用赋值法来解抽象函数: 一般来说, 赋值法解题就是要通过赋值找到已知与未知的联系, 再通过已知得到未知的结 果,具体到每道题中,就需要大家仔细分析,大胆赋值,很多时候都是需要用到 0 和 1 这两个特殊数字,这点需要尤其注意一下,而要求抽象函数奇偶性的时候,就常常用到-1 和 ? x ,而对于求关于抽象函数周期性的时候就需要根据题设条件赋值了,总的来说,赋 值法对于解抽象函数问题十分合适,应用极广。

四 赋值法在几何中的应用。
2.3 赋值法在处理特殊与一般关系题型中的应用 例 5:过点 M(p,0)任作一条直线交抛物线 y 2 =2px(p>0)于

1
P、Q 两点,则

MP
A.

2

+

1 MQ
C.
2

的值为( ) 。

1 4P 2

B.

1 2P 2

2 P2

D.

1 P2

分析:从题设条件中可知过点 M(p,0)的直线具有任意性, 直接解题非常繁琐, 而从选择支中知道结论具有唯一确定性, 因此可用特殊代一般赋予条件以特殊值来求解,就会很简单。 解:取过点 M(p,0)与 x 轴垂直的直线 x=p,则 P( p , Q( p , ?

2p) ,

2p) , + 1 MQ
2

1


MP

2

=

1 1 1 + = 2 ,故选 D. 2 2 2p 2p p

2.4 赋值法在有关二项式中求“系数和”中的应用 例 5:已知 x ? x + 1
2

(

)

2

= a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 ,则 a1 + a 2 + a 3 + a 4 的值为多

少? 分析:从已知条件中可知,等式左侧不是二项式,右侧按 x 的升幂排列,不能从二项式定理 入手,但就等式本身而言, x 是同一值,欲求 a1 + a 2 + a 3 + a 4 ,从右侧可知,当 x=1 时, 可得 a 0 + a1 + a 2 + a 3 + a 4 ,再去掉 a 0 ,这时再令 x=0 就可得出。 解:令 x=0,得 a 0 = 1 , 令 x=1,得 a 0 + a1 + a 2 + a 3 + a 4 =1 ∴ a1 + a 2 + a 3 + a 4 =0.

五 赋值法在分解因式中的应用。
因式分解是多项式进行恒等变形的一种方法. 显然, 多项式和它分解后的结果, 不管字母同 时取什么值, 都应该相等的. 利用这一点,可将一些比较难分解的多项式采用赋值法进行分 解,则会简单得多。 首先我们来看首项系数为 1 的多项式。 例 6:分解因式: x + 6 x + 11x + 6 .
3 2

解 当 x = 10 时,

x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 = 1716,
但常数项是 6,故分解结果中各项常数项之积也应是 6. ∴1716 = 11 ×12 ×13 = ( 10 + 1) ( 10 + 2) (10 + 3) . 现把上式中 10 用 x 回代, 得: x + 6 x + 11x + 6 =
3 2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

.

现在我们来看首项系数不为 1 的多项式。 例 7:分解因式: 6 x + 5 x ? 3 x ? 2 .
3 2

解 取 x = 10,代入多项式,得: 6 x + 5 x ? 3 x ? 2 = 22 ×72 ×3 ×11.
3 2

考虑到首项系数是 6 = 1 ×2 ×3,所以分解方案应写成( 10 ±a) ( 20 ±b) ( 30 ±c) 的 形式, 再注意到常数项- 2 = 1 ×1 ×( - 2) ,所以 22 ×72 ×3 ×11 = 21 ×11 ×28= (20 + 1) (10 + 1) ( 30 - 2) ,再把 10 回代为 x,得: 原式=

(2 x + 1)(x + 1)(3x ? 2)

.

综上可知, 赋值法分解因式的一般步骤是: ( 1) 将多项式中的字母赋一个具体的值(一般取 10) ; ( 2) 算出赋值后多项式的值; ( 3) 把上步算得的结果适当地分解因数,注意各个括号中的后一项(分解结果中各个括号里 的常数项) 之积要等于原多项式中的常数项; ( 4) 把上一步分解因数的结果“赋值”回代为字母,得到问题的答案;

( 5) 检验.

2.7 赋值法在恒成立问题中的应用。
2 例 8 是否存在实数 a,b,c 使得函数 f ( x) = ax + bx + c 对于任意实数 a 均满足下列条件:

(1) f (sin a ) ≥ 2 : (2) f ( 2 ? cos a ) ≤ 2 : (3) f ( 4) ≥ c ,若存在,找出一组数 a,b,c:若不存在,说明理由。 分析:若直接把 sin a , 2 ? cos a ,4 代入原函数化简,方程个数较多,自变量形式复杂,给解 题带来一定难度,注意到题目中对于一切实数均能使等式成立,不妨用赋值为突破口。 解:在(1)中令 sin a = 1 ,则有 f (1) ≥ 2 ,在(2)中令 cos a = 1 ,则有 f (1) ≤ 2 ,

∴ f (1) = 2 ,即 a + b + c = 2 ;由 f (4) ≥ c ,得 4a = b ≥ 0 ,在(2)中令 cos a = ?1 ,
可 得 f (3) ≤ 2 化 简 得 4a + b ≤ 0 , 可 得 b = ?4a , 从 而 得 c = 3a + 2 ,

∴ f ( x) = ax 2 ? 4ax + 3a + 2 = a ( x ? 2) 2 + 2 ? a 。
在(2)中令 cos a = 0 ,有 f ( 2) = 2 ? a ≤ 2 ,∴ a ≥ 0 ,于是当 a ≥ 0 时,上式表示开 口向上,对称轴 x = 2 为抛物线,此时取 a = 1 ,此时 b = 4 , c = 5 ,所得抛物线符合题意。 由上述例子可以看出,赋值法通过巧妙赋值,使问题数值化,直观化,简单化,特殊 化,从而使问题得以很好的解决。赋值法在解题中具有广泛的应用和独特的价值。

三 赋值法的导学作用
3.1 赋值法也叫特殊值法,是用特殊化的思想探析数学问题的一种快速、有效的解题方法,具 有省时、准确、把复杂问题简单化的特点,这尤其体现在选择题和填空题的解答中.由于普遍 性寓于特殊性之中,因而问题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊状态的结论为真,这就 是赋值法解题的理论依据。因而,重视赋值法解题的作用有助于培养学生的解题能力 ,因而 赋值法具有导学功能,它能促进学生思维变通以及灵活运用知识的能力。 3.2 赋值法能够化繁为简 ,可以使很多抽象的问题直观化,可以通过赋值解决一些复杂的 数学问题。

四 结论
赋值法是一种巧妙的解题方法,它对于中小学数学解题有极其重要的作用,作为新一 代教师在教学中要强调数学解题方法的传授, 当然赋值法应用极广, 本文也只是仅仅指出了 赋值法的部分应用,本文只算抛砖引玉,其中有很多不足的地方望读者海涵。 参考文献: [1] 陈传理,张同君,竞赛数学教程【M】 ,北京:北京师范大学出版社,2005. [2] 王兴旺,高考完全解读数学【M】 ,北京:中国青年出版社,2007 [3] 中学生数理化(高中版)杂志编辑部,河南:河南教育报刊社,2006.

[4] 李勇,数学学习与研究(教研版) ,2010 年第 14 期。 [5] 赵春祥,数理化学习(高中版) ,2003 年第 1 期。 [6] http://wuxizazhi.cnki.net/Article/SLHG200301001.html [7] http://wuxizazhi.cnki.net/Article/SXUJ198502006.html [8] http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JYJU201130055.htm [9] 晓岚,初中生必读,2009 年第 12 期 [10] 王彦青,张磊,中学生数理化(高中版) ,2006 年第 11 期


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