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广东省培正中学2012届高三11月月考试题数学文


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2012 年培正中学高三数学(文科)11 月月考题
参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3

2011.11.7

S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 函数 g ? x ? ?
x ? 3 的定义域为

A. ? x x ? ? 3 ?

B. ? x x ? ? 3 ?

C. ? x x ? ? 3 ?

D. ? x x ? ? 3 ?

2.已知 i 为虚数单位, 则复数 z ? i (1 ? i ) 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.设向量 a ? ( 2 , 0 ) , b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是 A. | a | ? | b | B. a ? b ?
2

1 2

C. a // b
2

D. ( a ? b ) ? b

4.已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的 方程为 A. y ? ? 3 x B. y ? C. y ? ?
3 3

3x

x

D. y ?

3 3

x

5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
2


8 .9


8 .9


8 .2

8 .6

3 .5

3 .5

2 .1

5 .6

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是 A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁

6.如果执行图 1 的程序框图,若输入 n ? 6 , m ? 4 ,那么输出的 p 等于 A.720
2

B.360

C.240

D.120 图1

7.“ x ? 2 ”是“ x ? 3 x ? 2 ? 0 ”成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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8.定义 x ? y ? x ? y , 则 h ? ? h ? h ? 等于
3

A. ? h

B. 0
3

C. h D. h 9. 某几何体的三视图如图 1-2 所示,则它的体积为( 2π π A.8- B.8- 3 3 C.8-2π 2π D. 图 1-2 3
?
4

)

10.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

个单位, 图 1-2

沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数
y ? s in x 的图象,则 y ? f
? ?

? x ? 的解析式为
B. y ? s in ? 2 x ?
? ?1 ? 2 ?

A. y ? s in ? 2 x ?
?1 ? 2

? ?

??1 4 ?

? ?

??1 2 ?

C. y ? s in ?

x ?

? ?

??1 4 ?

D. y ? s in ?

x ?

? ?

??1 2 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知等比数列 ? a n ? 的公比是 2 , a 3 ? 3 ,则 a 5 的值是 .

12.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ABC 的面积为________.
?2 , ? 13.设函数 f ? x ? ? ? 2 ?x , ?
?x

x ? ? ? ? ,1? , x ? ? 1, ? ? ? .

若 f ? x ? ? 4 ,则 x 的取值范围是
M B A

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3,四边形 A B C D 内接于⊙ O ,
B C 是直径, M N 与⊙ O 相切, 切点为 A , ? M A B ? 3 5
?

N D

,

O C

则?D ?

.
? x ? 2t, ? y ? 1 ? 4t
图3

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

( t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 s i n ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为

.

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( (1)求 f (
5? 4 ) 的值;
1 3 x ?

?
6

), x ? R

(2)设 ? , ? ? [ 0 ,

?
2

], f ( 3? ?

?
2

) ?

10 13

, f (3 ? ? 2? ) ?

6 5

求 cos( ? ? ? ) 的值.

17.(本小题满分 12 分) 某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数 分布)如下表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80
x

35~50 岁 30 20

50 岁以上 20
y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本 看成一个总体, 从中任取 2 人, 求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以 下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上 的概率为
5 39

,求 x 、 y 的值.

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 、 F 分别为 D D 1 、 D B 的中点. (1)求证: E F //平面 A B C 1 D 1 ; (2)求证: E F
? B1C
1

; 的体积.
A1

D1 B1 E

C1

(3)求三棱锥 V B

? EFC

D F A B

C

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19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 为等差数列,且 a 1 ? 2 , a 1 ? a 2 ? a 3 ? 1 2 . (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 令 b n ? 3 (3)令 c n ?
an

,求证:数列 ?b n ? 是等比数列; ,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 S n .

1 a n a n ?1

20. (本小题满分 14 分)

如图直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?
a x ( a ? R ) , g ? x ? ? ln x .

(1)求函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调区间;
g

(2)若关于 x 的方程

?x?
x
2

? f

?x??

2 e ( e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求 a 的值.

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2012 年培正中学高三数学(文科)11 月月考参考答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 11. 1 2 1 A 2 B 12. 15 3 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 14. 1 2 5
?

8 C

9 A 15.相交

10 B

二、填空题: 13. ? ? ? , ? 2 ? ? ? 2 , ? ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) π? π ?5π ? ?1 5 解:(1)f? ?=2sin? × π - ?=2sin = 2. 6? 4 ? 4 ? ?3 4 10 π 1 π π (2)∵ =f3α + =2sin ×3α + - =2sinα , 13 2 3 2 6 1 π? π? 6 ? ? =f(3β +2π )=2sin? ×? 3β +2π ? - ?=2sin?β + ?=2cosβ , 6? 2? 5 ?3 ? π? 5 3 ? ∴sinα = ,cosβ = ,又∵α ,β ∈?0, ?, 2? 13 5 ? ∴cosα = 1-sin α = sinβ = 1-cos β =
2 2

? 5 ?2 12 1-? ? = , ?13? 13 ?3?2 4 1-? ? = , ?5? 5

3 12 5 4 16 故 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = × - × = . 5 13 13 5 65 17.(本小题满分 12 分) (1) 解: 用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的 人数为 m , ∴
30 50 ? m 5

, 解得 m ? 3 .

?? 2 分

∴ 抽取了学历为研究生 2 人,学历为本科 3 人,分别记作 S1、S2 ;B1、B2、B3 . 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1),(S2, B2), (S2, B3), (S1, S2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个: (S1, B1),(S1, B2),(S1, B3),(S2, B1), (S2, B2), (S2, B3), (S1, S2). ∴ 从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 (2)解: 依题意得:
10 N ? 5 39 7 10

? 4分 . ?? 6 分 ?? 8 分

,解得 N ? 7 8 .

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∴ 35~50 岁中被抽取的人数为 7 8 ? 4 8 ? 1 0 ? 2 0 . ∴

48 80 ? x

?

20 50

?

10 20 ? y

. ? 10 分

解得 x ? 4 0 ,

y ? 5.

∴ x ? 40,

y ? 5.

?? 12 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (1)连结 B D 1 ,在 ? DD 1 B 中, E 、 F 分别为 D 1 D , D B 的中点,则
? ? D 1 B ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ? E F // 平 面 A B C 1 D 1 ??4 分 E F ? 平 面 A B C 1D1 ? ? E F // D 1 B
A1

D1 B1 E

C1

D

C

F ? B A ? B1C ? B D 1 ? B1C ? B C 1 B1C ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ? 2) ?? ? ? E F ? B 1C ? ? E F // B D 1 ? A B , B 1C ? 平 面 A B C 1 D 1 ? B D1 ? 平 面 A B C 1 D1 ? ? A B ? B C1 ? B ?

B1C ? A B

?????.8 分 (3)? C F ? 平 面 B D D 1 B 1 ? C F ? 平 面 E F B 1 ?????.10 分 且
CF ? BF ? 2

? EF ?
B1 E ?
2

1 2

B D1 ?
2

3 , B1 F ?
2

BF

2

? B B1

2

?

(

2) ? 2
2

2

?

6

B1 D 1 ? D 1 E
2

?

1 ? (2
2

2)

2

? 3,

∴ E F ? B1 F
? VB
1

? B1 E

2

? ,即 ? E F B 1 ? 9 0

???12 分

? EFC

? VC ? B 1 3 ? 1 2

1EF

?

1 3

? S ?B

1EF

?CF = 2 ?1

1 3

?

1 2

? E F ? B1 F ? C F

=

?

3?

6 ?

????14 分

19.(本小题满分 14 分)

?y=x+b, 解: (1)由? 2 得 x2-4x-4b=0.(*)…..3 分 ?x =4y 因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以 Δ=(-4)2-4×(-4b)=0…………. 解得 b=-1…………6 分 (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)即为 x2-4x+4=0. 解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1, 故点 A(2,1).………8 分 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,…….11 分
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即 r=|1-(-1)|=2………..12 分
所以圆 A 的方程为(x-2) +(y-1) =4……….14 分 20.(本小题满分 14 分)
2 2

解: (1)∵数列 ?a n ? 为等差数列,设公差为 d ,
由 a 1 ? 2 , a 1 ? a 2 ? a 3 ? 12 ,得 3 a 2 ? 12 , a 2 ? 4 , ∴d ? 2 ,
a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n .

???????? 1 分

???????? 3 分 ???????? 5 分 ???????? 6 分

(2)∵ b n ? 3 ∴
b n ?1 bn ? 9

an

? 3

2n

? 9

n

,

n ?1 n

? 9



???????? 8 分

9

∴数列 ?b n ? 是首项为 9,公比为 9 的等比数列 . (3)∵ c n ?
1 a n a n ?1

???????? 9 分

,an ? 2n ,



cn ?

1 2 n ? 2 ( n ? 1)

?

1 4

(

1 n

?

1 n ?1

)

??????? 12 分

∴ Sn ?

1 4

(1 ?

1 2

)?

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ?? ( ? ) ? (1 ? ) ?? 14 分 4 2 3 4 n n ?1 4 n ?1

21.(本小题满分 14 分) (1)解: 函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ∴F ?x? ? 1?
'

a x

? ln x 的定义域为 ? 0 , ? ? ? .

a x
2

?

1 x

?

x ? x? a
2

x

2

.

① 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即 a ? ?

1 4

时, 得 x ? x ? a ? 0 ,则 F ? x ? ? 0 .
2

'

∴函数 F ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增. ② 当 ? ? 1 ? 4a ? 0 , 即a ? ?
?1 ? 1 ? 4a 2

??2 分
'

1 4

时, 令 F ? x ? ? 0 ,
?1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2

得x ? x ? a ? 0 ,
2

解得 x 1 ?

? 0, x2 ?

.

(ⅰ) 若 ?

1 4

? a ? 0 , 则 x2 ?

?1 ?

? 0 .

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∵ x ? ? 0 , ? ? ? , ∴ F ' ? x ? ? 0 ,∴函数 F ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上单调递增.? 4 分 (ⅱ)若 a ? 0 ,则 x ? ? 0 , ?
? ? ?1 ? 1 ? 4a ? ? 时, F ? 2 ? ? ? 时, F ? ?
'

?x?

? 0;

? ?1 ? 1 ? 4a x? ? , ?? ? 2 ?

'

?x?

? 0,

∴函数 F ? x ? 在区间 ? 0 , ?
?

?

?1 ?

1 ? 4a ? ? 上单调递减, ? 2 ?

在区间 ?

? ?1 ? 1 ? 4a , ?? ? 2 ?

? ? 上单调递增.?? 6 分 ? ?

综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递增区间为 ? 0 , ? ? ? ; 当 a ? 0 时, 函数 F ? x ? 的单调递减区间为 ? 0 , ?
? ? ?1 ? 1 ? 4a , ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 1 ? 4a ? ?, ? 2 ?

单调递增区间为 ?

?? 8 分

(2) 解: 由

g

?x?
x
2

? f

?x??
'

2e , 得

ln x x
2

? x?

a x

? 2 e , 化为

ln x x

? x

2

? 2ex ? a .

令h ? x? ?

ln x x

, 则h ? x? ?

1 ? ln x x
2

' .令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e .

' ' 当 0 ? x ? e 时, h ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h ? x ? ? 0 .

∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0 , e ? 上单调递增, 在区间 ? e , ? ? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ? 而函数 m ? x ? ? x ? 2 e x ? a ? ? x ? e ? ? a ? e ,
2 2 2

1 e

.

?? 10 分

2 当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e ? ? a ? e .

?? 12 分

∴ 当a ? e ?
2

1 e

, 即a ? e ?
2

1 e

时, 方程

g

?x?
x
2

? f

?x??

2 e 只有一个根.?? 14 分

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