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第3讲磁场


专题三 磁场
一、磁感应强度和磁感应通量 二、磁感应强度的计算 三、安培力 载流导体受安培力运动 四、洛仑兹力 电荷受电磁场力的运动

一、磁感应强度和磁感应通量
磁感应强度:

F B? qv sin ?

方向:N

? ? 磁感应通量: ?? ? B ? ?S ? B co

s??S
? ? ??? ? ? B cos??S
均匀场中线圈的磁通:

? ? ? ? B?S

二、磁感应强度的计算
1..毕奥—萨伐尔定律

? ? ?0 I?l ? r ? ?B ? 4? r 2

真空磁导率μ0=4π×10-7(H /m)

例:如图所示,半径为R的圆形载流导线中通有电流强度为I的稳恒电流。求 圆形载流导线轴线上与圆心相距x的p点的磁感应强度。 解:

? ? ? 0 I?l ? r ? ?B ? 4? r 2

? 0 I?l ? 0 IR?l B ? ? ?B// ? ? sin ? ? ? 2 4? r 4? r 3 ? 0 IR ? 0 2 I?R 2 ? ?l ? 3 ? 4? r 4? ( x 2 ? R 2 ) 3 2
? ? ? ?0 ? 0 2m 2m B? ? 3 4? ( x 2 ? R 2 ) 2 4? r 3
令上式中的x=0,得

? ? m ? IS
?0 I
2R

线圈的磁矩

B( x ? 0) ?

例: 电流强度 I 的直线电流外的磁感应强度。 解:取图示电流元,由毕奥—萨伐尔定律得

? ? ?0 I?l ? r ? ?B ? 4? r 2
B 的方向如图所示,B的大小为

?0 I?l ?0 I?l ?B ? sin ? ? cos ? 2 2 4? r 4? r

?l cos ? ? r??

cos ? 1 ? R r
?2



?0 I?l ?0 I ?B ? cos ? ? cos ??? 2 4? r 4? R
2

?0 I ? ?0 I B ? ? ?B ? ? ? sin ? ? 4?R (sin?2 ? sin ?1 ) 4? R ? ?? ? ??
1 1

注: ? sin ?

? sin(? ? ?? ) ? sin ? ? sin ? cos?? ? cos? sin ?? ? sin ? ? cos???

2.安培环路定律:

? ? ? Bk ? ?lk ? ?0 ? I k

几种典型电流分布的磁感应强度公式 ★无限长直线电流I的磁感应强度

? ? ? B ? ?l ? B? ?l ??0 I

2?rB ? ?0 I

?0 I B? 2?r
? ? ? B ? ?l ? B? ?l ??0 I

★无限长载流圆柱体的磁感应强度

2?rB ? ?0 I

? ? ? B ? ?l ? B ? ?l ??0 I ?

?0 I B? 2?r

(r ? R)

?0 Ir 2 2?rB ? ?0 I ? ? 2 R ? 0 Ir (r ? R) B? 2 2?R

I?r 2 I? ? ?R 2

★细长密绕通电螺线管内轴线上的磁感应强度

B ? ?0 nI
式中n是螺线管单位长度上线圈的匝数.
★密绕通电螺绕环内的磁感应强度

B ? ?0 nI
式中n是螺线管单位长度上线圈的匝数. ★电流面密度为JS的无限大均匀载流 平面的磁感应强度

B?

?0
2

JS

三、安培力 载流导体受安培力运动
安培力公式:

? ? ? ?F ? I?l ? B

? ? ? ? F ? ? ?F ?? I?l ? B
载流导体受安培力运动

? ? ? ? F ? ? I?l ? B ? ma
? F ?0 ? F ?0 ? ? ? M ? m? B ? ? ? M ? m? B

? ? ? F ? ? I?l ? B

载流线圈在磁场中安培力:

(均匀场中) (非均匀场中)


取Δl2

? 0 I1 B1 ? 2?d

? ? ? ?F ? I 2?l2 ? B1
?F ?0 I1 I 2 f ? ? ?l2 2?d

? 0 I1 I 2 ?F ? I 2 ?l2 B1 ? ?l2 2?d

? 0 I1 I 2 F? 2?r 2?h


均匀场中曲线电流受的力 等于连接曲线两端的直线 电流受的力

F ? I ( 2 R) B


F?

3IlB

+

非均匀场中载流线圈受力与运动



例:求线框(b>a)所受力和力矩、线框平衡时的θ的值, 并判定平衡的稳定性。 解:

f1 ? f MN ? I 2 2aBMN f 2 ? f OP

?0 I1I 2 ? 2a 2?r1

(1)

? 0 I1 I 2 ? I 2 2aBOP ? 2a 2?r2
2 2 1 2

(2)

r1 ? (a ? b ? 2ab cos ? )
2 2

(3)

r2 ? (a ? b ? 2ab cos ? )

1

2

(4)

f 2 ? f12 ? f 22 ? 2 f1 f 2 cos?

(5)

r ? r ? (2a) cos? ? 2r1r2
2 1 2 2

2

(6)

将(1)、(2)、(3)、(4)、(6)式代入(5)式得

2?0 I1I 2 a 2 2?0 I1I 2 a 2 f ? ? 1 2 2 2 2 2 2 ?r1r2 ? [(a ? b ) ? 4a b cos ? ] 2
f x ? f 2 cos? ? f1 cos ?

(7)

(8) (9)

f y ? f 2 sin ? ? f1 sin ?
F 与 x 夹角为

? ?? ? arct an

fy fx

(10)

a ? sin ? ? sin ? r1 a sin ? ? sin ? r2

b ? a cos? cos ? ? r1 b ? a cos? cos? ? r2

(11)

(12)

将式(11)、(12)代入式(8)、(9),再代入式(10),经化简得

a 2 ? b2 ? ?? ? arct an( 2 t an? ) 2 a ?b
力臂:

(13)

h1 ? b sin ? h2 ? b sin ?

力矩:

?0 I1I 2 ab sin ? sin ? M ? f1h1 ? f 2 h2 ? ( ? ) ? r1 r2 ?0 I1I 2 a 2b sin ? 1 1 2?0 I1I 2 a 2b(a 2 ? b 2 ) sin ? ? ( 2 ? 2)? ? r1 r2 ? [(a 2 ? b 2 ) 2 ? 4a 2b 2 cos2 ? ]
M ? 0时? ? 0或?
(14)

? ? 0时是稳定平衡。

? ? ?时是不稳定平衡。

四、洛仑兹力 电荷受电磁场力的运动
洛仑兹力:

? ? ? F ? q(v ? B) ? ? ? ? F ? q(E ? v ? B)

电荷受电磁场力运动的运动方程:

2? ? ? ? ? d r F ? q( v ? B ) ? ma ? m 2 dt 2? ? ? ? ? d r ? F ? q( E ? v ? B) ? ma ? m 2 dt

m vsin ? R? qB

2?m T ? qB

2?m vcos? h? qB

例 如图示,光滑水平面上有一长为 h 内壁光滑 的空心细管 MN ,在管内 M 端有一质量为 m ,电量为 q (q ? 0) 的带电小球 P1 端外侧则有一不带电的小球 ,在管的 N

P2 。开始时,P1 相对 P2 则以速度 u2 向

管静止,管带着 P1 以垂直于管长度方向的速度

u1

在平面内向右运动,小球

左运动。整个装置放在垂直于水平面向下的均匀磁场 中,其磁感应强度为

B

.如果小球 P1 从管的 N 端离开后,最终能与

P2 相碰,试求满足此要求的
压力忽略不计。) 解

u2 的可能取值。( P1

在管中运动对管的

因 u1 ,小球 P1 受指向N端的洛伦兹力:

F ? qu1B

其沿MN方向的加速度为:

F qu1 B a? ? m m

P1 到达N端时,其沿MN方向的速度和所需时间分别为

2qu1Bh v1 ? 2ah ? m v1 2hm t1 ? ? a qu1 B
小球

? ? ? P1 到达N端的合速度为: u ? v1 ? u1

v12 2qBh 2 2 u ? v1 ? u1 ? u1 1 ? 2 ?u 1 ? u1 mu1 1
v1 2qBh tan ? ? ? u1 mu1

P1 离开管N端所受洛伦兹力合其作圆周运动,回旋半径和周期分别为

m u2 quB ? R
(2? ? 2? ) ? 2k?

mu R? qB

2?m T? qB

P1 和 P2 在图示圆轨道上相遇,故 P1 转过的圆心角和所需时间分别为

(k ? 0,1,2,? ? ?)
(k ? 0,1,2,? ? ?)

2? ? 2? ? t2 ? T ? kT ? ( K ? 1 ? )T 2? ?
两小球相遇时

P2 运动的时间和经过的路程分别为为

2hm ? 2?m t ? t1 ? t2 ? ? (K ? 1 ? ) qu1B ? qB

(k ? 0,1,2,? ? ?)

2m u v1 2hm u2t ? 2 R sin ? ? u1t1 ? ? u1 qB u qu1 B 2m 2qu1 Bh 2hu1m ? ? ? qB m qB 2hu1m qB

1 2hu1m u2 ? ? t qB hu1

2hu1m qB 2hm ? 2?m ? (k ? 1 ? ) qu1 B ? qB

?

h 2m ? [(k ? 1)? ? ? ] u1 qB

(k ? 0,1,2,? ? ?)

例 如图所示,长方形磁极的长度L远大于两极间距。除边缘外,两极间的
磁场是均匀磁场,磁感应强度为B0,边缘部分磁感应线弯曲(如图)。取如

图所示o-xyz坐标系。电量为q(>0)的带电粒子从x =x0处以平行于z轴的初始
动量p0(p0>>qB0L)从磁极左侧射入场区。试求: (1) 粒子通过场区后,在YZ平面 上的小偏转角θy; (2) 试证明粒子通过场区后,在XZ平面上的小偏转角近似为 ? x ? (3)在X轴上取一段直线
2 ? x0? y



L

x 0 ? x ? ? x0

,设有一束粒子(电量均为q、

初始动量均为P0)从此段直线上各点出发射向场区。忽略粒子间的相互作
用。试证明这些粒子将会聚在Z轴的某点处,该点与磁极右侧面的间距称为

焦距f,试导出f的表达式。

例(28复) 空间某区域内有存在匀强电场和 匀强磁场,在此区域建立直角坐标系O-xyz, ? 如图所示。匀强电场 沿 x 方向 , E ? E i , ? ? 1 0 ? 匀强磁场沿 z 方向, B ? B k , E 、B 1 0 0 0 为已知常量, i 、k 分别为 x 方向和 z方向的 ? ? 单位矢量。 1. 有一束带电量都 是q 、质量为 m 的粒子 , 同时从O yz 平面内的某点射出,它的初速度 均在 O yz 平面内,速度的大小和方向都不同。 问经过多少时间这些粒子又能同时回到O yz 平 面内。 2. 现在该区域再增加一个沿 z 方向的随时间变化的匀强电场,电场强度 ? ? 。若有一电荷量为正 q 、质量为 ? ? qE0 / m E ? (E cos?t )k ,式中
m 的粒子,在 t =0 時刻从坐标原点射出,初速度 v0在Oyz 平面内,试求 以后粒子的坐标随时间变化的规律。(不计重力、带电粒子间互作用,也 不考虑 变化的电场产生的磁场。
2 0

解:

1. 设粒子的初速度为 v0y 和 v0z,粒子受的力无 Z 分量,粒子沿

Z 方向以v0z 作匀速运动。把粒子在 Y 方向的初速度表示为

v0 y ? ?v0 y1 ? (v0 y ? v0 y1 ) ? ?v0 y1 ? v0 y 2


f Bx ? ?qv0 y1B0
令 f Bx ? f Ex ? 0

f Ex ? qE0
则 v0 y1 E0 ? B0

这样粒子的一个分运动是以 v0 y1

沿负Y 方向运动。

v0 y 2

受磁场力使粒子作Oxy内圆周运动,则有
2 v0 y 2

r 2?r 2?m T? ? v0 y 2 qB0

qv0 y 2 B0 ? m

r?

m v0 y 2 qB0
回旋 频率

回至 YZ平 面的时间

2? qB0 ?0 ? ? T m

2. E 2在Z方向 ,对XY平面内的运动无影响。现有

qE 0 maz ? qE2 ? qE0 cos?t az ? cos ?t m d 2z m 2 ? qE0 cos?t dt qE0 dz ?? sin ?t ? v0 z (t ? 0 vz ? v0 z ) dt m? 1 qE0 1 qE 0 z ? v0 z t ? 2 cos ?t ? 2 ? m ? m
由右图知

E0 qB0 m x ? r (1 ? cos?0t ) ? (v0 y ? )(1 ? cos t) qB0 B0 m

E0 E0 qB0 m y ? ?v0 y1t ? r sin ?0t ? ? t ? (v0 y ? ) sin t B0 qB0 B0 m

题解法二

(1)

d 2x m 2 ? qE0 ? qvy B0 dt d2y m 2 ? ?qvx B0 dt d 2z m 2 ? qE0 cos?t dt qE0 dz ?? sin ?t ? v0 z (t ? 0 vz ? v0 z ) dt m? qE 0 z ? v0 z t ? cos ?t ? k 2 m? (5) qE0 k? m? 2

(2)

(3) 由(3)积分一次得 上式积分一次得

由(2)式得

qB0 dy ?? x ? c1 , dt m
2

当t
2 2 0

? 0时,x ? 0, 故 c1 ? v0 y ,则

q B d x m 2 ? qE0 ? (? x ? qB0v0 y ) dt m
2 q 2 B0 q B qB0 d x qE0 2 令 ? ?0 ? ? (? 2 x ? v0 y ) 2 m2 dt m m m (4)式齐次方程的通解为: x ? A sin ? t ? A cos? t 1 1 0 2 0
2 2 2 0

(4)

特解为:

m E0 m v0 y x2 ? ? 2 qB0 qB0

m E0 m v0 y x ? x1 ? x2 ? A1 sin ?0t ? A2 cos?0t ? ? 2 qB0 qB0

mE0 mv0 y t ? 0时,x ? 0 , vx ? 0, 故A2 ? ?( 2 ? ), A1 ? 0 qB0 qB0 2? 2? 2?m T? ? ? ?0 qB0 qB0 m
E0 m x? (v0 y ? )(1 ? cos?0t ) qB0 B0
(6)式求时间导数代入(2)式得 (6)

E0 d2y ? ??0 (v0 y ? ) sin ?0t 2 dt B0

7)

E0 d2y ? ??0 (v0 y ? ) sin ?0t 2 dt B0
E0 t ? 0,? v y ? v0 y ,? c2 ? ? B0

E0 dy ? (v0 y ? )cos?0t ? c2 dt B0 E0 E0 dy ? (v0 y ? )cos?0t ? dt B0 B0

E0 1 E0 y ? (v0 y ? ) sin?0t ? t ? c3 B0 ?0 B0

t ? 0,? y ? 0,?c3 ? 0
E0 E0 m y?? t? (v0 y ? )sin?0t B0 qB0 B0
(7)


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