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第二章第3讲函数的奇偶性与周期性


第 3 讲 函数的奇偶性与周期性

1.函数的奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 关于 y 轴 偶函数 那么函数 f(x)是偶函数 对称 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 关于原点 奇函数 那么函数 f(x)是奇函数 对称 2.奇(偶)函数的性质 奇函

数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反(填“相同”“相反”). 3.周期性 周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值 时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 奇偶性

1.在公共定义域内 (1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. (2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数. (3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. 2.若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 3.判断函数奇偶性的前提条件是:函数的定义域 I 必须关于原点对称. 4.奇、偶函数的等价性

1 1.(必修 1 P35 例 5(3)改编)函数 f(x)=x+ +1,f(a)=3,则 f(-a)的值为( x A.-3 B.-1 C.1 D.2 1 1 解析:选 B.由题意得 f(a)+f(-a)=a+ +1+(-a)+ +1=2. a -a ∴f(-a)=2-f(a)=-1,故选 B.

)

1 2.(必修 1 P35 例 5(4)改编)函数 f(x)= 2的大致图象为( x

)

解析:选 D.∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上为减函数, 1 1 又∵f(-x)= = 2=f(x), ?-x?2 x ∴f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,故选 D. 3.(必修 1 P39 A 组 T6 改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1 +x).则 x<0 时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x(1+x) B.f(x)=x(1-x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1) 解析:选 B.法一:由题意得 f(2)=2×(1+2)=6. ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-2)=-6. 经验证,仅有 f(x)=x(1-x)时,f(-2)=-6.故选 B. 法二:当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=-x[1+(-x)] 又 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=-x(1-x), ∴f(x)=x(1-x),故选 B. 4.(必修 1 P39 B 组 T3 改编)已知函数 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,且在区间 [a,b](a<b<0)上的值域为[-3,4],则在区间[-b,-a]上( ) A.有最大值 4 B.有最小值-4 C.有最大值-3 D.有最小值-3 解析:选 B.法一:根据题意作出 y=f(x)的简图,由图知,选 B.

法二:当 x∈[-b,-a]时,-x∈[a,b], 由题意得 f(b)≤f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4, ∴-4≤f(x)≤3,即在区间[-b,-a]上 f(x)min=-4, f(x)max=3,故选 B. 5. (必修 1 P39 B 组 T1 改编)函数 f(x)的定义域为 R, 且对于 x∈R, 恒有 f(x+2)=f(x). 当 2 x∈[2,4]时,f(x)=x -2x,则 f(2 017)=________. 解析:由 f(x+2)=f(x),知 f(x)是以周期 T=2 的周期函数. ∵当 x∈[2,4]时,f(x)=x2-2x, ∴f(2 017)=f(1 007×2+3)=f(3)=32-2×3=3, 即 f(2 017)=3. 答案:3

函数的奇偶性判断 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列 结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 [解析] A:令 h(x)=f(x)· g(x),则 h(-x)=f(-x)· g(-x)=-f(x)· g(x)=-h(x), ∴h(x)是奇函数,A 错; B:令 h(x)=|f(x)|g(x),则 h(-x)=|f(-x)|· g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x), ∴h(x)是偶函数,B 错; C:令 h(x)=f(x)|g(x)|,则 h(-x)=f(-x)· |g(-x)|=-f(x)|g(x)|,∴h(x)是奇函数,C 正确; D:令 h(x)=|f(x)· g(x)|,则 h(-x)=|f(-x)· g(-x)|=|-f(x)· g(x)|=|f(x)· g(x)|=h(x), ∴h(x)是偶函数,D 错. [答案] C (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤

(2)在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)+f(-x)=0(奇函数) 或 f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 1.设 f(x)=ex+e x,g(x)=ex-e x,f(x),g(x)的定义域均为 R,下列结论错误的是( A.|g(x)|是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是偶函数 D.f(x)+g(x)是奇函数 - 解析:选 D.f(-x)=e x+ex=f(x),f(x)为偶函数. - g(-x)=e x-ex=-g(x),g(x)为奇函数. |g(-x)|=|-g(x)|=|g(x)|,|g(x)|为偶函数,A 正确; f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x), ∴f(x)g(x)为奇函数,B 正确; f(-x)|g(-x)|=f(x)|g(x)|, ∴f(x)|g(x)|是偶函数,C 正确; f(x)+g(x)=2ex, - f(-x)+g(-x)=2e x≠-(f(x)+g(x)), ∴f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,D 错误,故选 D. 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( ) 1 1 A.- B. 3 3 1 1 C. D.- 2 2 解析:选 B.依题意 b=0,且 2a=-(a-1), 1 1 ∴a= ,则 a+b= . 3 3 2 2 3.设 f(x)={-x +2x+1?x>0?,?x +2x-1 ?x<0?. 则( )
- -

)

A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x-1)是奇函数 D.f(x+1)是偶函数 解析:选 A.函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x2-2x +1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数 f(x)是奇函数.故选 A.

利用函数的奇偶性求参数 (2015· 高考全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. [解析] ∵ f(x)为偶函数, ∴ f(-x)-f(x)=0 恒成立, ∴ -xln(-x+ a+x2)-xln(x+ a+x2)=0 恒成立, ∴ xln a=0 恒成立, ∴ ln a=0,即 a=1. [答案] 1 利用函数的奇偶性求参数的步骤: ①利用函数奇偶性,列出定义域内的恒等式, 即若 f(x)为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0; 若 f(x)为偶函数,则 f(-x)-f(x)=0. ②利用恒等关系求出待定系数. 1.若 f(x)=(ex-e x)(ax2+bx+c)是偶函数,则一定有( ) A.b=0 B.ac=0 C.a=0 且 c=0 D.a=0,c=0 且 b≠0 - 解析:选 C.设函数 g(x)=ex-e x. - g(-x)=e x-ex=-g(x), ∴g(x)是奇函数. ∵f(x)=g(x)(ax2+bx+c)是偶函数. ∴h(x)=ax2+bx+c 为奇函数. 即 h(-x)+h(x)=0 恒成立, 有 ax2+c=0 恒成立. ∴a=c=0. 当 a=c=b=0 时,f(x)=0, 也是偶函数,故选 C. 2.若函数 f(x)=ln(ax+ x2+1)是奇函数,则 a 的值为( ) A.1 B.-1 C.± 1 D.0 2 解析:选 C.∵f(x)=ln(ax+ x +1)是奇函数, ∴f(-x)+f(x)=0. 即 ln(-ax+ x2+1)+ln(ax+ x2+1)=0 恒成立, 所以 ln[(1-a2)x2+1]=0,即(1-a2)x2=0 恒成立, ∴1-a2=0,即 a=± 1. 1 3.函数 f(x)=a+ x 是奇函数,则 a=________. 2 +1 解析:法一:由奇函数性质得, 1 f(0)=0,即 a+ =0, 2


1 ∴a=- . 2 法二:由题意得 f(-x)+f(x)=0. 1 1 即 a+ x +a+ -x =0,即 2a+1=0, 2 +1 2 +1 1 ∴a=- . 2 1 答案:- 2

函数的周期性 (1)[周期性与分段函数结合]已知定义在 R 上的函数满足 f(x+2)=- 1 ,x∈[0,2] f?x?

时,f(x)=2x-1.求 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017)的值. (2)[周期性与奇偶性结合]已知奇函数 f(x)的定义域为 R, 若 f(x+2)为偶函数, 且 f(1)=1, 求 f(8)+f(9)的值. 1 [解] (1)∵f(x+2)=- , f?x? 1 ∴f(x+4)=- =f(x), f?x+2? ∴函数 y=f(x)的周期 T=4. 又 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 1 1 1 ∴f(1)=1,f(2)=3,f(3)=- =-1,f(4)=- =- . 3 f?1? f?2? ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017) =504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(504×4+1) 1 =504(1+3-1- )+1 3 =1 345. (2)因为 f(x)为 R 上的奇函数, 所以 f(-x)=-f(x),f(0)=0. 因为 f(x+2)为偶函数, 所以 f(x+2)=f(-x+2), 所以 f(x+4)=f(-x)=-f(x), 所以 f(x+8)=f(x),即函数 f(x)的周期为 8, 故 f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1. (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及 函数周期性的判断,利用函数周期性求值. (2)利用周期性将变量“变小”,在给定范围内,利用奇偶性求出. 1.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等于( A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:选 A.由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(3)-f(4)=-1,故选 A. 5? 2.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?等于( )

)

1 1 A.- B.- 2 4 1 1 C. D. 4 2 解析:选 A.∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5? ? 5 ? ? 1? ∴f? ?-2?=f?-2+2?=f?-2?= 1? 1 ? 1? 1 -f? ?2?=-2×2×?1-2?=-2. 3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当- 1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017)等于( ) A.335 B.336 C.337 D.338 解析:选 C.∵f(x+6)=f(x), ∴T=6. ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2; 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0) =0, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017) =[f(1)+f(2)+f(3)+?+f(6)]×336+f(2 017)=1×336+f(336×6+1) =336+f(1)=337,故选 C.

函数对称性的应用 (1)(2015· 高考全国卷Ⅰ)设函数 y=f(x)的图象与 y=2x a 的图象关于直线 y= -x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1,则 a=( ) A.-1 B.1 C.2 D.4 (2)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)=________. [解析] (1)设(x,y)为 y=f(x)图象上任意一点, + 则(-y,-x)在 y=2x a 的图象上, - + 所以有-x=2 y a, 从而有-y+a=log2(-x)(指数式与对数式的互化), 所以 y=a-log2(-x),即 f(x)=a-log2(-x), 所以 f(-2)+f(-4)=(a-log22)+(a-log24)=(a-1)+(a-2)=1, 解得 a=2,故选 C. (2)∵f(x)的图象关于直线 x=2 对称, ∴f(4-x)=f(x), ∴f(4-1)=f(1)=f(3)=3,即 f(1)=3. ∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴f(-1)=f(1)=3. [答案] (1)C (2)3


(1)若函数是奇(偶)函数时,则用其对称性列出关系式; (2)若函数的图象关于点(a,b)对称,(x,y)在函数图象上,则点(2a-x,2b-y)也在函数 图象上,从而列出关系式; (3)若函数的图象关于直线 x=a 对称,点(x,y)在函数图象上,则(2a-x,y)也在函数图 象上,从而列出关系式;

(4)若函数的图象关于直线 l:Ax+By+C=0 对称时,求出函数图象上任一点(x0,y0)关 于直线 l 的对称点也在图象上,从而列出关系式. 1.函数 y=|x-1|,则图象关于( A.(1,0) C.直线 x=1 )对称 B.(-1,0) D.直线 x=-1 其图象如图所示.故选 C.

x-1 x>1, ? ? 解析:选 C.y=|x-1|=?0 x=1, ? ?-x+1 x<1.

x-2 2.函数 f(x)= 的图象关于下列哪个点对称( ) x+1 A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(1,-1) x-2 解析:选 A.设 f(x)= 上任一点为(x,y), x+1 关于(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y), 2a-x-2 则 2b-y= , 2a-x+1 x-2 2a-x-2 ∴2b- = 恒成立. x+1 2a-x+1 2a-2 令 x=0 得 2b+2= ,① 2a+1 2a-4 令 x=2 得 2b= ,② 2a-1 联立①②,解得 a=-1,b=1,故选 A. 3.函数 f(x)=|x+1|+|x+a|的图象关于 x=2 对称,则 a=________. 解析:由题意知,函数 f(x)图象上的点(x,y)关于 x=2 对称的点为(4-x,y), ∴y=|4-x+1|+|4-x+a|=|x-5|+|x-(a+4)|. 则|x+1|+|x+a|=|x-5|+|x-(a+4)|恒成立. ∴{a=-5?1=-?a+4? ,∴a=-5. 答案:-5

函数性质的综合应用 (2015· 高考全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=ln(1+|x|)- 的 x 的取值范围是( ) 1 ? ? A.?3,1? 1? B.? ?-∞,3?∪(1,+∞) 1 1? C.? ?-3,3? 1 , 则使得 f(x)>f(2x-1)成立 1+x2

1? ?1 ? D.? ?-∞,-3?∪?3,+∞? [解析] 法一:因为 f(-x)=ln(1+|-x|)- 1 因为当 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)- , 1+x2 1 在(0,+∞)上 y=ln(1+x)递增,y=- 也递增, 1+x2 根据单调性的性质知, f(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可知:f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?x2>(2x-1)2?3x2-4x+1<0 1 ? <x<1.故选 A. 3 法二:(特殊值排除法) 令 x=0,此时 f(x)=f(0)=-1<0, 1 f(2x-1)=f(-1)=ln 2- =ln 2-ln e>0, 2 所以 x=0 不满足 f(x)>f(2x-1),故 C 错误. 1 令 x=2,此时 f(x)=f(2)=ln 3- , 5 1 f(2x-1)=f(3)=ln 4- . 10 1 因为 f(2)-f(3)=ln 3-ln 4- , 10 1 其中 ln 3<ln 4,所以 ln 3-ln 4- <0, 10 所以 f(2)-f(3)<0, 即 f(2)<f(3), 所以 x=2 不满足 f(x)>f(2x-1),故 B,D 错误.故选 A. [答案] A 比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小. 对于偶函数, 如果两个自变量的取值在 关于原点对称的两个不同的单调区间上, 即正负不统一, 应利用图象的对称性将两个值化归 到同一个单调区间,然后再根据单调性判断. 1? 1.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围 是( ) 1 2? A.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 1 2? B.? ?3,3? 1 2? D.? ?2,3? 1 =f(x),所以函数 f(x)为偶函数. 1+?-x?2

1? ?1? 解析:选 A.偶函数满足 f(x)=f(|x|),根据这个结论,有 f(2x-1)<f? ?3??f(|2x-1|)<f?3?, 1 进而转化为不等式|2x-1|< , 3 1 2? 解这个不等式即得 x 的取值范围是? ?3,3?. 2a-3 2.已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5)= ,则实数 a 的 a+1 取值范围是( ) A.(-1,4) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-1,0)

解析:选 A.因为函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数, 2a-3 所以 f(5)=f(-1)=f(1),即 <1,化简得(a-4)(a+1)<0, a+1 解得-1<a<4,故选 A. 3.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围. 解:∵f(x)的定义域为[-2,2]. ? ?-2≤1-m≤2, ∴有? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ?-2≤1-m ≤2, ? 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 即实数 m 的取值范围是[-1,1).

一、选择题 1.(必修 1 P35 例 5 改编)下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上单调递增的是( ) A.y=|x|+1 B.y=log1|x| 2 C.y=x4 D.y=2x ? ?x+1,x≥0 解析:选 B.对于选项 A,y=|x|+1=? 是偶函数,但在(-∞,0)上单调递 ?-x+1,x<0 ? 减; 对于选项 C,y=x4 是偶函数,但在(-∞,0)上单调递减; 对于选项 D,y=2x 不是偶函数; 1 log x,x>0 2 1 只有选项 B,y=log |x|= 是偶函数, 2 1 log ?-x?,x<0 2

? ? ?

且在(-∞,0)上单调递增,满足条件,故选 B. 2.(必修 1 P45 B 组 T6 改编)如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 解析:选 B.因为奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5, 所以在区间[-7,-3]上是增函数且最大值为-5,故选 B. 1-x2 3.(必修 1 P44A 组 T8 改编)已知 f(x)= ,则下列结论中,正确的个数为( ) 1+x2 1 ? ①f(x)是偶函数;②f? ?2 017?+f(2 017)=0; ③f(x)max=1;④方程 f(x)=x 有且只有一个零点. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 D.由题意易知①显然正确;

1 1- 2 x 1 1-x2 x2-1 1-x2 1-x2 2 ?+f(x)= ②f? + = + = 0 正确;对于③, f ( x ) = =-1+ , 2 2 2 ? x? 1 x +1 x +1 x +1 1+x2 1+x2 1+ 2 x 2 ∵x ≥0, ∴1+x2≥1, 2 ∴ ∈(0,2], 1+x2 ∴f(x)∈(-1,1]正确;对于④,由 f(x)=x,得 1-x2=x3+x,记 g(x)=x3+x2+x-1, ∴g′(x)=3x2+2x+1>0 恒成立, ∴g(x)在 R 上单调递增. 而 g(0)=-1<0,g(1)=2>0, ∴g(x)只有一个零点, ∴④正确,故选 D. 二、填空题 4.(必修 1 P24A 组 T6 改编)已知 f(x)=x3cos x+kx-1,f(2)=3,则 f(-2)=________. 解析:记 g(x)=f(x)+1,显然 g(x)为奇函数, ∴g(-x)=-g(x),∴g(-2)=-g(2), ∴f(-2)+1=-[f(2)+1], ∴f(-2)=-f(2)-2=-5. 答案:-5 1? b 5.(必修 1 P83B 组 T3 改编)已知 f(x)=a- x 是奇函数,且过点? ?1,3?,则复数 a+bi(i 2 +1 为虚数单位)的模为________. 解析:∵f(x)为奇函数, 1 b 1, ? , ∴f(0)=a- =0,又 f(x)的图象过点? ? 3? 2
? ?a=1 b 1 ∴f(1)=a- = ,∴? ,∴复数 a+bi=1+2i, 3 3 ?b=2 ?

∴|1+2i|= 5. 答案: 5 三、解答题 6.(必修 1 P75 B 组 T5 改编)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2 ∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解:(1)∵对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明如下:令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解之得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}.

一、选择题 1.已知 f(x)为奇函数,F(x)=2f(x)+3,若 f(-2 017)=2,则 F(2 017)的值为( ) A.-2 B.7 C.-1 D.1 [导学号 03350081] 解析:选 C.∵f(x)为奇函数, ∴f(2 017)=-f(-2 017)=-2. ∴F(2 017)=2f(2 017)+3=2×(-2)+3=-1, 故选 C. 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y= x B.y=cos x C.y=3x D.y=ln|x| [导学号 03350082] 解析:选 D.A、C 选项中的函数无奇偶性,B 选项中的函数是偶函 数,但单调性不满足.故选 D. ?4x2-2,-2≤x≤0 ? 3. 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数, 当 x∈[-2, 1)时, f(x)=? ? ?,0<x<1, 5 ? 则 f? ) ?2?=( A.-1 B.1 1 C. D.0 2 [导学号 03350083] 解析:选 A.由题意得 5? ? 1? 1 - =4×?- ?2-2=-1,故选 A. f? = f 2 2 ? ? ? ? ? 2? 4. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 [导学号 03350084] 解析:选 D.∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(0)=1+b=0,b=-1. ∴f(x)=2x+2x-1(x≥0). ∴f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3. 5. 设 f(x)是定义在实数集上的函数, 且 f(2-x)=f(x), 若当 x≥1 时, f(x)=ln x, 则有( ) 1 1 ? ? ? A.f? ?3?<f(2)<f?2? 1? ?1? B.f? ?2?<f(2)<f?3? 1? ?1? C.f? ?2?<f?3?<f(2) 1? ?1? D.f(2)<f? ?2?<f?3? [导学号 03350085] 解析:选 C.由 f(2-x)=f(x)可知函数 f(x)的图象关于 x=1 对称, 1? ?3? ?1? ?5? 所以 f? ?2?=f?2?,f?3?=f?3?, 又当 x≥1 时,f(x)=ln x,单调递增,

3? ?5? 所以 f? ?2?<f?3?<f(2), 1? ?1? 即 f? ?2?<f?3?<f(2),故选 C. 1? 6.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 f? ?2?=0,则满足 f(log1x)<0 的 4 x 的集合为( ) 1 ? A.? ?-∞,2?∪(2,+∞) 1 ? B.? ?2,1?∪(1,2) 1? C.? ?0,2?∪(2,+∞) 1 ? D.? ?2,1?∪(2,+∞) [导学号 03350086] 解析:选 C.由题意可得 1? f(log1x)=f(|log1x|)<0=f? ?2?,又 f(x)在[0,+∞)上递减, 4 4 1 所以|log1x|> , 2 4 1 1 所以 log1x> 或 log1x<- , 2 2 4 4 1 解得 0<x< 或 x>2, 2 1? 所以满足不等式 f(log1x)<0 的 x 的集合为? ?0,2?∪(2,+∞). 4 2x+1 7.(2015· 高考山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范围为 2 -a ( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) - 2 x+1 2x+1 2x+1 [导学号 03350087] 解析:选 C.f(-x)= -x = = x,由 f(-x)=-f(x)得 2 -a 1-a· 2 1-a· 2x 2x+1 - x , 2 -a 即 1-a· 2x=-2x+a,化简得 a· (1+2x)=1+2x, x 2 +1 所以 a=1,f(x)= x .由 f(x)>3 得 0<x<1.故选 C. 2 -1 8.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2) <5 的解集是( ) A.(-5,5) B.(-6,4) C.(-7,3) D.(-8,2) [导学号 03350088] 解析:选 C.当 x≥0 时,由 f(x)=x2-4x<5, 解得 0≤x<5.因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 所以 f(x)<5 的解集为{x|-5<x<5}.所以 f(x+2)<5 的解集是-5<x+2<5 的解集, 即{x|-7<x<3}. 9. 已知偶函数 f(x)在[0, +∞)上单调递减, f(2)=0, 若 f(x-1)>0, 则 x 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(0,4) C.(1,5) D.(-3,1)

[导学号 03350089] 解析:选 A.因为 f(x)是偶函数,f(2)=0, 所以不等式 f(x-1)>0?f(|x-1|)>f(2). 又因为 f(x)在[0,+∞)上单调递减, 所以|x-1|<2, 解得-1<x<3.故选 A. 10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x∈(-1,0)时,f(x) 1 =2x+ ,则 f(log220)=( ) 5 4 4 A.-1 B. C.1 D.- 5 5 [导学号 03350090] 解析:选 A.由条件易知,函数 f(x)为奇函数,且是周期为 4 的周期 函数. 因为 log232>log220>log216, 所以 4<log220<5, 所以 0<log220-4<1, 5 4 即 0<log2 <1,-1<log2 <0, 4 5 5 5 4 所以 f(log220)=f(log220-4)=f(log2 )=-f(-log2 )=-f(log2 ). 4 4 5 1 又因为 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+ , 5 4 4 1 所以 f(log2 )=2log2 + 5 5 5 4 1 = + =1, 5 5 所以 f(log220)=-1,故选 A. 11.函数 y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,其中 a,b∈R,且 0<b<-a,已知 y=f(x) 无零点,设函数 F(x)=f2(x)+f2(-x),则对于 F(x)有如下四个说法:①定义域是[-b,b];② 是偶函数;③最小值是 0;④在定义域内单调递增.其中正确说法的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 [导学号 03350091] 解析:选 C.由题意可知,f2(x)的定义域为[a,b],f2(-x)的定义域 为[-b,-a], 所以 F(x)的定义域为[-b,b],①正确;又 F(-x)=F(x),②正确;因为 y=f(x)是定义 在[a,b]上的增函数且无零点, 所以 f2(x)>0,f2(-x)>0, 所以 F(x)>0,③错误;因②正确, 所以 F(x)在定义域内不可能单调递增,④错误. ?2x2-8ax+3,x<1, ? 12.函数 f(x)=? 在 x∈R 内单调递减,则 a 的取值范围是( ) ?logax,x≥1 ? 1? ?1 ? A.? ?0,2? B.?2,1? 1 5? ?5 ? C.? ?2,8? D.?8,1? [导学号 03350092] 解析:选 C.因为函数 f(x)在 x∈R 内单调递减, 所以此函数的两段均为减函数,并且 x=1 时第一段的函数值大于或等于第二段的函数 值, 即{2a≥1,?0<a<1,?2-8a+3≥loga1,

? ? 1 5 解得?0<a<1,故2≤a≤8. ? . ?a≤5 8
二、填空题 13.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(2-x),则 f(0)+f(2)的值为 ________. [导学号 03350093] 解析:由题意可得 f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-log24=-2, 所以 f(0)+f(2)=-2. 答案:-2 14.设 f(x)是定义在 R 上的函数,若函数 y=f(x+1)为偶函数,且当 x≥1 时,有 f(x)=1 3? ?2? ?1? x -2 ,则 f? ?2?,f?3?,f?3?的大小关系是________. [导学号 03350094] 解析:∵函数 y=f(x+1)为偶函数,图象关于 y 轴对称,把 y=f(x +1)的图象向右平移 1 个单位长度得到函数 y=f(x)的图象, ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.当 x≥1 时,有 f(x)=1-2x,此时 f(x)为减函 数, ∴当 x<1 时,f(x)为增函数, 2? ?3? ?1? ∴f? ?3?>f?2?>f?3?. 2? ?3? ?1? 答案:f? ?3?>f?2?>f?3? 4 15.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,且当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m x 恒成立,则 m-n 的最小值是________. [导学号 03350095] 解析:∵当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m 恒成立, ∴n≤[f(x)]min 且 m≥[f(x)]max, ∴m-n 的最小值是[f(x)]max-[f(x)]min,又由偶函数的图象关于 y 轴对称知,当 x∈[-3, 4 -1]时,函数的最值与 x∈[1,3]时的最值相同,又当 x>0 时,f(x)=x+ ,在[1,2]上递减, x 在[2,3]上递增,且 f(1)>f(3), ∴[f(x)]max-[f(x)]min=f(1)-f(2)=5-4=1. 答案:1 1 16.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 f(1)+f(2) 2 +f(3)+?+f(2 017)=________. [导学号 03350096] 解析:由题意得 f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(0)=0,且 f(x+1)=f(-x)=-f(x), f(x+2)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)的周期为 T=2. ∴f(0)=f(2)=?=f(2 016)=0; f(1)=f(3)=?=f(2 017); 又 f(1)=f(1-1)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 017)=0. 答案:0

1 a≥ , 2


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